Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред, страница 6

Поэтому все результаты $5 и 6 непосредственно переносятся на этот случай, с той только разницей, что роль продольного смещения играет угол закручивания ф, а вместо модуля Юнга Е нужно ввести модуль сдвига 1к. Например, формула (2.15) для собственных частот колебаний остается в силе, но с новым значением с. 8 8. Волны изгиба в стержнях 8.1. Уравнение для изгибных волн. В стержне могут распространяться волны еще одного типа, называемые изгибными. Они возникают при ударе по стержню в поперечном направлении, сопровождающемся местным изгибом, который и побежит от места удара в виде волны, Предположим, что стержень имеет плоскость симметрии, совпадающую с плоскостью чертежа на рис, 2.3, и что колебания происходят в этой плоскости.

Смещения стержня ь предполагаем достаточно малыми, чтобы считать длину нейтральной линии неизменной и, следовательно, пренебрегать растяжениями стержня. На рис. 2.3 изображен участок стержня, по которому бежит волна изгиба. Если выделить малый элемент стержня Лх, то, „ак мы знаем, 'в сечении возникает перерезывающая сила Р(х), с которой участок стержня по одну сторону сечения действует на другую. Второй закон Ньютона для элемента Лх можно записать в виде рЯ вЂ” Лх = Р (х+ Лх) — Р (х) — Лх, У~ дР дк (2.21) где р — плотность; Я вЂ” площадь поперечного сечения стержня.

Кроме того, при изгибе в каждом сечении стержня возникает момент сил М(х), который согласно (1.15) и (1.16) при ~дь/дх~ << «1 равен М(х) = Е/ †. дкь ак ' (2.22) Полный момент сил, действующий на элемент Лх, будет складываться из разности моментов М в двух сечениях М(х+Лх)— — М(х) ж (дМ/дх) Лх и дополнительного крутящего момента Р(х)бх, обусловленного перерезывающей силой. В результате общий крутящий момент (Р+дМ/дх) Лх должен уравновешиваться моментом р!бх(дтк/дд), возникающим из-за инерции вращения элемента Лх вокруг оси, нормальной к плоскости чертежа. Здесь рИх — момент инерции выделенного элемента; а — угол наклона нейтральной линии в данной точке к оси х. При 1д~/дквп <<1 а-1да=д~/дх, поэтому уравнение баланса моментов будет р/ — = — + Р.

эс ам дРдк дк Отметим отличие этой формулы на динамический член р/(д'ь/д/кдх) от выражения для перерезывающей силы через момент в статическом случае (1.20). Продифференцировав выражение (2.23) один раз по х и подставив в него М из (2.22) и дР/дх из (2.21), получим уравнение для смещения ь(х, 1): р/ — = Е/ — + рЗ вЂ”. Экь даь д1ь (2.24 дгкдкк дк а дР 27 Обычно на практике для описания изгибных волн используют упрощенное уравнение, пренебрегая членом в левой части (2.24), возникшим из-за учета вращения элемента Ьх.

Для обоснования этого приближения введем радиус инерции г, поперечного сечения, определяемый соотношением /=г,'5 и совпадающий по порядку величины с поперечными размерами стержня. Кроме того, пусть Т и А будут характерными масштабами времени и длины изменения Ь(х. /). Тогда по порядку величины имеем для члена в левой части (2.24) р!(д'Т~~д1'дх*) г,'Зрь/УТ', а для второго в правой части р5(д*~/дг1) р$ЦТ'. Отношение этих ве~ичин имеет порядок г,'/у.

Последняя величина обычно пренебрежимо мала по сравнению с единицей, ибо поперечные разме- (2.26) (2.28) (2.32) ры стержня г, малы по сравнению с длиной волны Х. В резуль- тате получаем уравнение для волн изгиба в виде — + гк — — —— 0. д~~ з Е д'~ (2.25) дгз р дк4 Заметим, что это уравнение получается, если сразу восполь- зоваться выражением (1.20), т. е. статическим выражением для перерезывающей силы через момент. 8.2. Граничные условия.

Гармонические волны. Распростра- нение волн изгиба описывается уравнением четвертого порядка, что влечет за собой ряд интересных особенностей. В частности, граничных условий должно быть больше. Выпишем их для неко- торых случаев: а) зажатый конец (рис. 2.4, а) — обращается в нуль как сме- щение ~, так и его производная (угол наклона): Ц,= — ~ =0; дь к=к б) свободный конец (рнс. 2.4, б) — момент М н перерезываю- щая сила г" равны нулю или с учетом (2.22) и (1.20) д'~ ~ д'~ ~ 0. (2.27) в) опертый конец (рис.

2.4, а) — равны нулю смещение н момент: Ц = — ~~ =0. де~ ~ дк~ [к, Общее решение уравнения (2.25) уже нельзя представить в виде волн произвольной формы, распространяющихся с посто- янной скоростью, как зто было для продольных и крутильных волн в стержне.

