Geddes, Czapor, Ladahn - Algorithms for Computer Algebra, страница 105

%е Ьаче йив ргочесС рагс (й) оЕ йе йеогесп ап»С сче Ьаче рвоте»С йе "оп1у тр' саве оГ рагс (1). ЪУе Ьаче а1во ргочет[ рагс (ш) яшее сче аззише»Е Р» со Ье йе пии!тпа1 а1зеьгасс ехсепя!оп оГ Р ап»С йеп ргочетс сЬас йе гоош оГ ЕС(т) шияс арреы. 557 12. ТЬе гя!ясЬ Го!ее«аппп А!еопйгп То ргоче йе "1П' саяе оГ рап (1), яиррояе йаг а)! йе гоой оЕ ГЕ(г) аге сопя!аппп (ег с; (1 а г < й) Ье йе д)ядпсг гоой оЕ К(г) апд девпе ч (6) (1 ~ 1 ~ пг) Ьу ч (6) =ОС(7(а(6) — с; Ь(6)', Ь(6)) и Р(сг,..., с„)(8] . ТЬе чав агеипгепг ая ш гЬе ргооЕ оЕ ТЬеогегп 12.7 1еадя го йе сопс1ия!оп йаг Ь(8) = П ч;(8) ~=! ««Ьеге «;(8) аге «поп(с апд ПСО(«г(6), ч,(6)) = 1 гог г и Г.

1«ов деЕ!пе а(8) = г Ь(6) + 2„сг «;(6)' П «.(8) г!'' пи вЬеге я ' )я ая дейпед ш йе ягагепгепг оЕ йе йеогегп. Б!псе ь(е)' = 5 «г(е)' й «7(в) !М ве Ьаче, Гог 1 6 lг < пг, а(8) — сг Ь(В)' = 8 сЬ(8) + 'ч" (с; — с„) ч;(8)' П ч (6) г=1 Гчи (гоги в)дсЬ гг Ео!! овя йаг (6) ~ (о(е) - с ь(в)'), Ву дейп(акоп, «я(В) ) (а(8) — ся Ь(6)') яо ие сап сопи!иде йаг чг(6) / (а(6) — а(8)). ТЬгя Ьо!г!я Еог еасЬ Г.

Ригйеппоге, гдпсе ОСЕ)(ч;(6), ч.(8)) = 1 Еог Е и 7' ве Ьаче Ь(8) / (а(6) — а(8)). 1)гдпд йе деепгдоп оГф, сЛе Го««пи!а деегдпа а(8) га)сея йе Гопп т ~И а(6) = 2, с; П ч (6) (ч;(8)' — дед(ч,(6)) и' ч;(6)) ' Гча Погп и ЬдсЬ Ь го11овя гЬаг дефа(8)) < дефЬ(8)) (яее йе пвясияиоп ргесейпв йе ягагегпепг оГ гЬе йеогегп гееагпвпе сапсе11адоп оГ йе !еапепе гепп оГ ч;(8)'). 5!псе а1яо дее(а(е)) < дее(Ь(6)) ие Ьаче деа(а(8) — а(6)) < дее(Ь(6)) апд йия а(8) — а(8) = О, ).е.

а(8) = а(6). %е Ьаче ргочед йаг О(61, " «Г(е) Ь(е) ш ! «,(6) апд с1еаг)у ) — )я е!егпепйгу )п йй саяе. го(6) . 3 л(в> 558 А18апйнпв Еог Сошршег А18еЬш Аз шепйопед ш йе саве оЕ!ойапйпнс ехсепяопз, йе ч;(8) ш рагс (й) сап Ье согпрнсед няп8 йе (лхагд/Е!оЬоагТга8ег ннйод аЕ йе ргечюнв сЬарют. Ехропепйа! Ехгепяоп: Всгейгаг!оп о(йе Ро!упонйа! Рагг ТЬе "Ро!Упопйв[ Рагг" оЕ аи шюйтаид Е н К(х, Вс..., 6„), ш йе сазе чгнеге йе 1азс ехсеивюп 6 = 8„!в ехропепйа! очег Р„с = К(х, Вс,..., В„с), 1з ап "ехсепдед ро!упондар' р(8)= т р Вт, р)н Р„„с (12.28) нЬеге с; н К (йе а!ВеЬгак с!озше оЕ К) Еог 1 5 с < ги апд чс(8) н Р„,(9) (йе йе1д Р„с(8) чдй нз сопвсапс ВеЫ ехсепдед со К) !ог 0 й Е 5 ш.

