III.-Квантовая-механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 152

Таблицы функций Эйри. — Мл Наука, 1969; Ф(х) — одна из двух введенных Фоком функций, обозначаемая им как Ъ'(х)). В литературе используется также определение функции Эйри, отличающееся от Оз.а) постоянным множителем. А| я = Ф(х),1~/х, так что 1 А|т лх = 1. 783 ФУНКЦИЯ ЭЙРИ .~ Ф) Ф(х) ~ ехр( — — х~~ — у'х и ) с~и, 2УЯ / 3 откуда Ф(т) =, „ехр( — -х~~2).

(Ь.4) Таким образом, при больших положительных х функция Ф(х) затухает экспонснциально. Для получения асимптотичсского выражения при болыпих отрицательных значениях х замечаем, что при х < 0 показатель степени имеет экстремумы при г = г'туЯ и г = — г~фх(, а направление наиболее крутого спада в этих точках соответственно вдоль прямых под углами ~я/4 к вещественной оси.

Выбирая в качестве пути интегрирования ломаную линию Сз (расстояние ОВ = „/(т(), получим после простых преобразований (2~ ~2~2+ ) (Ь.5) Таким образом, в области болыпих отрицательных т функция Ф(х) имеет осциллирующий характер. Укажем, что первый (наиболыпий) максимум функции Ф(х) есть Ф( — 1,02) = 0,95. Функция Эйри может быть выражена с помощью бесселевых функций порядка 1/3.

Уравнение (Ь.1), как легко убедиться, имеет решение '~'(з )' где Е1~2(х) любое решение уравнения Бесселя порядка 1/3. Решение, совпадающее с (Ь.З), есть ~- (:-"")- И"''))=-Д"И"") при т ) О, (Ь.б) Ф(л) = [У 1~2( — ~х~ ~ ) +,1~~2( — ~т~ ~ )1 ЦРи х < О, 1+ ° Ут и интегрируем вдоль прямой С1 (см. рис. 54), парал- лельной мнимой оси (расстояние ОА = у'х). Делая подстановку 1 = — тух + ги, получаем 784 мАтемАтичеокие дОпОлнения Гл хпш где, К,(х) = [1,(ш) — 1„(ш)]. 2 сйп их 1,(ш) = 1 '.1 (еп), С помощью рекуррентных соотношений 2п К -4(х) — К 41(х) = — — К (х) Х 2К М*) = -К -4( ) — К +4[ ') легко найти для производной функции Эйри выражение Ф (х) цо 0,8 (2 8/2) 0,4 при х ) О.

(Ь.7) о,о При х = 0 Ф(0) = = 0,629, Зь' ~ Г [213) ()2.8) Ф'(0) = = — 0,459. 2чгх — 0,4 — 0,8 † — 8 — 6 — 4 — 2 0 2 х4 Рис. 68 На рис. 55 дан график функции Эйри. й с. Полиномы Лежандра' ) Полиноми Лежандра Р~[совд) определяются формулой Р~(со80) = —,,(сов д — 1) . 2'й (дсоер)' ( .1) Они удовлетворяют дифференциальному уравнению 1 д/.

ИР~'г — ~8)ПΠ— ) +1(1+ 1)Р~ = О. в1 в др дв (0.2) ) В математической литературо есть много хороших изложений теории шаровых функций, Здесь мы приводим для справок лишь некоторые основные соотношения, совершенно не занимаясь систематическим изложением теории этих функций. полнномы лежАндРА 785 Присоединенные полиномы Лежандра определяются формулой Р (совО) =в(п™О = —,вгп О, (соз Π— 1) Н АЛ(СОЛО) А .

4Ы (4соеа) 2'й (дсоее)м (с.З) или эквивалентной ей Р~ (совО) = ( — 1); в1п О, (соа Π— 1), (с.4) (~ .Р НЛ)! (! — т)12'О (ИСОЕО)' ™ причем т = О, 1,...,1. Присоединенные полиномы удовлетворяют уравнению — '(в|пО ' ) + [1(1+ 1) — ™, ))Р~'" — — О, (с.5) (с. 8) 1 Нормировочный интеграл полиномов Лежандра ) (Р~()А)) 0)А 2 — 1 ()А = сов О) вычисляется подстановкой в него выражений (с.1) и 1-кратным интегрированием по частям, после чего он оказывается равным 1 1 ( — г) 1 2 114 2 111 (2Ц) ~ 1 2 2я(1~)л 1 ((А ) р ()А ) )А — я( ))~ 1 ( )А ) — 1 — 1 Подстановкой и = (1 — )А)/2 этот интеграл приводит к В-интегралу Эйлера и дает 1 (Р( ))21 2 (с.б) -1 Аналогичным образом легко убедиться в том, что функции Р~(1А) с различными 1 взаимно ортогональны: Р~(п)Рг(1А)г()А = О, 1 ф 1'.

