И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы, страница 9

-12 Пример. Найдем скорость электрона на первой боровской орбите атома водорода. Для этого в формулу (2.22) подставим (2.23) с учетом того, что в нашем случае Я = 1 и п = 1. В результате получим: о~ = еэ/Ь = 2,2 . 10е м/с. Спектральные серии водородоподобных систем.

Согласно второму постулату Бора (2.17), определяющему энергию фотонов при переходе системы из одного стационарного состояния в другое, и формуле (2.24) имеем: 422 ( Ьа =Ез — Ег-- (2.26) 2йз ~п,з иэ ~ Отсюда частота фотона пге42з 1 1 (2.27) Таким образом, мы пришли к обобщенной формуле Бальмера (2.16), установив при этом, от каких величин зависит постоянная Ридберга: Я„=— (2. 28) 223 Глава 2 к= 1т т/М (2,29) Как видим„постоянная Ридберга зависит и от массы ядра.

Для атома водорода, ядром которого является протон, формула (2.29) дает значение, более точно совпадающее с экспериментальным. Приведенная на рнс. 2.7 система энергетических уровней помогает наглядно представить спектральные серии Лаймана, Бальмера и др. как группы переходов между соответствующими уровнями.

Эти переходы изображены на рисунке вертикальными стрелками. Систему энергетических уровней атома принято называть и иначе — системой термез. Терм Т вЂ” это величина, оцределяемая согласно (2.16) и (2.26) как (2. 30) где Š— постоянная Ридберга. В отличие от энергии Е„, терм— величина положительная, и чем ниже уровень, тем больше его значение.

Терм имеет ту же размерность, что и частота а, т. е. с ~. Соответствующая частота фотона, исцущенного при переходе атома из состояния с квантовым числом пз в состояние с квантовым числом пз, определяется формулой Е А мзз = Тз — Тз = — —— пэ п' г (2.31) Формулы (2. 15) и (2. 28) позволяют записать выражение для энергии связи (энергии ионизации) водородоподобной системы в основном состоянии в более удобном энде: Е„= Е„, = ЬВ2з.

(2.32) Подстановка в это выражение числовых значений и, е и Ь дает величину, хорошо согласующуюся с экспериментальным значением постоянной Ридберга (2. 13). Индекс со при Я в (2.28) означает, что эта величина получена в предположении, что масса ядра весьма велика„и ядро при движении электрона неподвижно. Учет конечности массы ядра приводит к тому„что массу т электрона в (2.28) следует заменить на приведенную массу р системы электрон-ядро: д = тМ/(т э М), где М вЂ” масса ядра. Тогда 51 Атом Резерфорда — Борз Пример.

Найдем энергию связи электрона в основном состоянии водородоподобных ионов, в спектре испускания которых длина волны третьей линии серии Бальмера Лз = 108,5 нм. Искомая энергия определяется формулой (2.31). В данном случае 2 неизвестно. Для его нахождения воспользуемся тем, что частота третьей линии серии Бальмера Частота мз связана с длиной волны Лз формулой оз = 2лс/).ь Поэтому из (1) следует, что ЯЯ2— 100 2 21 (2) Таким образом, искомая энергия связи Е,„= — = 54,4 эВ. 100 хс5 21 Попутно из формулы (2) можно найти, что Я = 2, т.

е. мы имеем дело с ионом Не'. Магнитный момент атома водорода. Пусть электрон движется со скоростью и по орбите радиусом г (рис. 2.8). Через площадку, пересекающую орбиту электрона„переносится ежесекундно заряд ег, где е — заряд электрона, т — число оборотов электрона вокруг ядра в секунду. Следовательно, движущийся по орбите электрон образует круговой ток 1 = ет. Поскольку заряд электрона отрицателен, направление движения электрона противоположно направле- )ь нию тока. Рис.

2.8 Магнитный момент такого тока (в гауссовой системе) по определению равен р = 1Я/с, или р = ег ягз/с. Учитывая, что 2хгг = и, перепишем предыдущее выражение в виде его р= 2с Глава 2 Остается учесть, что момент импульса электрона М = сто, и мы получим: р=- М, г (2,33) 2тс где знак минус указывает, что направления обоих моментов, )г и М, взаимно противоположны. Вектор М называют орбитальным моментом электрона. Он образует с направлением движения электрона правовинтовую систему (см.

рис. 2.8). Отношение магнитного момента частицы к ее механическому моменту называют гиромагнитным отношением. Для электрона оно равно Н е (2.34) М 2тс Воспользовавшись боровским правилом квантования момента импульса, т. е. формулой (2.18), перепишем (2.33) в виде р=)гвн, н=1,2,3, ..., (2.35) где )гв — это так называемый магнетон Бора: )гв = — = 0,927 . 10 зэ эрг~Тс. еЬ 2тс (2.36) Таким образом, при движении электрона по первой боровской орбите (и = 1) его магнитный момент равен одному магнетону Бора.

