А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике.djvu), страница 3

(,ах * бд " бх ')' Приравнивая коэффициенты при независимых ортах е„, е„. с, в разложе- ниях в леной и правой частях, получаем систему уравнений дУ вЂ” =О, ах дУ вЂ” = тд., дд (2.7) дУ вЂ” =- О, дх одним из наиболее простых решений которого является У = тдд. (2.8) (2.9) 77 = — тд( соэ а.

19 Отметим, что знак потенциальной энергии жестко связан с направлением осей системы координат. Следует понимать, что поскольку потенциал У задается системой дифференциальных уравнений в частных производных, мы не можем его определить однозначно; вообще говоря, к найденному решению (2.8) можно добавить произвольную функцию времени Дг), не нарушив при этом требований уравнений (2.7). Неоднозначность нахождения потенциала полностью согласуется с неоднозначностью в определнии лагранжиана.

Поэтому, конечно же, имеет смысл выбирать наиболее простые по виду и структуре частные решения системы (2.7) для потенциала. Однако дли подстановки найденного потенциала в функцию Лагранжа прежде необходимо его переписать в терминах обобщенной координаты и с учетом (2.2): Поэтому лагранжиан математического маятника имеет вид: Е = Т вЂ” У = -гп! аэ + гпд1 соз а. 3 2 2 (2.10) Для составления уравнения движения необходимо построить обобщенную диссипативиую силу. Напомним, что в самом общем случае она определяется равенством Ф Ф = Е~н'— з з дгз дд, ' (гд 1) где индекс 1 нумерует степени свободы и пробегает значения от 1 до з (в нашем случае з = 1 и обобщенная сила имеет только одну компоненту), суммироваиие ведется по индексу д, пумерующему материальные точки с рвдиус-векторами гэ, из которых состоит система:,9 = ГУ (в нашем случае М = 1). Поэтому для нашею маятника обобщеиная диссипативная сила здх ду *да "да' (2.13) С учетом (2.2) дк — 1 сов а,.

да ду — 1е1п а. да Компоненты ньютоновой диссипативной силы с учетом (2.3) г", = — дй хз д. -д(а соэ а, -д(а э|п а,. (2.14) Собирая все вместе, окоичательио для диссипативной силы будем иметь Яе = — Васева 1соеа — д(дета 1ета = — д(~а. (2.15) 20 4У! Р3 (2.12) да' где ньютонова сила трении г = — дб. Для дальнейшею вычисления распишем скалярное произведение в (2.12) в декартовых координатах, а затем перейдем от декартовых координат к обобщенной а: Напомним, что уравнения Лагранжа в общем случае записываются следующим образом; о' дб дЕ дз ог дб да Дифференцирование лагранжиана (2.10) дает (2. 17) дŠ—, = т(зд, да дб — = — гпд1 е1п о.

да Поэтому уравнение движения (2.17) с учетом найденного выражения для обобщенной диссипативной силы (2.15) примет вид — (т1~а) + тд1 вша = -з(~а, ос (2.18) что после деления на тп1з эквивалентно персписывасчся в виде: д. д аж — о р — з1по.= О. т (2,19) Задача 2.1.2 Тело массой глп прикрепленное к пружине жесткости lс, может совершать колебательное движение только вдоль вертикальной стороны жесткого прямою угла. Тело массой пзз прикреплено к первому телу с помощью невесомого стержня длиной 1 и может двигаться вдоль горизонтапьиой стороны прямого угла. Система вращается вокруг вертикальной оси в поле тижестн д = — де, с постоинной линейной частотой и.

Построить лагранжиаи системы. 21 Иди дЕ яз (2.16) аг дд, дд, и представляют собой систему дифференциальных уравнений (1 = 1, э). Применительно к рассматриваемой нами механической системе с одной степенью свободы, ее динамика описываетси одним уравнением Лагранжа: Решение. Зля начала определим число степеней свободы системы. Очевидно, что для адиозиачиого задания положения первого тела, движущегося вдадь вертикальной прямой, достаточно ввести одну координату вдоль этой прямой. Задав положение тела массой ть тем самым мы задаем коордииаты точки крепления иевесомага стержня, к которому прикреплеи второй шарик.

Шарик массой тэ совершает, вообще говоря, трехмерное движеиис, которое, согласно принципу суперпазиции движений, мы можем рэзложить иа две составляющие; плоское движение в вертикальной плоскости рисунка и чисто вращательное движение вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ы =- 2яы Вторая составляющая движения полиастью определена и для описания вращения шарика ие требуется введения каких-либо обобщенных координат., поскольку мы заранее знаем, иа какой угол повернется тело вместе с плоскостью прямого угла вокруг вертикальной оси к любому моменту времени и Фэ(г) = юг + Фе. При плоском движении (вторая составлиющая движения) тело остается иа одном и том же расстоянии от точки крепления стержня, координаты которой мы уже фиксировали.

Следовательно, для однозначного задания положения второго тела помимо уже упомянутой координаты для первого тела необходима ввести еще одну. Таким образом, рассматриваемая система имеет две степени свободы. Сразу же становится очевидным рациоиальиый выбор обобщенных коордииат. Введем систему координат так, чтобы точка крепления пружииы оказалась в начале координат. В качестве первой обобщеииой коордииаты выберем йг = х — декартова координата первого тела, а второй аэ = о — угол отклонения стержня от вертикали.

