А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 6

Появление й гербов в одном опыте будем 1 называть успехом. Вероятность успеха р = — „. Проще 2ь вычислить вероятность противоположного события 'А = (за и испытаний все й монет ни разу одновременно не выпали гербами). Полоясим С,-(в (-м испытании проиаошел успех). Тогда А = С~се... С„, н по формуле (2.6) находим Р(А) =ЯР(С,) — (1 — — "„)". Для вычисления Р(Я) можно было также воспольаоваться формулой (2.11), положив в ней т = О, р= —, т = 1 — —. Таким образом вь Р (А) = 1 — Р (А) = 1 — (1 — — ) . Вероятность события В определяем по формуле (2Л1): Р(В) = С~™( — ь) (1 — — ь) Если в формуле (2Л1) параметр р р =Л,/и, где Л - Л (0<Л( ) прн и-, то согласно теореме Ву- ассона (л„~»'г л„т"- Н Р(р„- т) - Нш С„, Я р ь"~с» »й т=О, 1, 2,, (2Л2)' 11 31 Правая часть формулы (2.12) используется в нрило. >келиях как приближенное значение вероятности Р(и = т) при больших значениях и н малых значениях р.

Известно (см. [2], с. 124, теорема 9), что при любом мно! х<естве В~= (О, 1, 2, ) ьз соней (2.14) ) 1 1о .>!О х> ( (ХО~ -+ — — ) в ии ~/>>од ~ ~/2п х равномерно по хи х> ( — (х1 (х>( ). Правые части формул (2.13) и (2.14) дают хорошее приближение, когда и достаточно велико, а р и у не очень близки к нулю. Часто нормальным приближением пользуются прп пру ) 20. Ошибка при использовании 32 (это можно вывести таки>е пз задачи 4.107, см.

гл. 4)'. Пример 2.5. В партии из и =200 иэделий каждое изделие пезавцснмо от остальных может быть бракованным с вероятностью р = 0,01, Оценить вероятность того, что число ро бракованных изделий з атой партии равно трем. Решение. Величина пр'=0,02 мала. В качестве приближенного значения искомой вероятности мохи>о использовать предельное значение в (2.12) (теорему Пуас- 2 сова) с л = пр = 2; Р(р„.= 3) ж —,в '.По табл. 3 (с.

308) находим числовое значение: Р(и„=3) эз 0,18045... Точное значение вероятности можно найти по формуле (2 11): Р (Р = 3) = С,',оо (0,01)' (О 99) мп = 0 181355 Приведем формулировки двух теорем Муавра— Лапласа. Локальная теорема. Если и -, у =сопзс, 0(р(1, О(с (х = — "' "6(с (оо, то 2 1 ОО т~ ' — 'М Р(1>, = т) = ехр ~ — —,; ~ ~1 + О [ — )1 (2,13) Р2лвлд ~ ' ~ ~ [,~/по равномерно по значениям х„„ж [си с>).

Интегральная теореме. Если и- о, р= 0(р(1, то нормального приближения ма>нет увеличиваться иа-эа дискретности допредельного распределения (см. аадачи 2.61, 2.62). Эта ошибка имеет порядок 0(1>упрд). Приведенные замечания очень приблихоенны и носят скорее качественный характер. Предельное выражение в (2 14) легко можно выразить через значения одной пз функций х х >>з 1 Р >2 Ф(х) = — ( е ' >зЫи, 11>о(х) = =[ в "~ ди.

Для вычисления предельных выражений в (2.12) и (2,14) можно использовать табл. 3 и 1. В качестве примера, иллюстрирующего испольаоваяие интегральной теоремы, рассмотрим пример 2.5 с изменен ными значениями параметров. Пример 2.6. В партии нз и = 22500 иэделий, каждое изделие независимо от других может быть бракован ным с вероятностью р-1/5, Найти веронтность того, что число ро бракованных изделий заключено между 4380 и 4560. 1' е ш е я и е. Значение прд = 3600 велико, поэтому можно воспользоваться нормальным приближением (2.14). Вычтем ну =4500 из трех частей неравенства 4380 ( 1> ( 4560 я получившееся неравенство поделим почлеппо на ,Упру = 60: по — 2 ( — "(1.