Аг8н1и8 ав 1и йе ргоаЕ оЕ Е!ончт1!е'в Рппсср!е (ТЬеогесп 12.5), ъе спау авва!не ъч1йош 1овз оЕ Вепега1ссу йас еасЬ с;(8) (1 5 с й ги) Ы енЬег ап е1егпепс оЕ Р„с ог е1ве !з нюп)с аид нтеднс(Ые 1п Р„![6[. Рнтсиеппоге, сче сапе!нде йас чо(9) саппос Ьаче а поп-спопоинас Еассог ш ссз деиапдпаюг Ьесаиве знсЬ а (аслот яоЫд гестясп (со а ЫВЬег расчет) !п йе деиостйпасог оЕ йе депчанче. 8!пн!аг1у, ч;(6)(1<с <ш) саипос Ьаче поп-пюпопна! Еассотв.

1с Ео!!осчв йас еасЬ ч;(8) (1 5 с 5 ж) !в е!сЬег ан е1еспеис о( Р„с ог е1ве ч;(8) = 6 (йе оп1у гиоп1с, нтеднс!Ые пюпапна1 ш Р„![6[). Нон ечег, 1Е ч;(8) = 8 йеп йе сопезропд!п8 сепп 1и сЬе зннипайоп Ьесопмв чг(8)' " ч,(8) счЫсЬ саи Ье аЬвогЬед 1псо сЬе сени чо(6)'. ТЬе сапе!нз1ои Ь йас !Ер(6) Ьаз ап е1япепину 1псейга1 йеп ( с ) ю р(9) = 2, н)8' ' т 2, с!в (с-е (12.29) ччнете 8 и Р„с (-7с 5 ( 5 !), с; и К (! < с 5 ги), апд ч, н Р„с (1 5 с' й и). ТЬе Еаст йаС йе 1пдех оЕ яишпаноп 1и йе чо(8) сени оп йе пВЬс Ьапд зисе оЕ ецнайоп (12.29) нязс Ьаче йе вине гаийе -/с й у й 1 аз йе виншяйоп деЕ!пш8 р(9) Ы ес(надои (12.28) Ео!)осчв Ьош ТЬеогепс 12<8 Хайпй йас счЫсЬ нау соппйп Ьой ровИче апд пейайче расчета оЕ 6. %е пост сопзЫег йе ргоЫегп оЕ сошршш8 ) р(6) счЬеге 6 = ехр(и) Еаг ютпе и и Р„н Ву (апач[Ее'в Риис(р1е, !Е р(8) Ьав аи е!ешепяту !исе8ш! йеп ч,(8)' Р(8) = чи(6)' + '2„ сс— ,(8) 559 12.

ТЬе К[ась !пш8гаьоп А18ог!дип Ьу еьиаип8 соеЕВсгепш оЕ!Йе роз егв оЕ 6 ециадопв (12.28)-(12.29) у!е!д йе ЕоБоидп8 зув!егп оЕ ег[иаьопз: р =д'+Ел гу !ог -lг</<-1 апд 1 ~7<1, Ро=Чо »гьеге иге Ьаче !пггодисед йе певч шдегепшпаге г)о = до+ Х с; 1о8(»;). ТЬе 8!чеп соеЕЕггеи с!епш аге р и р„г (-Ег 5 7' 5!) апд юе пюш дегепшпе зо!ибопв 9) и Р„! (Е чг0) апд 9ои Р„г(1о8(»,),..., 1о8(» )). ТЬево1идопЕогйесавеЕ=ОВв1шр1у Чо= !Ро 1Е !Ро !в пог е!ешепигу гЬеп ие сап сопс1иде йаг !р(6) !в пог е1егпепшгу. Сиьеж!ве, йе дезьед гопп Еог 9о Ьаз Ьееп дегегпипед. Рог еасЬ Е Л О, ъче пюзГ зо!че а д!ЕЕегепиа[ еЦиаьоп Еог д и Г„п ТЬВ рывки!аг Ешш о( д[ЕЕегепьа[ е0иаьоп, папе!у У '»ХУ =8 жьеге йе Ьдчеп Еипсг!опз аге Е, 8 и р„! апд гче пюзг дегепшпе а зо1идоп у и р„п Ы Ьпоюп ав а ЕЕ!зсЬ д[дегельа( ериапол.