Отметим, что в выбранной нами системе координат координата х все время остается отрицательной (х ( 0). Кинетическая энергия первого тела, совершающего одномерное движение вдоль оси г, г т=-,п = —,г. 2 2 (2.20) Для построения кинетической энергии второго тела воспользуемся известным результатом для квадрата вектора скорости в цилиндрических координатах: 1 . 1 тг = ™гсг гпг~рг + Ргэгг 1 гг/ !г г-г 2 (2.21) ( рг =(е)па. 'Рг мс+ Эгэ гг = г — )сова (2.22) (помня при этом, что г < О). Дифференцируя по времени, рг = 1асоза, 'рг м: йг =.

й+ 1а э)па (2.23) и подставляя в (2.21), получим т, = — гпг (1 агсоэга+)гыгв)ига+ ( +(аэ)па) ) = 2 1 2 = -тг ((~а~+ 1'ы~ в)п а+ 2(газ!па+ г~) . (224) Выразим цилиндрические координаты второго тела через введенные обоб. щепные координаты г., а: Потенциальная энергия первого тела в поле тяготения (2.28) Уг = гп~дэ (в правой части ставим знак ч-:э, так как ось з направлена вверх, см. задачу 2.1.1). Потенциальная энергии второго тела в поле тяготения г7э = гондла = гпэд(г — 1 сов о). (2.26) Погенцнальнан энергии упругой деформации пружины Уь = -к(ЬЬ), 1 г 2 (2.27) В случае нашего выбора обобщенных координат Стало быть 1 э (7э =-к(с-у.е) . 2 (2.28) Собирая вместе результаты для кинетических (2.20), (2.24) и потенциальных энергий (2.25), (2.26), (2.28), зщшшем функцию Лагранжа рассматриваемой системы Ю=т,+т,-им-и„— и, (2.29) в виде: ь" = — (гп, + пгт)д~+ -гпэ (1'о'+ 1эыээ1п'о+ 2(даяна)— 2 2 — (т~ + гпе)де+ пгэд1соеи — — /с(г — Ьц) .

(2 30) 1 г 2 24 где удлинение пружины представляет собой, как обычно, разницу длин деформированной Ь и недеформированяой Ье пружины 2.2 Интегралы движения в методе Лагранжа Общие рекомендации. Метод иитегралов движения является удобным методом решения за- дач иа иахождеиие закона движения систем. Вместо того, чтобы решать систему дифференциальных уравнений второго порядка, коими являют- ся уравнения Лагранжа, решаем систему уравнений, составлеииую из иитегралов движения — дифференциальных уравиеиий первого поряд- ка.

Однако надо понимать, что ие всегда удается использовать с успехом этот метод. Успех его примеиеиия, прежде всего, зависит от того, су- меем ли получить замкнутую систему из интегралов движения, то есть сумеем ли мы найти столько интегралов движения, сколько степеией свободы имеет система. Для некоторых систем это сделать ие удается в принципе. для других, если интегралы движеиия ие очевидны сразу, возможна, имеет смысл как-то преобразовать лаграижиаи, привести его к такому виду, который позволил бы найти недостающие иитегралы. К таким действиям с функцией Лаграижа, к примеру, можно отнести: 1) преобразование обобщенных координат (возможио, что при выборе других обобщеияых координат лаграижиаи запишется так, что станут очевидными новые интегралы движения); 2) использоваиие свойства неоднозначности определения фуикции Лаграи- жа: возможно, какие-то члены из лаграижиаиа могут быть представлены Ы в виде полной производной по времени — Дд, г) от функции обобщенных ш' коордииат и времени, а потому отброшеиы, Не стоит думать, что метод иитегралов движения никоим образом ие связан и ие имеет отиошеиия к уравиеииям движения.

Интегралы движения являются следствием уравиеиий Лагранжа. Имеиио это об- стоятельство позволяет эквивалеитиым образом замеиить необходимость решения уравнения Лаграижа иа решение системы из интегралов дви- жеиия. Задача 2.2.1. Построить выражение для обобщеииой зиергии и у.равиеиие движения для одномерной системы, описываемой лаграижиаиом гпйз й э Е = — + ае т'(й — ух) — —, ~а,т = сопэг). (2.31) 2 2 Найти, если возможно, интегралы движемия.

Решение. Поскольку в лаграмжиаие фигурирует одна обобщенная координата х, система имеет одну степень свободы. Следовательно, динамика данной системы описывается одним уравнением Лагранжа: д дь" дь" — —,— — =О. йдх дх (2.32) Тривиальное дифференцирование лаграммсиама дает: дь" — = гпх Ч-ае тс, дх дб — = -ате ~ — Йх дх (2.33) (2.34) и уравнение Лагранжа принимает вид И вЂ” (тх 4 ае ") -~-азе и Ч-1сх = О, ссс тх — ате эс -> ате и ч- lсх, тх ч- lсх = О, (2.35) Ы ае ~'(х — тх) = — (ахе и) щ — у(х, С), й ыс (2.36) а потому, в силу неоднозначности функции Лагранжа, пе оказывают влияния ма динамику системы и могут быть отброшены из мее. Следовательно, функция Лагранжа сг хе ~". 2 Š—.— — —— 2 2 (2.37) описывает ту же систему, что и лагрэнжиаи (2.31)! 26 в котором мы узмаем уравмемие одномерного гармонического осциллятора.