~/ ляд Используя (2.14), получим > „О Р(4380()>п(4560)=Р— 2( " (1~ж — ~ в >1х. Так как х > х х> — ) в ' дх= = ) в ' дх+ = ) в ' с>х Ф (1) + Ф (2) и 2л -)/лл -Ь 2л О О О -> О о то (см. табл. 1, с. 306 — 307). Р(4380 ( 1> ( 4560) = 0,3413+ 0,4772 0,8185. Иногда в аадачах требуется указать отрезок, в котором с заданной вероятностью лежат значения числа ус- 3 л. м, втэков О да, 33 Тогда АА = ь1ьв ° ° ь1-1СА, Р (А) = ~~ ', Р (ВА) Р (А ! ВА) 1=1 (2.18) т = 1,, „пх (2.19) А 1 пехов (А„. В етом случае нужно находить решения уравнений вида 1 — Ф(х)=а и строить по ним приближения для искомого отрезка. В табл.

2 приведены величины и, определяемые равенством 1- Ф(и,) оь При наличии микрокалькулятора для вычисления Ф(х)' и и„можно также пользоваться приближенными формуламих) Ю Р„2(1 — Ф(х)) == е " ди '1/2я 0 (83х + 351) х + 562 ) ехр~ 703/х+ 185 (, 0 ( х (» 5,51 в Г ((4у+ 100) у+ 205) ув х- йг ((2у+58)у+192)у+1311 2 10 '«Р, Я11 где у — 1п Р*.

В укаэанных интервалах зпачопнй х и Р„относительная ошибка первой формулы не превышает 0,042 %, а абсолютная ошибка второй— 0,00013. Для значений х и Р„, лежащих вне укаэанных интервалов, можно использовать приближенные формул11 ' ° / 2 1 ( х 0,941 Р„= вг — — ехрг — — — — ') хх 55 т я * (. 2 в) х 1 /((2у + 280) у + 572) 10 2 10 У (у+144) у+803 1 где у — 1п Р„. Во многих задачах приходится рассматривать бесконечные последовательности испытаний.

В этом случае полагают (7 ((11, 11, ...): (Аю(1, 2, ..., М), (2Л5) а-алгебра событий лд порождается событиями вида А1,",,'1„[(1„1„...): 111 711 ..., АА„- 7 ). (2.16) В случае независимых испытаний Р( 1,"":-)-р1," р. (2Л 7) Равенства '(2.17) однозначно определяют вероятность яа .от (см. 15)).

о) Смл 11огоп во Я. Е. Арргохппабопв (ог Ьапд са!оп!а(огв пв(пл вша!1 1пгеиог ооо(11о(еп(в у Ывг(ь Союрп(,— 1977,— 1(, 31, И 137.— Р. 214 — 225, Пример 2.7. Найти вероятность того, что в схеме Бернулли первый успех появится в й-м испытании, если вероятность успеха в отдельном испытании равна р. Р е ш е н и е. Событие АА (первый успех появился в й-м испытании) определяется исходами в й первых испытаниях. Пусть событие С, (в 1-м испытании наступил успех). и по формуле (2Л7) находим Р(А,) = Р(В1) Р(Вв)... Р(ВА 1) Р(с„) = д1-1р. Приведем еще две формулы, полезные в тех случаях, «огда заданы или могут быть легко вычислены условные вероятности.

Если события Вь Вв, ..., В„попарно несовместны и В~ 0 Во 0... 0 В. =(7, то для любого события А имеем ,'(формула полной вероятности) и Р(В ( 1) ( ~)Г(~( ~) Х У(ЯА)'(-4(11А) 1(формула Вайеса). Пример 2.8. В ящик, содержащий 8 исправных иэ- делий, добавлено 2 изделия, взятых со склада; известно, что доля браковапных иэделий на складе равна 5%. Найти вероятность того, что взятое наудачу иа попол- ненного ящика изделие не будет бракованным. Решение.

Определим события А, Во, В1, Вв. А =(изделие, взятое иа пополненного ящика, не бракованное), В, = (иэ двух изделий, добавленных в ящик, й бракованных), й = О, 1, 2. Очевидно, что Во 0 В1 0 Вв (7 и ВАВ1 (7( (й чь 1)'. Можно воспользоваться формулой полной вероятности (2,18) Р(А) = Р(Во)Р(А(Во)+ Р(В~)Р(А)В1)+ Р(Вэ)Р(А(Вв). 3* 35 Если произошло событие В„то в ящике из 10 иаделий й бракованн»зх, следовательно, Р(А!Вд) —, й 0,1,2.