Аг ргю 8)апсе, 11 ьд8Ы вееш йы вче Ьаче гер!асед оиг оп8!па1 1пге8гаг!оп ргоЫегп Ьу а Ьаи)ег ргоЫеш, йаг оЕ зо1»дп8 а д[ЕЕегепьа[ е9иаьоп. Новчечег, в!псе йе зо1идоп го йе д[ЕЕшепьа[ ециадоп Ы гезгпсгед зз Ие ш йе вапм ВеЫ аз йе йгпсьопз Е' зпд 8 (розз[Ыу идй ап ехгепзшп оЕ йе сопзгапг Ве!д), Ь Ы ром1Ые го во1че йе Изсь гВЕЕегешга! е0иаг!оп ог е1ве ш ргоче йас йеге В по воЬгьоп оЕ йе деагед Еопп.

!Е апу оЕ йе КгшЬ пТЕЕегепда! ег[иаьопв !п йе аЬоче зувгегп Еа!!з го Ьаче а зо1идоп йеп ч»е сап сопс1иде йас [р (6) Ы пог е!егпепгагу. Ойеггч!ве [Р(6) = Х 976'+ 0о. /40 ТЬе Изсь д!ЕЕегепьз) ег[иаьоп ъчаз !шьа11у згид(ед Ьу ИвсЬ [15[ 1п 1969. ТЬе Вгзг а18опдип Еог во! ч!п8 гЫз ег[иаьоп сзп Ье Еоипд 1п й!з рарег. 5иьве0иепг а18ог!гЬшв юеге 8Ыеп Ьу Койвгегп [2Ц !п ! 976, Оачепроп [10! !п 1986 апд Вгопвге!п [4! ш 1990. Тье 1аьег агдс1е ргезепь а зьпр1е, геадаЫе девспрьоп оЕ й!з ргоЫегп апд !ш зо!идоп.

11 а1во ргезепгз а вгер-Ьу-вгер а18оьйгп ч»Ы<Ь дегеппшез игьейег йе егршдоп доев шдеед Ьаче ап е!епмпгагу во1иьоп, апд !Е во, Ь сошршев йе во)иьоп. Ехашр1е 12.15. Тье 1пге8га( — ег[(х) = ! ехр(-х ) г 2 Ьав 1пге8гапд Е(6) = 6 е ()(х, 6) ччьеге 6 = ехр(-х ). !Е йе Ьье8га! гз е!егпепгагу йеп А16опйшв Еог Сожрав А16еЬга и Ьеге дт и 0(х) 1в а во1иьоп оЕ йе )!!всь б)ЕЕегепт(а( ет)паьоп от' — 2х т?т — — 1 Ьтовт впррове йат йй б!ЕЕетепьа! ет(иаьоп Ьав а во!иьоп от(х)=а(х)ЕЫх) вт!1Ь беВ(Ь(х)) > О. Р!и661пВ йй гаьопа1 6шсбоп !пто йе б!ЕЕегепьа) ет)иаьоп, тле Опб бтвт йе 1е?т Ьапб вЫе ш!1! Ье а габопа! Ьтпсбоп и!й а поль!и!а! бепопбпатот (Ьесаиве ййегепбат1оп оЕ а(х)ЕЬ(х) у!е1бв а пеш таьопа! Еипсьоп тиЫсь, 1п гебисеб Еопп, Ьав а бепотапатог оЕ беВгее Втеатег йап беВ(Ь(х))).

