Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (М.Э. Эглит - Механика сплошных сред в задачах), страница 11

В пространстве — времени К4 также можно использовать лю- бые четыре координаты у с локальным базисом е, о = 1, 2, 3, 4, в частности, „местное время" у4(х',1). При этом де ч , дэх" дУч дуд о со "и ду'"дул дхн' где х" — декартовы инерциальные координаты и абсолютное время. Определенная таким образом связность позволяет вве- сти ковариантно постоянный „метрический" тенэор т = ч де ед такой, что г — у — — О, с помощью которого задается обычная аз д1 дуя трехмернал метрика подпространства 1 = сопв1.

Четырехмерные скорость и ускорение частицы сплошной среды определяются формулами ИС Ии ди и= — е, а= — =и —, ве ' Й ду где у = С (~ь,1); сь = сопв1 — уравнения ее мировой линии. Четырехмерные векторы и и а связаны только с мировой ли- нией частицы среды и не зависят от системы отсчета. Четы- рехмерный вектор скорости точек любой системы отсчета, если у4 = 1, имеет контравариантные компоненты (О; О; О; 1) в соб- ственном базисе, таким образом. для этих точек и = е4. Тогда четырехмерный вектор скорости частиц среды равен и = »+ е4, где» вЂ” трехмерная скорость. Формулы (Б. 1) переписываются при х4 = у4 = г следующим образом; Я а »я + Е4 »я + Е4 »~ + »4 + Е4 5. Относительное движение 6Э Аналогичным образом определяются и четырехмерные тензоры скоростей деформаций и угловой скорости вращения среды как члены разложения (5.2) где и (е'Р+ь,'Р) = 0 Т' е'Л = уД'*е'л, Т" ь,'Л = — уд ь,'" В этом параграфе, если не оговорено противное, .патинские индексы пробегают значения 1, 2, 3, а греческие — 1, 2, 3, 4.

Задачи Относительное движение 5.1 Показать, что любые две инерцизльные системы отсчета могут быть связаны при подходящем выборе системы координат преобразованием Галилея вида у' = х' — ~'Ч, где $~' — компоненты постоянного вектора. 5.2 а) Показать, что поле скорости среды с компонентами и' = х'/1, где х' — эйлеровы декартовы координаты, относящиеся к некоторой инерциальной системе отсчета, инвариантно 1сохраняется вид его компонент как функций пространственных координат и времени) относительно преобразований Галилея у' = х' — р'1, р" = сопя$, отвечающих переходу к новой системе отсчета.

б) Найти общий вид всех полей скорости, инвариантных относительно преобразований Галилея, см. п. а). Дать физическую интерпретацию полученным движениям среды, вычислив ускорение, скорость деформации и завихренность. 5.3 Теплоход идет от пункта Л до пункта В вниз по реке 20 часов, а обратно — 24 часа. За какое время плот проплывает от .4 до В? Скорости течения реки и теплохода считать постоянными по величине, скорость плота равна скорости течения. Глава 1. Основные понятия 70 5.4 Лодка, держа курс перпендикулярно берегам реки, пересекает ее два раза под углом 60' к направлению потока и возвращается обратно, двигаясь против течения реки. Найти скорость течения реки и собственную скорость лодки, которые считаются постоянными, если общее время движения составляет 1 час, а ширина реки равна 1 км.

5.5 Струя воды с абсолютной скоростью о падает извне под углом о к направнению радиуса В стационарно вращающегося с частотой п колеса турбины. Абсолютная система отсчета неподвижно связана с основанием турбины. Найти угол наклона относительной скорости струи к радиусу в системе отсчета, связанной с колесом турбины.

5.6 Пусть (х') и (уй) — координаты соответственно абсолютной и переносной систем отсчета.с локальными базисами е,' и е', связанные соотношением у' = у'(х",1). Зная закон дви- 11 жения сплошной среды х' = х'1С, 1), определить при переходе к системе отсчета (у') векторы переносной скорости п~ и скорости среды и„ относительно системы (у'). Указать систему отсчета, относительно которой скорость среды равна нулю. 5.7 Для переносной системы отсчета, указанной в условии задачи 5.0, вывести формулу де~~ дп в частности, показать, что деь дп ~И дс" для сопутствующей системы от~чета с базисом еь, движущейся со скоростью и относительно абсолютной системы (х').