»о — л При выборе малого числа иаделий из большой партии схемы выбора беа возвращения и с возвращением имеют близкие вероятности исходов (см. задачу 1Л8). Считая поэтому, что каждое из добавленных иаделнй независимо от другого может быть бракованным с вероятностью 0,05, находим Р(В») 0,95», Р(В~)= 2 0,95 0,05, Р(В») 0,05». Таким образом, Р(А)-0,95* 1+ 2 0,95 0,05 — + 0,05' —, 0,99.

Пример 2.9. Иэ урны, содержащей 3 белых и 2 чер- ных шара, по схеме выбора беэ возвращения отобрали 2 шара. Шар, взятый наудачу из этих двух, оказался белым. Какова вероятность того, что второй шар то>не белыйу Р е ш е н и е. Определим события В„=(среди двух отобранных иэ урны шаров й белых), й О, 1, 2, А =(шар, ваятый наудачу иэ двух отобранных, белый«). Условную вероятность Р(В»(А), которую требует'.и най- ти, можно вычислить по формуле Байеса (2.19): г(в,)г(А)в,) Г (В ) Г (А 1 В„) + Г (В ) Г (А ! В ) + Г (В ) Г (А ! В ) ' Вероятности, связанные с навлечением двух шаров иа урны, найдем с помощью классического определения вероятности: с» Р (В,) - —,' = 0,1, » Так же определяются условные вероятности, свяаанные с извлечением одного шара из двух отобранных.

Р(А (Ва) О, Р(А!В|) О 5 Р(А !В») 1. Значит, о,з 1 0,1 0 + 0,0 0,0 + О,З 1 2 ' 00 й 1. Условные вероятности В задачах 2Л вЂ” 2.6 вероятностное пространство считается заданным; для вычисления условных вероятностей нужно испольэовать формулу (2.1). 2Л'. Из множества чисел (1, 2, ..., )») по схеме случайного выбора беа возвращения выбираются три числа. Найти условну»о вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный первыми двуми, если известно, что первое число меньше второго, 2.2'.

Брошено две игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится па пять. 2.3'. Из 100 карточек с числами 00, 01, ..., 98, 99 случайно выбирается одна. Пусть ц1 и ц» — соответственно сумма и произведение цифр на выбранной карточке. Найти Р(гн = »!ц» 0), 1=0, 1, ..., 18, 2А.

Из урны, содержащей М белых и !»' — М черных шаров, последовательно без возвращения извлекают я шаров. Пусть А~»О(А~»~) — событие, состоящее в том, что»чй шар был черный (белый). Используя классическое определение случайного выбора (гл. 1), найти Р(А",+"! А»~"А»"'... Ам») э» 0 1. 2.5. Эешнть задачу 2А в случае выбора с возвращением (см. введение к гл. 1, (1.3)). 2.6 .

Стучайный выбор двух подмножеств А~ и А» из множества 8 (1, 2...,, !»') производится так же, как и в задаче 1.23. Найти условну»о вероятность Р((А~! =10 !А»! = !» ! А, й А» = О) того, что множества А1 и А» состоят из 11 и !» элементов соответственно при условии, что А| и А» не пересекаются. В задачах 2.7 — 2Л1 предполагаются ааданными условные вероятности; при решении используются формулы (2.2), (2.3). 2.7'. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету.

Найти вероятность того, что: а) первый студент взял «хороший» билет, о) второй студент взял «хороший» билет, в) оба студента взяли «хорошие» билеты. 2.8'. Два игрока поочередно извлекают шары (без возвращения) из урны, зодер»кащей М белых и !»' — М 07 черных шаров. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Используя формулу (2.3), найти вероятность вы- игрыша первого участника, если: а) У 4, М 1; б) У = 5, М 1; в) У = 7, М 2.

2.9'. Из урны, содержащей М белых и Ж вЂ” М черных шаров, по одному без возвращения извлекаются все ша- ры. Используя определение случайного выбора в терми- нах условных вероятностей, найти вероятности событий: А» = (44-й шар белый), В,, (Ь-й н Ьй шары белые), С»,4= ()»-й шар черный, а (-й белый). 2ЛО'. Иа урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных и 2 красных, два игрока поочередно навлекают по одно- му шару без возвращендя. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Если появляется красный шар то ! объявляется ничья.