В дальнейшем мы увидим, что это резко расходится с экспериментом, значит, полученный результат оказывается совершенно неверным. И тем не менее, мы привели формулы, связывающие магнитный момент с механическим, поскольку они послужат основой для получения правильных результатов (см. 5 7.1). Недостатки теории Бора. Теория Бора явилась крупным шагом в развитии теории атома, в понимании новых квантовых закономерностей, с которыми столкнулась физика при изучении явлений микромира. Эта теория отчетливо показала неприменимость законов классической физики для описания внутри- атомных явлений.

Атом Резерфорда — Воре Теория Бора стимулировала постановку многих экспериментов, принесших важные результаты. Даже в тех многочисленных случаях, когда теория не могла дать количественное объяснение явлений, два постулата Бора служили руководящей нитью при классификации и количественной интерпретации этих явлений. Однако двух постулатов Бора недостаточно для построения полной теории. Они должны быть дополнены правилами квантования.

Эти правила, достаточно искусственно введеыыые Бором для одноэлектроныого атома, радикально проблемы не решили. Их ые удалось распространить даже на простейший после водорода атом гелия, содержащий два электрона. Кроме того, теория Бора позволила вычислить только частоты спектральных линий, но не их интенсивность. Основной же, принципиальный недостаток теории Бора— это ее непоследовательность: она не была ыи последовательно классической, ни последовательно квантовой.

Эта теория принимала существование стационарных состояний атома, что совершенно непонятыо с точки зрения классической физики. И вместе с тем к движению электронов в стационарных состояниях она применяла законы классической механики, хотя и считала неприменимой классическую электродинамику (поскольку нет излучения).

Итак„планетарную модель атома нельзя считать серьезной теорией. Она просто неверна. Тот факт, что эта модель приводит к очень хорошим результатам в случае атома водорода (при расчете некоторых величин), по существу случайный. Этот успех явился мощным толчком к развитию квантовой теории атома. Сам Бор рассматривал свою теорию как промежуточный этап в поисках верной теория. Такой последовательной теорией явилась квантовая физика. Задачи 2.1. Лобовое столкновение. На какое минимальное расстояние приблизится а-частяца с кинетической энергией К,к первоначально покоившемуся ядру 1(Л прн лобовом столкновеняну Р е ш е н ы е. Системаа-частнца — ядро предполагается замкнутой, поэтому в процессе сближения будут сохраняться как ее нм- Глава 2 пульс, так и собственная механическая энергии.

Отсюда для двух состояний — когда а-частица далеко от ядра и в момент максимального сближения (снстема движется как единое целое), — можно записать: ДДО Рн Р +и Ка Ка+ы + Гмнн где д и дс — заряды а-частицы и ядра атома лития. Имея в виду, что К = рз/2т, перепишем первое равенство в (1) через К: т„К„= (т„+ тп)К„„ (2) Из последнего равенства находим К„,ы и полученное выражение подставим во второе уравнение из (1). В результате: ,.

~Из 1 ™ 2.2. Нелобовое столкновеиме. Альфа-частица с кинетической энергией К рассеялась под углом б на кулоновском поле неподвижного тяжелого ядра с зарядом Ее. Найти минимальное расстояние, на которое она сблизилась с ядром в процессе движения. Р е ш е н и е. Воспользуемся законами сохранения. Импульс а-частицы не сохраняется, поскольку на нее все время действует кулоновская сила.

Вместе с тем направление этой силы проходит через центр ядра, поэтому ее плечо относительно этого центра равно нулю, а значит равен нулю и момент силы. Отсюда следует, что момент импульса а-частицы относительно центра ядра сохраняется. Вдали от ядра он был равен Ьто, где Ь и о — прицельный параметр и скорость и-частицы вдали от ядра.

При наибольшем сближении с ядром скорость т а-частицы будет перпендикулярна ее радиусу-вектору относительно центра ядра, и момент импульса а-частицы в зтом положении будет равен г „н ти', где о' — ее скорость. Таким образом, из сохранения момента импульса и-частицы имеем: Ьи = гмн, и'. Поскольку а-частица движется в кулоновском поле и сторонних сил нет, ее полная энергия в этом поле должна также сохраняться: К = К + Чдс/гмнн (2) Атом Резерфорда — Бора Здесь слева записана энергия а-частицы вдали от ядра, а спра- ва — при максимальном сближении с ядром.

Из формул (1) и (2) приходим к квадратному уравнению относите- льно г„;. мнн Ччсгмин (3) Решение этого уравнения: (1 +,(е,г+ Ют ' 11, Г г„„„ = = — (1+ 1+сСд 8 2К 2Х (, где учтено, что согласно (2.1) дно/2ЬК = тд(8/2). В окончательном виде (4) запишем так: г„„, = — 1»- сэс— Р е ш е н и е. Искомая вероятность Р равна относительному числу протонов, рассеянных в заднюю полусферу: Р = А)У/Ь/ = пс, где правая часть этой формулы записана согласно (2.9), причем с — аффективное сечение, соответствующее рассеянию под углами 8 > 90'.