В!псе йе ПВЬт Ьапб вЫе Лав по бепотпшашг, тле сопс1пбе йат йе оп!у рова!Ые гаьопа1 Еипсбоп во!ибоп пюы Ье а ро1упситба1. Р!па!)у, 1Е тве ровш1ате а ро!употша1 во!иьоп й(х) и!й беВ(т?т(х)) = л Итеп йе 1ей Ьапб ябе иб11 Ье а ро1упопба1 оЕ бедгее л+ 1 (Ьесаиве б!ЕЕегепьаьоп бестеавев йе беВтее шЫ!е йе ргобист 2х т?т(х) шсгеавев йе берса Ьу опе). В)псе йе г!ВЫ Ьапб вЫе 1в а ро!упопба! оЕ беВтее хего, тве сопс!ибе йат йе б!ЕЕегепьа! ет)иаьоп Ьав по во!ибоп!п Щх). Непсе тве сопс1ибе гьат) ехр(-хт) 1в пот е1ешепыту.

Ехагнр)е 12.16, ТЬе !птеВга) ) х* сап Ье и пьеп ибй 1птеВгапб ехр(х 1оа(х)) = Вт и 12(х, Вт, Вт) шьеге В, = 1оВ(х) впб Вт = ехР(хВ,). ЕЕ йе 1птеВга! !в е1ептепснУ йеп 1Вг=Чт'Вг шЬеге д, и (г(х, 6,). Р!ЕЕегепьат!пВ Ьой абев В!ттев Вт = т?т'Вт + дт (6, + ! ) Вт вЫсЬ а?тот еоиабпВ соеЕЕтс!ептв в!тпр!!Етев ш 1 =?! + (61+ 1) т?1 . В!псе Вт !в ьапвсепбепта! оттег Я(х), епиаьпВ соей1с!епь оЕ тЫв ет!иаьоп ав ро1упопив)в тп Вт В(чев 1 =т?т'+от, апб О=т?т, юЫсЬ Ьав по во1шюп. Тьив)х" 1в пот е1ешептату. 561 12. ТЬе К!зсЬ Ьгге8шдоп А18опйит Ехагпр1е 12.17.

ТЬе !пге8га1 (4х +4х — 1)(ех х )+1) е (х~ — 1) (х + 1) Лаз 1пте8гапд 4хг+ 4х — 1 7(8)= (ВЯ вЂ” 1) и 9(х,8) (х + 1) ччЬеге 8 = ехр(хя). 1Г гЬе !пге8та! тз е!ешепгагу йеп ~У(Е) = Г,В'+ Ц ччЛеге йе еВна6опв го Ье заивйед аге 4хт+ 4х — 1 г(2 + 4х г72 = + !)2 4х~+ 4х — ! Чо=- (х + 1)т ТЬе !аист от[наг!оп сап Ье !иге8шгед го уге!д тГо гчЛ!сЬ !в е1ешепшту. ТЬе д!ГГегепда) еВна- поп Гог тут и ()(х) сап Ье во!чед няп8 Вгопзге!п*в а18опйти у!е1тВп8 1 г72 х+1 Непсе йе оп8!па! !пге8та[ [в е!степ!ау аид Ь гв)гез йе Гопп Г= — ехр (х ) — +4!о8(х+ 1) . 1 2 2 (2х~~~ х+1 х+1 Рог а К!зсЬ а18оийпг ччЫсЬ а[1оччв Гог ехгепчопв ойег йап !нзт екропеппа1, 1озат!йпнс, ог а18еЬга!с, что геГег йе теадег го йе ччог$с оГ СЬепу [7,8! нтЫсЬ а(!огчз Еог ехтепв!опз знсЬ аз етчог Гниет!опв апд !о8апйпнс 1пгедга! к. 12.8.