И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы, страница 6

Р е ш е н и е. В данном случае «изменилась на ЛХ» — это значит уменьшилась на такую величину. Поэтому согласно (1.8) можно записать: а с 1«= —, 1'о=1о Ю Рт где У, и Уз — напряжения на рентгеновской трубке, а — постоян- ная. Разделив второе равенство на первое, получим: "а до гг Ч Отсюда находим Хс = — Ю. = 0,10 ни.

д — 1 1.5. Метод изохромат. В сплошном рентгеновском спектре интенсивность 1 излучения с длиной волны Хе = 50 пм зависит следующим образом от напряжения г' на рентгеновской трубке: У, кВ 29 28 27 26 1, отн. ед. 9,0 6,0 3,5 1,7 Вычислить с помощью соответствующего графика постоянную Планка Ь. 25 26 27 28 29 $; кВ Рнс. 1.15 Р е ш е н и е. Из треугольника импульсов (рис. 1.16), выражающего собой закон сохранения импульса, видно, что й'з(пЕ Мпб зае = й — в'созб Х'(Х вЂ” созб Рве. 1.16 Квантовые свойства электромагнитного излучения Р е ш е н и е. Изобразим график зависимости Х(у), экстраполируя его к нулю, как показано на рис.

1.15, находим Ус = 25 кВ. При этом напряжении излучение с длиной волны Хе становится коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра. Значит, согласно (1.9) Ь о о 1 06 10-з эрго 1 сУ 2 хе 1.6. Комптоновские электроны. Фотон с энергией з рассеялся под углом 0 на покоившемся свободном электроне. Определить угол ф, под которым вылетел электрон отдачи относительно направления налетевшего фотона.

1 8 6 4 2 22 Глава 1 Согласно формуле (1.20), определяющей комптоновское смеще- ние, — = 1+ — (1 -соэО). йс 1 (2) Подставив (2) в (1), получим после несложных преобразований: з1пО с(а(О/2) зяр— (1 — созО)(1+ йс/1) 1+ з/)нс где учтено, что ).с/1 = 2я/2/той = з/тсз. Р е )п е н н е. В соответствии с законами сохранения энергии и им- пульса имеем з е =К, е/с+ з/с =р, где з и э' — энергия фотона до и после столкновения с электроном, Р р — его импульс отдачи. Во второй фоРмуле учтено согласно условию зае /с с/с дачи, что все три импульса должны быть коллинеарнымн (рис.

1.17), чтоРнс. 1.17 бы импульс р был максимальным. Умножив все слагаемые второго из уравнений (1) на с и сложив после этого полученное выражение с первым уравнением, найдем 2з = Ка+рс. (2) В релятивистской динамике связь между импульсом и кинетической энергией электрона легко получить с помощью инвариантного выражения Кз — рзсз = тзсК„где Е = шсз + К, откударс= /К (К 2 ).2 (2) 22 — К ° К„(К ° 2 ). Из последнего уравнения находим: (4) 1.7. Эффект Комптона. При облучении вещества рентгеновским излучением с некоторой длиной волны 1 обнаружили, что максимальная кинетическая энергия релятивистских электронов отдачи равна К„. Олределить Х.

Квзатовме свойства электромагввтвоге излучения Это выражение можно представить и в другом виде, умножив чис- Д,е '~к. -1. т„, 2вэ ( 2тсе — 1- — — 1 тс~ К„ 1.8. Обратный эффект Комптона. При столкновении с релятивистским электроном фотон рассеялся на угол О, а электрон остановился. Найти комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона. Р е ш е н и е. Согласна закону сохранения импульса где й и 1е' — волновые векторы первоначального н рассеянного фотонов„ р — импульс электрона (рис.

1. 18). Из этого рисунка согласно теореме косинусов имеем Рве. 1.18 ресэ = ее+ е'з — 2ж' созО, где учтено, что й = еэ/с,л' = еэ'/с; еи е' — энергия фотона до и после рассеяния. На основании закона сохранения энергии запишем е+ Е = е'+ тсе, где Š— полная энергия электрона, т — его масса покоя. Из этого равенства найдем Ее: Ез = еэ + ее + тесе — 2ее' — 2етсе + 2е'тсе. (2) Теперь воспользуемся инвариантностью выражения Е' — ресе, которое равно тесе, а именно, вычтем (1) нз (2). В результате после сокращений получим: ж'(1 — соз О) = тсз(е' — е)„ Л 1 1 Х вЂ” Х' (1 — сов О) = — — — = тс еэ ез' 2 во Глава 1 Из последнего выражения находим 2яЬ Л' — Л = — — (1 — сов О) < О, юс т. е. длина волны рассеянного фотона становится меньше н его энергия увеличивается. 1.9.

Давление света. Плоский световой поток интенсивности 1, Вт/мэ освещает половину зеркальной сферической поверхности радиуса )1. Найти с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую сферой. Р е ш е н и е. Для простоты будем считать падающий свет моно- хроматическим с частотой еь Как это отразится на окончательном результате, мы увидим. Сначала найдем силу дг, действующую на элементарное кольцо ОЯ (рис. 1.19) в направлении оси Х. При зеркальном отражении каждый фотон передает поверхности импульс ор (рис.

