Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа), страница 88

Вмесге с тем при замене точного ряда Фурье (П.1) рядом Фурье с приближенно заданными коэффициентами (П.З) мы совершим ошибку, равную сумме ряда ((аь — аь) соэ кх + (Ьь — Ьь) вш кх1 ь=! В точке х = О эта ошибка равна сумме ряда (ая — аь) = ~ — = оо ь=1 ь=1 (сколь бы малой мы не фиксировали погрешность д > О). Таким образом, сколь бы быстро ни сходился точный тригонометрический ряд Фурье (П.1) к функции 1(х) и как бы мала ни была погрешность д в соотношении (П.2), задающем степень отклонения приближенных коэффициентов Фурье от точных, прямым суммированием ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами Фурье (П.З) невозможно восстановить функцию ~(х) в заданной точке сегмента [ — я, я] ни с какой степенью точности. Фактически мы доказали, что как бы мало ни было чишю б > > О, характеризующее уклонение друг от друта в смысле (П.2) двух совокупностей коэффициентов Фурье (аь, Ьь) и (аы Ьь~, отвечающие этим двум совокупностям прямые суммы тригонометрических рядов Фурье (П.1) и (П.З) могут как угодно сильно отличаться друг от дрбта.

Такого рода задачи, для которых как угодно малое уклонение в задании исходных данных (в рассмотренном нами сзучае такими исходными данными является совокупность коэффициентов Фурье) может вызвать как угодно большое уклонение отвечающих этим исходным данным решений (в рассмотренном нами случае под репсенисм понимается прямая сумма тригонометрического ряда Фурье), часто встречаются в математике и нриложкник в приложениях и называются некорректно поставленными задачами. Иными словами, рассмотренная нами задача о прямом суммировании тригонометрического ряда Фурье является некорректно поставленной.

Общий метод решс;ния широкого класса некорректно поставленных задач разработан советским математиком А. Н. Тихоновым и называется методом регуляризации ). Здесь мы остановимся на методе регуляризации лишь применительно к рассмотренной нами задаче о суммировании тригонометри гсского ряда Фурье. 2. Метод регуляризации для задачи о суммировании тригонометрического ряда Фурье. В применении к задаче о суммировании тригонометричс ского ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами Фурье метод регуляризации приводит к алгоритму, заключающеъсуся в рассмотрении в качестве приближенного значения функции у" (х) не суммы ряда (П.З), а суммы ряда — "' + Я(аь сов кх + бь зш Йх) 2 1+ кзо а=1 (П.4) ') За цикл работ, посвященных решению некорректно поставленных задач, академик А.Н.

Тихонов удостоен в 1966 г.Ленинской премии. е) Сформулированная теорема является частным случаем доказанного А. Н. Тихоновым значительно более общего утверждения. получающегося посредством умножения к-го члена ряда (П.З) 1 на ерегуляризирующийв множитель, в котором пара- 1 З- кзо метр представляет собой величину того жс порядка малости, что и погрешность б в соотношении (П.2), задающем уклонение коэффициентов Фурье.

Для обоснования указанного алгоритма мы докажем следующую основную теорему. Теорема А. Н. Тихонова. Пусть функция у(х) гсринадлехсат классу Т ~ — к, к) и непрерывна в данной фиксированной точке х сегмента ~ — к, и). Тогда для каэюдого б > О и для сц имеющего тот эссе порядок малосгпи, чгпо и б, сумма ряда (П.4) с коэффициентами аь и бь, удовлетворяющими соогпноизению 1П.2), совпадает в данной фиксированной точке х с у (х) с о1иибкой е(б), стремящейся к нулю при б — + О г) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Не ограничивая общности, будем считать, что а = б (ибо случай сг = С(б) .

б., где О < С1 < С(б) < Сг, рассматривается совсргпенно аналогично). Достаточно доказать, что для любого е > О найдется босе) > О такое, что в данной 455 О ВЫЧИСЛВНИИ ЗНЛт!ЕНИЙ ФУНКЦИИ фиксированной точке х при всех положительных б, удовлетворяющих условию д < бо, справедливо неравенство — '+ 1 (ай соя йл+ 61 я1п1ст] — г"(х) < я. (П.5) 2 1-ь йэб й=-1 Фиксируем произвольное я > О. Убедимся сначала в том, что для фиксированного палли я найдется число б1(я) > О такое, что для всех положительных б, удовлетворяющих условию б < д1(я), справедливо неравенство 2 + ~~ ((ай — ай) сояйх+ (6й — 6й) яшйх1, < —. 1э йвб й=1 (П.б) Для установления (П.б) достаточно убедиться в том, что сумма, стоящая в левой части (П.б), стремится к нулю при б — э О + О.

