А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 5

Вычислить зту вероятность при Ь = 2г. При каких Ь и г вероятности упасть на основание и на боковую поверх-. ность одинаковы7 1.80. Неоднородный прямой круговой цилиндр случайно бросается на горизонтальную плоскость. Радиус основания цилиндра г, центр тяжести расположен на оси симметрии цилиндра на расстоянии а от одного основания и Ь ) а от другого основания цилиндра. Найти вероятность того, что цилиндр упадет: а) на основание, расположенное ближе к центру; б) на основание, более удаленное от центра тяжести; в) на боковую поверхность. 1.81. Однородный прямой круговой конус с высотой Ь и радиусом основания г случайно бросается на гори- аонтальную плоскость.

а) Найти вероятность того, йто он упадет на основание; б) вычислить эту вероятность при г Ь; в) при каком отношении г/Ь ета вероятность равна 1/4? 1,82. Однородное тело, ограниченное сферой и плоскостью, проходящей через центр сферы (полушар), случайно бросается на горизонтальную плоскость. Найти вероятность того, что полушар упадет на плоскую часть своей границы.

1.83. Длинный однородный брус прямоугольного поперечного сечения размера а Х Ь, Ь ~ а, случайно бросается на горизонтальную плоскость так, что его ось параллельна этой плоскости, а угол поворота относительно этой оси равномерно распределен в (О, 2я). Найти вероятность того, что он упадет на более широкую грань, 1.84~. На плоскости проведено и окружностей 81, ... ..., К„с общим центром О; радиус окружности оь равен Й (Й = 1, 2, ..., и). Случайная точка А имеет равномерное распределение в пруте, ограниченном окружностью Я; АВС вЂ” правильный треугольник, одной нз вершин которого является А, а центром — точка О. Найти вероятность Р того, что граница треугольника АВС пересекает ровно пз окружностей, тп О, 1, ..., и. 1.85.

Найти вероятность Р, того, что случайная точка ь = («„..., з„), имеющая равномерное распределение в п-мерном кубе К„= [(х„..„х„) ~ В": шах )хь!(1)ь 1«Ь«» принадлежит и-мерному шару 85 ((хз, ..., хп) е Вп1 хь'+ ... + х„'(1), вписанному в К„, Вычислить Р„для и = 2, 3, 10, 20. Глава 2 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИИ В построении математической модели последователь. ности испытаний важнуьо роль играют понятия независимости событий и условной веронтности. Условььая вероятность Р(В!А) события В прн условии, что событие А произошло, определяется формулой Р(В)А) = '„',"„~', Р(А)~О. (2А) Это равенство может быть записано в виде «теоремы умножении» Р(АВ) = Р(А) Р(В!А). (2.2)' Обобщением (2.2) является формула Р(А1А» ..

° А ) = Р(А1) Р(А»!А1) Р(А»!А ~А») ° ° ...Р(А„)А1Аз...А 1). (23) Равенство Р(В(А) = Р(В) (2.4) естественно интерпретировать как независимость события В от А. В качестве определения независимости двух событий А и В принимается более симметричное условие Р(АВ) = Р(А) Р(В), (2.5) эквивалентное (2.4), если Р(А)) О. Из (2.5) следует независимость (см. задачу 2.18) еще трех пар событий: 20 Я и В, А н В, Я и В.

События А1, Аз, ..., А„называются взаимно независимыми (илн независимыми и совокупности, или просто независимыми), если для всех комбинаций индексов 1<1,<ьз<...<1', -и (Й=2, ..., п) имеем ( 11 '''' ц) ( '1) ( 15)'' ( и)' Если (2.0) выполняется только при Й=2, то события А1, ..., А„называьот попарььо независимыми; о связи попарпой и взаимной независимости см.

