Wesseling - An Intro to Multigrid Methods, страница 11

ТЬе поп сего е!езпепсв о( Е, Г, С аге е( з- з. Л ап($8с(, з. Сай сЬеве е1ешепсв е(, г( ап($8( (ог Ьгечссу. ТЬеу сап Ье сош- рисе($ изссЬ сйе 1ойосйп8 гесигсйоп = аь 8( = сс(з -з — Г",: з = а( — ез((:(8(-з (=2 3 8( = сзу(, ( = 2, 3, ..., 1 — 1 ! 1и Яоппечес($ е( а(. (1985) $1 Ь зйозчп йзаз СЬе е1егпепгз ва оГ В ' саи Ье (олпе($(гош сЬе (ойосйпй гесигсйоп за =,((( за =,(а+ 8(е(.зв(.з.(чз »гаггс пега»ье те»»сойв 5'» Коте те»йоая 1ог еоп-М-та!гсои Ь» ,„," „ » т 2 3 1 (4.5.2$)) Р,у,"+' = гс, Ьее!п Р1:т В, Гог.»:т 2 вгер 1 ипСИ У йо ОСЬег В)ЬТ) чапапЬ гтЬ вЂ” Ау ($ .~. Р)Р— 1(Р+ $)) т+1 т+1. т+1+ т (4.5.14) (4.5.1 5) (4.5.16) Ессиаг!оп (4.5.15) Ь во1чес$ ы Гойоив Бо)че($,+Р)у '=г (4.5.17) (4.5А8) (4.5.19) Ре$есс сопев!!оп г:= Ру Бо!че(Р + $,)у"" = г ТЬе а18опйип Со сосприге СЬе 1ВГА» Гасгопйаг!оп (4.5.8) сап Ье випипапгей аз Гойосчв.

И виГИсев со сошрисе Р апй !ь сг!ап8и!аг (ассов!вас!оп. А»8ог»»Ит 1. Сотригаиои о» 1ВГ.Г»»асгогсха»1оп (1) Сопсрше СЬе Спапеи!аг Гасгопжюп оГ Р а й' (4511) й(45 (й) Сошриге Сйе зечеп шаш й!аеопаЬ оГ Р 1 сГ (4.5.!3) о»-1 ассог !п8 Со (ш) сосприсе сг(йса8 ($»Р» 1$)»-1) ассогйп8 со (4.5.9) (1ч) Сосприге Р, и!СИ (4.5.7) ой Сошрше сЬе спапеи!аг Гассопгайоп оГ Р» ассогйсп8 со (4.5.11) апй (4.5.12) епй оГ а18опйип 1. соп ТЫв шау пог Ье СЬе соспригайопаПу исовС е(йс!епг ппр1ешепгагюп„ЬиС Ипе оигве!чез Ьеге Со йисыип8 Ьм!с риис!р!ев.

сче ТЬе $ВХХ 1сегайче шесЬой %!$Ь 1ВГЛ», сЬе Ьайс !сегасЬе шесйой (4.1.3) Ьесошев сьг!сь сье ыос11 рагс(иоп1п8 изей ьеГоге, апй и!1Ь у» апй гг йепойи8 1-йипеыюиа! чессогз соггезропсйп8 со ЫосЬ», Ессиас!оп (4.5. 17) Ь во1чей ав Гойоиъ: Егсиас(оп (4.5.19) Ь во1чей!п а виш1аг ГазЬюп. Осйег $В$.$) чапапсь аге оЬсашей Ьу ш$йп8 осЬег 8гарйв Гог Ь, Р апй $). %Ьеп А соггевропйв со сйе Иче-ро!пс зсепсй оГ РЬИиге 4.3.3, Ь апй б аге сйаеопа) шаспсев, гехи!йп8 !п йче-ро!пс $В$,$) чапапсв. $$1Ьеп А сопевропйв Со Сйе вечеп-ро1пС Вепй!в оГ Р$8иге 3.4.2(а), (Ь), Ь апй $) аге Ьсйаеопа!, гези!Ипе !и вечеп-ро1пс $ВГЛ». ТЬеге аге аЬо осйег ровв1Ы1(йев со арргоя'- шасе Г.»Р» 1$)» Ьу а врагве шаспх.