1.20): ор„= р — р„= р — р сов Гк — 20) = р (1 + соз20) = 2р сов э О, где р = /пз/с. Рис. 1.20 Рис. 1.19 Число фотонов, падающих ежесекуицно на элементарное кольцо дЯ (см. рис. 1.19), равно дЖ = (1//ие) дЯ соз О, где ЙЯ = 2х))зш 6 )ЫО. Тогда ЙР = ор,. 0)э = 4к))з(1/с) соэ' О з(п О ЙО. Заметим, что частота света ю сократилась, значит она не играет здесь роли. Проинтегрировав последнее выражение по О от 0 до л/2„получим )э = яКз1/с. Квантовые свойства электремагватвого излучения Интересно, что полученный результат в данном случае такой же, как и в случае абсолютно поглощающей поверхности. Кроме того, он в точности совпадает с результатом, полученным с помощью классических волновых представлений.

1.10. Эффект Доплера. Возбужденный атом, двигавшийся с нерелятивистской скоростью о, испустил фотон под углом б к первоначальному направлению движения атома. Найти с помощью законов сохранения энергии и импульса относительное смещение частоты фотона, обусловленной отдачей атома. Р е ш е н и е. Пусть ззакрепленный» неподвижный атом при переходе из возбужденного состояния в нормальное испускает фотон с энергией Ь эь Разность энергий указанных состояний атома равна Ь е вне зависимости от того, покоится атом или движется.

При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Изменяется н кинетическая энергия атома. Согласно законам сохранения энергии и импульса (рис. 1.21), рэ(2т + Е* = р'~(2т + Ьа', р'з = рз т реэ — 2рре соз О, Рнс. 1.21 где Е* — энергия возбуждения атома, Е* = Ьа, а ре — — Ьа'/с. Исключив из этих двух уравнений рт, получим: ди' 1 »'-ю=ы'~- Е- —,~ 2глс~) Учитывая, что энергия фотона Ьв' ~ 2тсз и и' перед скобкой можно заменить на а (их разность весьма мала), приходим к следующему результату: Ью о — = — соз б, ю с где Лю = ю' — а, Полученная формула совпадает с обычным нерелятивистским выражением для эффекта Доплера.

— — — Глава 2 Атом Резерфорда — Бора 5 2.1. Ядерная модель атома Введение. В настоящее время мы знаем, что любой атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающей его электронной оболочки. Размеры ядра менее 10 1з см, размеры же самого атома, определяемые электронной оболочкой, порядка 10 э см, т. е. в десятки тысяч раз больше размеров ядра. При этом практически вся масса атома сосредоточена в ядре. Если все это так, то атом должен быть в высокой степени прозрачным для пронизывающих его частиц. Экспериментальное доказательство изложенной модели атома было дано Резерфордом (1911) с помощью рассеяния а-частиц (ядер атомов Не) тонкой металлической фольгой.

Было обнаружено, что подавляющее число а-частиц, рассеивалось на небольшие углы (не больше - 3'). Вместе с тем наблюдались также отдельные а-частицы, рассеянные на большие углы. Относительно последних Резерфорд сделал вывод, что такие частицы появляются в результате единичного акта их взаимодействия с ядром атома. Исходя из предположений, что взаимодействие указанных а-частиц с ядром является кулоновским, а заряд и масса ядра локализованы в очень малой области атома, Резерфорд разработал количественную теорию рассеяния а-частиц и вывел формулу для распределения рассеянных а-частиц в зависимости от угла отклонения 0.

В своих рассуждениях Резерфорд принимал во внимание рассеяние а-частиц только на ядрах, поскольку заметного отклонения а-частиц электронами не может быть из-за того, что масса электронов на четыре порядка меньше массы а-частиц. Когда а-частица пролетает вблизи ядра, ее траектория представляет собой гиперболу, причем угол отклоне- Ь ния а-частицы — угол 6 — равен углу между асимптотами гиперболы Ядро (рис. 2.1). Рис. з.т Атем Резерфорда — Бора Для угла 9 было получено выражение 'т'то 2 2ЬК (2.1) где д и до — заряды налетающей частицы и ядра, Ь вЂ” лрицель.

ный ларамелтр, т. е. расстояние от ядра до первоначального направления движения налетающей частицы, когда она находится вдали от ядра (см. рис. 2.1), К вЂ” кинетическая энергия частицы вдали от ядра. Из формулы (2.1) видно, что чем меньше прицельный параметр Ь, тем больше угол отклонения 9. Вывод формулы (2.1) приведен в Приложении. т'т'о 0 2К 2 (2.2) а затем возьмем дифференциал от этого выражения йЬ = -Д~о 2К 2вш(В/2) (2.3) Знак минус в этом выражении обусловлен тем, что знаки йЬ и й9 взаимно противоположны.

В дальнейшем существенным будет лишь модуль величин йЬ и й9, поэтому знак минус в (2.3) мы не будем учитывать. Пусть площадь поперечного сечения узкого пучка налетающих частиц равна Я. Тогда число ядер рассеивающего тон- Формула Резерфорда. Непосредственная проверка формулы (2.1) экспериментально невозможна, поскольку мы не можем измерить прицельный параметр Ь налетающей частицы, Однако, следуя Резерфорду, мы можем положить формулу (2.1) в основу для следующих расчетов. Рассмотрим тонкий слой рассеивающего вещества, настолько тонкий (фольга), чтобы каждая налетающая частица пучка претерпевала лишь однократное отклонение.

Для отклонения в интервале углов (9, 0 + й9) прицельный параметр должен быть заключен в интервале (Ь, Ь + йЬ). При этом значения й9 и йЬ будут связаны определенным соотношением. Чтобы найти его, перепишем сначала (2.1) в виде Глава 2 кого слоя будет равно нЯ, где н — число ядер (атомов) в расчете на единицу поверхности. При этом относительное число частиц, имеющих прицельный параметр Ь в интервале (Ь, Ь + ЙЬ) и, значит, рассеянных в интервале углов (9, О+ Й9)„будет равно (рис. 2.2) Рэс.