задачи 2.22 и 2.23. Многие важные модели серии опытов со случайными исходами часто описываются либо условными вероятностями, либо предположением »5» о независимости исходов различных опытов и зада- 0,7Ю пнем безусловных вероят- 0,77 пастей исходов. В таких слу-,'~,'лс чаях по формулам (2.3) или (2.6) можно, используя заданные условные веронтности нли независимость, 55 вычислить вероятности эле- „с« ментарных событий. э';,сз П р и м е р '2.1. Возмож- Рнс. 3 ные превращения радиоактивного ядра палладин 4«Рь( можно представить в виде 1!5 графа, приведенного на рис.

3. В обозначениях ядер нивьний индекс равен числу протонов в ядре, верхний индекс — сумме числа протонов и числа неитронов. Буква тп в верхнем индексе означает возбужденное состояние ядра. Дугами обозначены возможные превращения ядер; рядом с дугами указаны вероятности соответствующих превращений. Найти вероятность того, что ядро палладия 4«Р6 превратится в ядро кадмия 4«Сь). 115 115 Р е ш е н и е. Обозначим А„А», Аз события, состоящие в том, что в превращениях участвовали ядра ~~«Рь(, 1П 115 45Ад, 4,Сь). Тогда условия задачи можно записать в виде Р(А,)= 1, Р(А»!А1)=0,73, Р(Аз)А1А»)=0,9)5. Нужно найти р Р(А1А»Аз).

По формуле (2.3) находим р = Р (А1) Р(А,(А,) Р (Аз)А1Аз) = 0 73 О 915 = О 60795..й Схема случайного выбора без возвращения (см. гл. 1) естественно онределяетси в терминах условных вероятностей: если известен результат первых Й испытаний, то 27 при (й+1)-м испытании с равными вероятпостямв может появиться любой из оставшихся элементов, Модель случайного выбора, сформулированная з терминах условных вероятностей, совпадает с определением из гл.

1. В терминах независимости и равновероятностн результатов отдельных испытаний может быть описана в схема случайного выбора с возвращением, определенная в гл. 1. Пример 2.2. Из урны, содержащен 3 белых и 2 черных шара, по схеме случайного выбора без возвращения последовательно извлвкаются шары. Найти вероятность р„ того, что черный шар впервые появится прн й-и испытании (й= 1, 2, 3, 4).

Решение. Обозначим С< событие, состоящее в том„ что в 1-и испытании появился черный шар. Тогда события В„= (впервые черный шар появился при й-м испытании), й = 1, 2, 3, 4, можно выразить через С, и С<1 В< = С<, Вз С<Сз, Вз С<СзСз, В4 С<СзСзСе По формуле (2.3) Р (В< ) Р (С<), Р (Вз) Р (С<) Р (Сз(С)), Р(Вз) Р(С<)Р(Сз)С<)Р(Сз<С<Сз), Р(В4) Р(С<)Р(Сз)С<)Р(Сз!С<Сз)Р(С4(С1Сзьз) ° По классическому определению вероятности Р(С,) —, Р(С,) —, Р(С<~,~С, ... С<) Р (С<4 1!С ... С;.) —, 1 = 1, 24 3. В результате получим р =Р(В) — =0,4, р =Р(Вз) — — 034 2 2 3 2 2 Р Р(В.) — — — 0 2„ 5 4 3 3 2 $2 = Р(В) — —.—, —.

.4 4 5 4,'3'2 ' ° Дадим определение последовательности испытаний. Пусть йв=((11, Ьз, ..., $ ): 11<и П, 2,, М>, й 1, 2, ..., и). (2.7) Элементарное событие ю =(11, 1з, ..., 1.) интерпретируется как цепочка исходов в и последовательных испытаниях, каждое нз которых ив<еет <г несовместных исходов: 1, 2, ..., <т'. Если положить ' ' ' " <«)< Л '" <«-1' где р<, )О, ~ р,, =1 (з 1, ...,п~ ъ< 1 <<<и (1, ..., Ю, 1 <= й < з), то на подмножествах множества й„однозначно определяется вероятность Р(А) = ~ Р(ь<), А с=й„, (2.8) Построенное вероятностное пространство является математической моделью последовательности и испытаний. Последовательностью независимых однородных испытаний является частный случай приведенной общей модели, в которой формулу (2.8) надо заменить формулой Р(<о) р, р, ...