Бее Ахе!ввоп ег ай (1984), Сопсы ег ай (1985), Ахе1звоп апй РоЬпап (1986), Ро!шап (1987) апй Боипече!й ег ай (1985) Гог осйег чегаопв оГ 1ВГЛ»; сЬе Игвс сйгее риЬйсайопз аЬо 8!че ех!В- сисе ргооЬ Гог Р» !Г А !в ап М-псаспхс Иив сопййюп Ь вй8Ы!у счеассепей !и Ройпап (1987). Ахе1звоп апй Ро!исаи (1986) аЬо йЬсивв чессопгайоп апй рагайеИгайоп авресп. Ехегс!ве 4.5.$. $)епче ап а18опсйш со сошрисе а вупипеспс $В$.$$ Гассопг- айоп А т ($, + Р)Р '(Р+ Г,~) — $1$ Гог А вупипеглс. Бее Сопсиз ег ай (1985). Ехегсгве 4.5.2.

Ргоче (4.5.13) Ьу спвресйоп. 4.6. копье исесйос$8 Гог поп-М-спись(ееь %Ьеп поп-ве1Г-ай!оси! рагйа! й!ГГегепс!а! ессиас!опв аге йвсгейхей И шау Ьарреп сйас сйе геви1$!п8 гпаспх А Ь пос ап М-шаспх. ТЫв йерепсЬ оп сйе суре оГ йзсгес!вас!оп апй сйе ча1иев оГ сЬе сое(йс!епЬ, ав йвсызей ш Бесйоп 3.6. Ехашр!ев оГ осЬег аррйсас1опз 1еайп8 со поп-М-шаспх йвсгеИзайопв аге сЬе Ь!Ьаппошс егсиас!оп апй сЛе Бсо)сев апй Ыасйег — Бсо1сев ессиайопв оГ ИиЫ йупаписз. Ре(есг соггесйоп сап Ье ыей 1чйеп опе Ьы а весопй-огйег ассигаге йьсгес!зайоп и!сЬ а шаспх А сйас !в пос ап М-шаспх, апй а Йгзс-огйег йЬ- сгесЬас(оп ейсЬ а псаспх В счЬ!сЬ Ь ап м-шаспх, Гог ехаьпр1е Ьесаиве В !з оЬсашей иИЬ ири!пй йвсгесЬайоп, ог Ьесаые В сои!а!пз агййс!а1 ч!всовссу. ТЬеп опе сап оЫа1п весопй-огйег геви!Св ы Гойосчв.

59 Боте тегйадз 1аг аап-М-тазггсаз 58 Вазсс гсегассче тесйадз А18ог)ГИт 1. 27еуесс соггесс!оа Ьей!п Яо!че ВУ=Ь $ог 1:= 1 вгер 1 ппИ1 и до Бо!че ВУ=Ь вЂ” Ау+Ву У:=У од епд о( а18опс1ип 1. Р!згг!Ьпг!че Иегадоп (4.6.2) Гойосчв СЬе Гойое!»8 (4.6.3) А = М — Сг(В ' (4.6.4) МВ 'у ' = ЬСВ 'у 4 Ь (4.6.5) ог у'" '=у +ВМ '(Ь вЂ” Ау ) И зп(йсез 1п ргасйсе со са1се и = 1 ог 2. рог в!тр1е ргоЬ!етз 11 сап Ье вйогчп сЬас !ог л = 1 а!геаду у Ьаз зесопд-огдег асспгасу. В В ап М-та!их; сЬиз сЬе те!Водя гйвсизвед Ьесоге сап Ье изед со во1че 1ог у.

1ппеад о! во!ч!п8 Ау = Ь оие исау аЬо зо!че АВУ=Ь, У=ВУ (4.6.!) ТЬ!в спау Ье сайед розг-сопд111оа(ик, ш апа!ойу сч!сЬ ргесопдйюисп8, счйеге опе во!чез ВАУ= ВЬ. В Ь сЬозеп висЬ сЬас АВ Ь ап М-таспх ог а втаИ реппгЬас!оп о( ап М-псаспх, зисЬ Исас сЬе врИгдп8 1еадз со а сопчегйепс Иегайоп шесЬод. Ргош (4.6.2) врйсдп8 сог сЬе опйдпа1 таспх А ТЬЬ !ездя со сЬе Гойочдпй !сегадоп спесйод ТЬе Ьегайоп гпесЬосс В Ьазед оп (4.6.3) гасЬег сйап оп (4.6.2), Ьесаияе Ы М и пгодсйед зо Исас (4.6.2) доев пос Ьо!д, сЬеи, оЬч!ооз!у, (4.6.5) яИИ сопчегйев со сйе п8Ы во!ийоп, Ы гс сопчегбев. БисЬ спогййсасюпв о(М оссиг !и зрр!гсадопв о( ровс-сопсИсюпед ссегасюп со сЬе ясоссез апд Ь(ач!ег — ясо1сез еииас!оив. 1сегасюп тесЬод (4.6.4) В сайед д(згг(Ьиг(че Вега!та, Ьесаизе сЬе соггесИоп М '(Ь вЂ” Ау") и гйзспЬшесс очег сЬе е1егпепгв о( У Ьу сйе гпаспх В.