Разбивая сумму, стоящую в левой части (П.б), на две суммы, в первую из которых входят слагаемые с номерами 6, удовлетворяющими условию Й < 1/б, а во вторую все остальные слагаемые, и применяя к каждой из этих двух сумм неравен- СтвО КОши -БунякОвекОгО, будЕм имЕть 1) '+ ~ ~[(ай — ай) соя1сх+ (6й — 6й) я1пйх) < 2 1+ йэд й=1 (П.7) Учитывая соотношение (П.2) и принимая во внимание, что = 0(ба) й>1/д (например, в силу интегрального признака Коши — Маклорена, см. неравенство (13.38) из гл.

13 вып. 1), мы получим, что в правой части (П.7) стоит величина 0(Л) + 0(бз72). Теы самым неравенство (П.б) можно считать доказанным, и для установления неравенства (П.5) нам достаточно доказать, 1 1 1 ') при этом мы твкжс учитываом, что < 1, < —. 1 + йвд 1 -Ь йэд йвб ЛРИЛОЖЕНИЕ 456 что для фиксированного нами е > 0 найдется чикаго б2(е) > > 0 такое, что для всех положительных б, удовлетворяющих условию б < б2(е), справедливо неравенство 3 —" + 2 '(ае соя кх + бь яш йх) — у'(х) < — е. (П.8) 1 4- кеб 4 к=1 Так как по условию функция 1(х) непрерывна в данной фиксированной точке х, то для фиксированного нами е > 0 можно фиксировать у > 0 такое, что для всех значений у, удовлетворяющих усаовиго ~у — х~ < г), будет справедливо неравенство 4 (П.9) Положим теперь у = 1,!!Я и рассмотрим для фиксированной нами точки х и фиксированного числа г) > 0 функцию е (у), определенную на полусегментс х — г) < у < х — г) + 2л равенством — е т! " прн х — г)<у<х+г), н,(у) = 2 х х А 0 при х+ г) < у < х — г) + 2л и периодически с периодом 2л продолженную на всю бесконечную прямую — оо < у < +со.

Подсчитаем тригонометрические коэффициенты Фурье Ай и ВЬ функции их(у). Из равенства (ПАО) и из условия периодичности н. (у) с периодом 2л мы получим,что ) 21 хтл х-~-е Аь = — ( нх(У) сов1гУг1У = 2 / е т~* "~ совйУпУ = !г / 2 ( х — Л х л ч т1 е "~ ~соек(Х+х)М = Тсоякх е йцсоякХс11— 2 / 2 Ц Ч е — 2яшкх е т!'! я)пМгй = усов!сх ) е з" соя)сйгН. 2 ( О ') Пе ограничивая общности, мы считаем, что в < л.

) При Этом мы учитываем, чтО вСЕ иптЕгралы От периодичеекой функции по отрезкам, имеющим длину, равну.ю ее периоду, совпадают между собой, делаем замену переменной у = 1+ х и принимаем во внимание, что в ч ) е МцсовИМ = 21 е ысовИЖ, ) е "''в1пИ41 = О. ч о х О ВЫЧИСЛЕНИИ ЗНЯс!ЕНИЙ ФУНКНИИ 457 Далее, поскольку ч à — 71 ° Гс «'à — тсовй1+ йеГвйу) с=в Ч тч й2 ь ус с=о йс -Ь ус 0 где — усоэйв+ йяпйч о'й = И -ь у'-' Ай = ' '* +е '"сояйх..у.сй. 1+ йсд (П.12) Совершенно аналогично устанавливается, что Вй = * +е тоейпйх у пй. 1+ й~д (П.13) Так как по условию функция Г(у) принадлежит классу В2~ — я, х) и так как функция е (д) принадлежит тому же классу 1 при любом 6 = — > О, то справедливо обобщенное равенство ~/т Парсеваля (см.

равенство (11.28)) Из соотношений (П.12), (П.13) и (П.14) вытекает, что для доказательства неравенства (П.8) достаточно установитть что для всех достаточно малых положительных д справедливы неравен- ства — ~ е Ь)ГЬ)Ф вЂ” У(х) <— 2 (П.15) — "е тч усе+ е т" у~» ссй1айсовйх+Ьйв1пйх) < —. (П.16) 2 4 й=1 Продолжим функцию Г(у) периодически с периодом 2я на всю бесконечную прямую. то, учитывая, что 6 = 1усу2, мы получим следующее выражение для коэффициента Фурье Ай: ПРИЛОЖЕНИЬ 458 Для доказательства неравенства (П.15) заметим, что в силу 2зг-периодичности функций и (д) и г'(х) и в силу равенства (П.10) имеем х — В-~-вх ххьу — е (д)зх(д) 111д = — у (д))'(д) Йд = — ' е т~* У у"(д) Йд= х х у х — у х-ьо х -~-г1 =1(х)- е т~х' У~1гд+ — [2(д) — у(х))е '~~ " Йд.