р. (<зеп(1, ..., Ф), 1а;.йа' и) (2.9) где р< + рз+... + р„= 1, р< > О, 1 = 1, 2, ..., <т'. Определение последовательности независимых испы таннй можно дать в форме произведения вероятностных пространств. <Нолозким йз = (1, 2, ..., АО; тогда й„в (2.7) можно записать в виде й„=й„хй„Х ... Хй,-й"„ и для любого А =А<ХАзХ...

ХА„, где А<, ..., А„~ йз, НМЕЕЛ< Р(А) = Р(А<) Р(Аз)- Р(А.). Здесь Р(А<) = р, + р< + ... + Р<,если А< =(11, 11,. ° ., 1.). Обоаначим А;, событие, состоящее в том, что в 1-и (1> испытании наступил исход (ь В модели (2.7), (2.8) Р(А(о<А<1<А,'з<... А'1 1 4, ° ° ° << 11 =Р<)< а в модели (2.7), (2.9)' Р (АО< ! А('<А(з<...

АО ю) <1~ <, <, ° ° ° 01< Р, ° Обозначим Вз< событие, состоящее в том, что в 1-м <и испытании исход принадлежит множеству Я< = (11,... ..., 1<, ). Для независимых испытаний события Ва<'~, 1' 29 Вь, ..., Вз„являются взаимно независимыми при лю. бом выборе Бь ..., Я„. Если в (2.8) положить Р р . Р01)0, Р01+ °" ° .. + рн10 1, то получится последовательность независимых (неоднородных) испытаний, в которых вероятности исходов зависят от номера испытаний (по не от результатов предыдущих испытаний). Вероятностную модель, определенну1о формулами (2.7), (2.9), называют также полиномиальной схемой.

Обоаиачим через $,, число появлений исхода 1 в и испытаниях полиномиальной схемы. При решении задач полезна формула Р Д„л = т„~„л — т„..., $ь,н = тн) »~ ы1 ть тк р, р, ...рн ь (2ЛО) т ш....тн где,т,>О (1=1, 2, ..., )т) целые и п=т~+та+..; ...+ т». Последовательность исходов полиномиальной схемы с Ж 10, в каждом испытании которой каждый из исходов О, 1, 2, ..., 9 появляется с вероятностью 1/10, пазы. веют случайными числами.

Пример 2.3. Найти вероятность того, что среди 10 одноаначных случайных чисел ровно 4 четных числа и 2 нечетных числа, кратных 3. Решение. Однозначное случайное число четно с ве- 5 1 роятностью рг — = —, нечетно и кратно 3 с вероят- 10 2' 2 1 ностыо рз = — = —. Вероятность остальных исходов 10 5' 3 рз = 1 — Ръ Рз = 1' . Если $~ — число четных чисел сре- 10' ди 10 случайных чисел, $т — число нечетных чисел, кратных 3, то число остальных чисел $з 10- тл — $1, и по формуле (2.10) с )т' = и = 10 находим Р ($, = 4, $ = 2) = Р ($„4, $, 2, $х='4) =4'~~'4 ~г) й) (10) -0,063787...,а Частный случай полнномиальпой схемы с )т' 2 называют схемой Бернулли.

Ниже два исхода каждого испытания в схеме Бернулли будем обозначать символами 1 и 0 илн называть успехом и неудачей, а соответствующие им вероятности — буквами р и о 1 — р. Если р— 30 число успехов (или число единиц) в и испытаниях Бернулли, то Р (р„т) = Р„(т, р) = С„р™д" т= 0,1,...,и. (2Л() Пример 2.4. Проводится и независимых опытов, состоящих в одновременном подбрасывании й монет. Вычислить вероятности событий: А = (хотя бы один раз все й монет выпали гербами), В = (ровно т раз все х монет выпали гербами). Р е ш е н и е.