А йепега1 сгеастепс о( сЬ!з арргоасЬ 1в 8!чеп Ьу %!свит (1986, 1989Ь, 1990, 1990а, 1990Ь), счйо айова сйас а пцтЬег о( гчей Сспосчп !сева!!че тесйодз (ог сйе Бсо)сев апс1 Ыач!ег-Ясо~ез ес!иадопв сап Ье !псегргесед ая д!вспйпиче !сегадоп те!йода. Ехаспр1ев »ИИ Ье 81чеп ш Яесдоп 9.7. Та(с!п8 В = Аг апд сЬооз!пй (4.6.2) Со Ье Исе Оаизз — БеЫе1 ог ХасоЬ1 врИСИпй гевп!сз 1п сйе Касглпаг* (1937) ог Сиппйпо (1938) тейюдв, гезресдчесу. ТЬезе спедюдз сопчегйе !ог ечегу гейп!аг А, Ьесаиве Оаивв — Яесде1 апд ЗасоЬ~ сопчегйе (ог вупипеспс роз!ссче дейпйе тасс!сез (а ргоо1 о1 Ииз е!етепсагу геви)с псау Ье (оппд 1и 1заасвоп апс1 Кейег (1966)).

Сопчегйепсе Ь, Ьогчечег, изиайу в!о». 61 /лтгодистгои г 3 О б 2 «,=! «,=О «,=О 5.1. 1о(гос)ис()оо и=(и:О-)П), й=[йтв К) (5.1.3) Нпе Ппдв С 2 3 4 /г О г 2 3 4 /, ~/в 2 Соагве Пг!дв О О г 2 1, г 2 1, Сеп-сеиггес Четгея-сеигтеб 5 РКО1.ОХОАТ1ОМ АМЭ К.ЕЯТК1СТ1ОХ 1п сЫз сЬарсег сЬе степа(ег орега1огз Ьесгчееп йпе апд соатве иг!дз аге дЬсывед. ТЬе тсоптшп П !и идпсЬ сйе рагс!а) сййегепспд ет!иасюп !в со Ье зоЬед Ь аввишед со Ье сЬе д-дйпеы!опа( ип!с сиЬе, ы сйвсывед !п яесдоп 3.2.

1п сЬе сые о( чег1ех-сепсгед д!веге!!гас!оп, сЬе сотприсаПопа1 иг!д Ь дейпед Ьу О= (хя 12: х=//г, /=(/т,/г,."*/«). /т = (Ли/гт, ...,/т«), /,, = О, 1, 2, ..., тт, /т = 1/и„, о = 1,2, ..., д) (5.1.1) сй Яеойоп 3.4. 1п сйе саве оГ сеП-сеисгед д!веге!!вас!оп, ст Ь дейпед Ьу 0= (хи Зг~:х=(1'-Я)/т, /=(/т,,/в ",/д) Я=(1 1,",1)/2 И = (/гт, /тв, ..., /т«), /а = 1, 2, ..., и„„ /т» = 1/и, о = 1, 2, ..., д) (5.1 2) сй Бесс!оп 3.5. ТЬеве аг!дв, оп игИсЬ сйе и!чеп ргоЫетп Ь со Ье зо1чед, аге саПед йпе дпдз.

%!1Ьоис дапиег о( соп(ив!оп, иге и!П а1яо сопвЫег О со Ье сье вес о( диор!ев 1 оссигппй ш (5.1.1) ог (5.1.2). 1п с)ив сЬарсег П вп(йсев со сопвЫег оп1у опе соагзе Ппд. ргош сЬе чегсехсепсгед иг!д (5.1.1) а соатве Ппд Ь детЬед Ьу чегтех-сеитгет/ соагяеи!иа, апд (тоти сЬе сей-сепсгед аг!д (5.1.2) а соагзе аг!д !з депчед Ьу се/1-селтгед соагяеи/ие. 11 Ь а!во роззтЫе со арр1у сеП-сепсгетс соагзеи!пи со чегсехсепсгед ит!дв, апд чке чегва, Ьис гЫв игй! пос Ье зсид!ед, Ьесаые пеиг тпесйткЬ ог 1пиПЫв аге пос оЬса!пес!. Соагзе ипд ииаис!с!ев гчП1 Ье Ыепдйед Ьу ап очегЬаг.