Поэтому рассмотрим гармонические изгибные волны в стержне, положив ~(к, 1) =АФ(х)ехр( — из1). (2.29) Подстановка этого выражения в (2.25) приведет к обыкновенно- му дифференциальному уравнению для функции Ф(х): (2.30) общее решение которого можно записать в виде Ф (к) =А+ехр (йх) + А ехр ( — йк) + +В+ехр(lгк)+В ехр( — йх), (2.31) и соответственно для ~(х, 1) ~(к, 1) =А+ехр[1(ях — вт) )+А ехр[ — 1(ях+Ы) )+ +В,ехр[йк — 1ы1)+В ех~р[ — йх — 1ы1]. Здесь первые два слагаемых соответствуют незатухающим вол„ам, распространяющимся в положительном (А+) и отрицательном (А ) направлениях с фазовой скоростью (2.33) Поскольку сь зависит от частоты, т, е.

имеет место дисперсия (см. $9), волновое возмущение конечной длительности при распространении будет изменять свою форму. Два других слагаемых в (2.32) с коэффициентами В+ и В соответствуют гармоническим ~колебаниям с экопоненциально убывающей или возрастающей амплитудой. Очевидно, что решения такого типа могут существовать только при наличии концов стержня нлн каких-либо его неоднородностей, ибо в противном случае мы получили бы бесконечно большие амплитуды колебаний при х — «~-со, 8.3. Отражение волн. Изгибные колебания. Рассмотрим отражение гармонической волны Аехр(1(йх — а1)] ( — оо(х(0), например, от зажатого при х=О конца стержня.

Как и в случае отражения продольных волн, частота а сохраняется, В общем решении (2.32) следует положить В =0 (ограниченность решения при х-« — оо). Кроме того, положим А+ — — А, А =1'А, В+=Я7Я. Подстановка (2.32) в граничное условие (2.26) при х.=О дает 1+ У+97=0, 1(1 — У)+)У=О. Отсюда для коэффициентов У и Ф' находим: У вЂ” (1 — 1)/(! +1), ЯУ= — 21/(1+1), (2.34) т. е. на отраженную волну АУехр[ — 1(ех+а1) ! накладывается экспоненциально затухающее с удалением от конца стержня колебание А ьГ ехр (йх — 1в1) . Аналогично случаю продольных волн находятся собственные изгибные колебания стержня конечной длиной 1. Для этого целесообразно общее решение уравнения (2.30) записать в виде Ф(х) =А,соь лх+А.ь)п их+В,сЬ лх+ В,ьЬ йх, (2.31') который следует из (2.31), если экспоненциальные функции выразить через тригонометрические и гиперболические.

При этом новые комплексные постоянные А., А„В„В, просто выражаются через амплитуды волн А+, А, В+, В . Для примера рассмотрим случай стержня, лежащего на двух опорах, растояние между которыми!. Из граничных условий (228) при х,=О имеем А,+В,=В,— А,=О,т.е.А,=В,=О.Теперь также из (2.28), но при х,=1 получим систему однородных уравнений относительно величин А, и В.: А,е!и И+ В,ьЬ И О, — А,ь!и И+В,ьЬ И=О. Последняя имеет ненулевое решение только в случае, если зйп И=О, л„1 ли, и=1,2,... При этом В.=О, а А,=А произволь- ио, так что ь„(х, !) =А з!и й„хехр( — ип!). На длине стержня, как и в случае продольных колебаний, укладывается целое число полуволн.

Однако собственные частоты колебаний уже не совпадают с (2.15), а с учетом (2.30) равны е„= Р Вг',!р(пи!!)'. (2,35) В общем случае произвольных граничных условий на концах стержня получается однородная алгебраическая система четырех уравнений относительно величин А„В„А„В, вида А, в, А, в, =О, С=(с! ), 1,е = 1, З, З, 4. При этом элементы с1„матрицы С будут зависеть от волнового числа И Собственные значения й„найдутся из требования суще- ствования нетривиального (ненулевого) решения системы, т.

е. и(!с) =бе1 С=О, Например, в рассмотренном выше случае 1 1 ΠΠ— 1 1 О О с<и И сп И Мп а! 4Ь И СОЗИ сь И вЂ” 51пы 5Ь И я, И =. 4 яп И БЬ И. где у (л) — пространственный спектр Фурье начального возмущения. Нетрудно видеть, что при произвольном ! возмущение !(х, !) 30 $9. Дисперсия воли и групповая скорость 9.1. Распространение негармоническнх волн. Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, изгибное возмущение произвольного вида изменяет свою форму при распространении, Этот факт является общим для всех волновых процессов, у которых фазовая скорость гармонических волн зависит от частоты, В этом случае говорят, что имеется дисперсия.