5.8 Вывести формулу (Б. 1) для абсолютного ускорения. 5.9 Найти общий вид переносного и кориолисова ускорений при движении сплошной среды относительно подвижной системы отсчета, движущейся, в свою очередь, как абсолютно твердое тело относительно абсолютной системы отсчета. 71 5. Относительное движение 5.10 Пусть х' — — декартовы эйлеровы координаты абсолютной системы отсчета, С~ — совпадающие с ними в начальный момент времени сопутствующие координаты некоторой сплош.ь дню ной среды. Найти обобщенное ускорение Кориолиса 26„ь для Д~й материальной точки, движущейся с данной скоростью в„относительно сопутствующей среде системы отсчета, при следующих движениях среды: а) среда вращается как твердое тело вокруг оси хз с угловой скоростью ы(1); б) среда подвергается одноосному растяжению вида х =а(1)~, х =С, х в) при течении простого сдвига х =с +6(1)~, х =с, х г) при,двойном сдвиге" х =с +с(1)~, х =с +ф)~, х 5,11 Найти обобщенное ускорение Кориолиса при однородной деформации неинерциальной системы отсчета (у') общего вида х' = А' (1)у' относительно абсолютной системы отсчета с декартовыми координатами х'.

5.12 Скорость течения воды в канале, расположенном в северном полушарии Земли, направлена с юга на север. Объяснить качественно, у какого берега канала уровень воды выше. Оценить порядок разности уровней у берегов канала ЬЬ по сравнению с его шириной 1 при заданной скорости течения е = 1 м/с. 5.13 В какую сторону отклоняется вытекающая вертикально вниз струя жидкости за счет вращения Земли? 5.14 Объяснить, почему в основном сдвиговом потоке, см. задачу 5.10 в), при наличии поперечных пульсаций скорости есть тенденция к выравниванию профиля средней скорости. Глава 1. Основные понятия 72 5.15 Пусть на определенной высоте над поверхностью Земли в некоторой точке южного полушария дует установившийся восточный ветер.

Определить в какую сторону уклоняется направление ветра вблизи поверхности за счет вращения Земли, учитывая, что величина скорости ветра падает с высотой. 5.16 Однородная резинка, левый конец которой закреплен, растягивается с заданной постоянной скоростью оо на правом конце. По ней с правого конца на левый переползает муравей с постоянной по величине и направлению относительной скоростью-п1. Найти величину скорости оь при которой полная работа суммы всех сил, действующих на муравья, равна нулю; вычислить при этом конечное относительное удлинение резинки.

5.17 С точки зрения наблюдателя, находящегося на берегу, пловец преодолевает установившийся водный поток ширины 1 по прямой, перпендикулярной его берегам. Скорость пловца относительно берега постоянна. Скорость потока распределена по параболическому закону и равна у берегов нулю. На каком расстоянии от берега старта отклонение пловца от материальной линии потока, которая была в начальный момент прямой, соединявшей точки старта и финиша, максимально? 'Четырехмерное пространство — время в ньютоновской механике 5.18 В условиях задачи 5.10 определить мировые линии точек среды, считал ю=сопнФ, в=1+а1, 6=)?1, с= 71, где о, Д и т — постоянные.

Как движутся материальные отрезки, в момент 1 = 0 направленные вдоль осей координат? 5.19 Пусть (л') — эйлеровы инерциальные декартовы координаты, (~") — лагранжевы, х4 = 1 = ~4. Представить индивидуальн ю п оизво н ю у Р д у (~=сОпм как производную по направлению (какому?) в четырехмерном пространстве-времени.

5. Относительное движение 5.20 Пусть (у"(я',1)) — некоторая новая система отсчета, у4 = 1, движущаяся относительно инерциальной системы 1яэ). Показать, что пространственные компоненты вектора четырехмерной скорости среды а в системе координат у, а = 1, 2, 3, 4, являются компонентами ее относительной скорости, а временная компонента равна 1. Записать последнее условие в четырехмерном тензорном виде, не зависящем от выбора координаты ул. 5.21 Предполагая систему отсчета (х') инерциальной, исследовать определение четырехмерного ускорения сплошной среды: а = Нв/й.

Показать, что в системе координат 1х', 1) его временная компонента равна нулю, а пространственные являются компонентами абсолютного ускорения. Записать условие в4 = 0 в четырехмерном тензорном виде в произвольной системе координат(у ),о=1,2,3,4. 5.22 Определить поля четырехмерных скорости и ускорения некоторой системы отсчета с пространственными координатами вида у'1я~,1), где (х') -- пространственные координаты абсолютной системы отсчета.

Чему равно ускорение точек инерциальных систем отсчета? Указать произвол, с которым поле четырехмерной скорости всякой системы отсчета определяет сопутствующие ей координаты у'. 5.23 Установить связь всех возможных декартовых координат инерциальных систем отсчета в 8.4, включая изменение начала отсчета времени 1. Указанные преобразования составляют полную группу Галилея, см.

также задачу 5.1. 5.24 Показать, что четырехмерный тензор, заданный в декартовой системе координат некоторой инерциальной системы отсчета в виде у = у де ед = у'е,в~, инвариантен относительно преобразований Галилея, см. задачу 5.23. Доказать, что в д1 д д 5.25 Используя тенэор 7, см. задачу 5.24, выделить в разложении (6.2) четырехмерные тенэоры скоростей деформаций и скорости вращения среды. Глава 1.