! г 2 Ъ 4 1 г — 1 1 б чеггев -сев!ген Сея - сеиггес Явите 5.1.1 Четгех-сеиггед апд сеП-сеигтед соягвеи!ия 1и оие йшеивсои. ( ° Вт!д ро!иь.) Четсех-сеисгед соагзеп!па сопсдвЬ о( де!ес!пи ечегу оИтег четсех 1п еасЬ д!гесс!оп. Сей-сепсгед соагзеп!пи сопзЬЬ о( саЫпй ипюы о( йпе кпд сейв со оЫа1п соагзе иг!д се!Ь. р!Потев 5.1.1 апд 5.1.2 и!че ап тйысгадоп. П Ь мвитиед сйас и 1и (5.1.!) апд (5.1.2) Ь ечеп. 1)епосе зрасев оГ апд 1ипсдопя Ьу Ьй «тяиг«5.1.1 чеиех-сепг«яд аид сей-сеиггед соагяешия си качо дсшеивюив, ( ° япд рогисв.) 62 Ргаюоляатюрл алю! ге»юле!гол 63 Бюелсю! лаю»!та (5.1.4) г)гиге 5.2.1 Тагес-дьтеивьоияс вселсь!.

5.2. Яеис[[ по(п([оп и Ьеге [А]ю=)ю '[-ьч, 2 — ею] (5.2.6) 5» = [/ а Х»: 3| 4 О «ь!сЬ А (ю, /) ь» 0] (5.2.2) [А]ю=)ю ь[ — 1 2 — 11 (5.2.7) (Ки)ю= ~" К(|,у)лью+1, |вб |ьг' (5.2.8) О,О Гог с|= 1 ав дейпед Ьу Ье дейпед Ьу Кит= ечиг -с+сии+ еюии+ь, ь ю = О, 1, ..., л/2 (5.2.9) елгь= О. ТЬеи ъче Ьаче (сГ. К(ю, 1) = ею (5.2.10) К(ю, — 1) = лл К(|,0) = 1/2, ог (5.2.4) [К]ю= [ию Ц2 ед (5.2.11) ТЬе сгапвГег оретасогв аге депосед Ьу Р апд К: Р:О и, к:и-и Р Ь саПед рю!олеаю!ол, апд К гевюг|сдол.

1п оп$ег со оЬса1и а сопс!ве девспрсюп оГ сйе сгапвГег орегасогв, аеас|! лоюагюл пчй Ье плед. Исепссс погасюп Гог орегасогв оГ Суре и-ь и Ее! А:и- и Ье а 1шеаг орегаьог. ТЬеп, ив|п8 Кепсй посадоп, Аи сап Ье депосед Ьу (Аи)ю= ~~~~ А(|,,))ию»ю, |ВО (5.2.1) ютг «ю11Ь Х = [О, +1, » 2, ... ]. ТЬе вийвсг!рс ю = (юи 1гп ..., ю») Ыепдйев а ро]пс ьп сйе сошрисадопа! 8гЫ !и сйе авиа! ьчау; сГ.

Р]8иге 5,1.2 Гог сЬе саве д = 2. ТЬе вес Я» дейпед Ьу !в саПед сЬе вюгисюыге оГ А. ТЬе вес оГ ча1иев А(ю, !) пю|сЬ,/ в Ял Ь саПед сЬе в!елею! оГ А ас 8пд роьпс ю'. Ойеп сйе ьчоп1 'всепсП' ге(егв гпоге врессйсайу со ап аггау оГ ча]иев т$епосес$ Ьу [А] ю |и ьчЫсЬ сЬе ча1иев оГ А(ю', !) аге 8|чеи; Сот ехашр1е, |и сьчо дппеивюпв, ] А(ю, — ею+ ~) А(ю, еь) [А]ь — — ~ А(ю', — еь) А(|,0) А(|,еь) (5.2.3) А(1, — еь) А(ю, еь — ш)~ ьлйеге еь = (1, 0) аид еь = (О, 1), ТЬе дЬсгес!хас]оп 8]чеп !и (3.4.3) Ьав а всепс!1 оГ суре (5.2.3).