(П.17) 2 ./ 2,/ х — г1 У 1итывая, «то ) 11 х-ге Ц. ч 1 р з~х — у~ л1 Т / р — '7~1~,11,7 „— 21Щ1 1 р — Уу 2 1 2 / х Ч Ч о и учитывая, что для любого д из сегмента (х — и, х+ п1 справедливо неравенство (П.9), .мы получим с помощью соотношения (П.17), что — / н (д)Дд) 1кд — Х(х) < г < е ~" ~~(х)~ + — (1 — е ~") < е '"~~(х)~ + —. Так как для каждой фиксированной точки х и для фиксированных нами чисел е > О и 11 > О при всех достаточно малых б = 1/~~ справедливо неравенство е з")~(х)) < е/4, то соотношение (П.15) доказано. Остается доказать неравенство (П.16).

Из (П.11) очевидно, что для величин сгь при всех й = 1, 2..... справедлива оценка (сгь( < 2/а. (П.18) 11 2 Для величины сго из (П.11) при всех достаточно малых б = 11'у получим оценку (П.19) !г01 < 1!7< 1. ') При вычислении указанного интеграла мы делаем замену переменной у = 1+х. о вычислкнии знл тнний юънкции 459 Применяя к сумме, стоящей в левой части (П.16), неравенство Коши — Буняковского и используя оценки (П.18) и (П.19), мы получим — е э"Зста+е л'уУ сть(аьсовйх+бьв!пйх) < 2 Ь=! !««2 „о 1««2 ( 2е злу — '+ ~~«(а~~+ 6~~) 1+ ~! — . (П.20) Ь=! Ь=! Обе суммы, стоящие в правой части (П.20) в квадратных скобках, ограничены постоянной (не зависящей от д).

Ограниченность первой из указанных с«умм сразу вытекает из неравенства Бесселя, а ограниченность второй из указанных сумм доказана в гл. 13 вып. 1. Поскольку при любом фиксированном т! > 0 1пп е та у = б-«0 — Ъ! = 1!ше бт — = О, то правая часть (П.20) для любого фиксиб — «О де рованного нами е > 0 меньше чиш!а е««4 при всех достаточно малых положительных о. Теорема доказана.

3. Заключительные замечания о значении метода регуляризацни. Предложенный Л. Н. Тихоновым метод регуляризации имеет большое естественнонаучное значение. Предположим, что с помощью какого-либо прибора мы измеряем частотные характеристики интересующего нас физического процесса. Из-за несовершенства прибора мы измеряем указанные частотные характеристики с некоторой ошибкой. Естественно возникает проблема: должны ли мы, желая получить как можно более точное представление об интересующем нас физическом процессе, неограниченно совершенствовать точность прибора или путь к этому лежит через развитие таких математических методов обработки результатов измерений, которые позволяют при имеющейся точности измерения частотных характеристик извлечь максимальпу.ю информаци«о об изучаемом физическом процессе. Метод регуляризации указывает путь к такой математической обработке результатов измерений частотных характеристик (т.

е. коэффициентов Фурье), при которой мы получаем информацию об изучаемом физическом явлении (т. е. об искомой функции )'(х)) с ошибкой, соответствующей ошибке в результатах измерений частотных характеристик. 1« ) При этом мы мажорируем единицей модули функций соэ кх и сии кх. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абеля .Дирихле признак равномерной сходимости несобственного интеграла 284 ряда 19 — — сходимости несобственного интеграла 103 Абсолютная непрерывность интеграла Лебега 262, 265 —. сходимость несобственных интегралов 102 Абсолютное кручение 434 Абстрактное гильбертово пространство 400 Адамара — Коппз теорема 42 Аддитивность двойного интеграла 68 — интеграла Лебега 258 — площади поверхности 141 Алгебра функций 56 Арцела теорема 37 Асимптотнческая линия 446 Асимптотическое направление 445 Базис сопряженный 211 Безвихревое векторное поле 208 Бесконечномерное линейное пространство 311 Бессель 318 Бесселя неравенство 318 — тождество 318 Бета-функция 294 —.