(с. 7) — 1 Вычисление нормировочного интеграла для присоединенных полиномов легко произвести аналогичным образом, написав (Р~~()А)12 в виде произведения выражений (с.З) и (с.4) и интегрируя 1 — т раз по частям; в результате получается 1 Г ))з 1 2 (Я+ ш)! — 1 786 мАтемАтические дОпОлнения ГЛ Х\"П! Легко также убедиться в том, что функции Р,'" с различными 1 (и одинаковыми т) взаимно ортогональны: Вычисление интегралов от произведений трех полиномов Лежандра рассматривалось в 2107.

Для полиномов Лежандра имеет место следующая теорема сложения. Пусть 7 — угол между двумя направлениями, определяемыми сферическими углами О, !д и О', р'. сов 7 = сов О сов О'+ + япОяпО'сов(!р — !р'). Тогда Ррсюв-1) = Р! 1сов О) Р!(сов 0')+ + ~~! 20 ™Р™(сов0)Р! (совО') сов)т(!р — !р')). (с.10) (1-Г т)! т — 1 Эта теорема может быть также записана в терминах шаровых функций (определенных согласно (28.7)) в виде Р11пп') = ~~ 1'!* 1и')1!т(п).

(с. 11) Г Р!(сов"!)Р1 (сов0)Г7о = дн Р!(сов 0'). 21 ~- 1 Этот результат можно записать в симметричном виде Р!(п1п2)Рв(п!пв)а!о! = д!! Р!(и пв), 21+ 1 (с.12) где п1, пв, пв три единичных вектора, а интегрирование производится по направлениям одного из них -- п1. Наконец, Здесь п, п'- два единичных вектора, а 1'!„1п) означает сферическую функцию от полярного угла и азимута направления и относительно фиксированной системы координат.

Умножим равенство (с.10) на Р1!(совО) и проинтегрируем его по Г1о = япОООд!!!. Интегрирование по д!О обращает в нуль все члены в правой части равенства, содержащие множители сов~т(!р — !р')); с учетом (с.б), (с.7) получим ~6 выгожденняя ГипеРГеометРичеокАя Функция 787 приведем выражения нескольких первых нормированных сфе- рических функций 11, 1 З ~ср Уоо =, 11о =т~( — совд, У1 Ау=*2'~( — япд е ~/~ ' ' ~з' Г5 2 /15 Узо=~ — (1 — Зсоз 0), Узту=~)~ — созВ61пд е '", 'у' 16я )/ 8Я Уз~2= — ~ вш В е ", Узо= — т~ созд(5 сов д — 3), Г15 ° 2 ~2гР ° Г7 ,2 ~/ 32я ~( 16я Уз 41 = жт' ~вш 0(5 совз д — 1)е~'", у 64я Уз,з-з= — ц)~ создяп д е" ", Уз,~3=*4~ — яп д е 1105 .

2 .1.2~ с 35 . 3 ~зе )/ 32я у 64я 8 с1. Вырожденная гипергеометрическая функция Всярооссденная гипергеометрическая функция определяется рядом Г(а, у, г) = 1+ — — + — +..., о х о(о+1) я' ( 1) у 1! у(у+ 1) 2! сходящимся при всех конечных г; параметр а произволен, а параметр у предполагается не равным нулю или целому отрицательному числу. Если а есть пелое отрицательное число (или нуль), то Г'(а, у, г) сводится к полиному степени (а!.

Функция г'(а, у, -) удовлетворяет уравнению ги + (у — г)и — аи = О, (сс. 2) в чем легко убедиться непосредственной проверкой'). Подстановкой и = г ти1 это уравнение преобразуется в уравнение того же вида ги1'+ (2 — у — г)и1 — (а — у + 1)и1 = О. (с).3) Отсюда видно, что при нецелом у уравнение (с1.2) имеет также частный интеграл г1 Уг 1а — у+1, 2 — у, г), линейно независимый ') Уравнение (с1.2) с целым отрицательным значением у не нуждается в особом рассмотрении, так как может быть сведено (преобразованиеьс к уравнению (с).3)) к случаю целых положительных у. 788 гл хюп МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ от (д.1), так что общее решение уравнения (г1.2) имеет вид и = с>Р(о, у,е)+с2Я' 'Р(о — у+1, 2 — у, е). (с1.4) Второй член, в противоположность первому, имеет при е = О особую точку.

Уравнение (с1.2) относится к типу Лапласа, и его решения могут быть представлены в виде контурных интегралов. Следуя общему методу, составляем функции Р(г) = у1 — а, так что (с1.5) Путь интегрирования должен быть выбран таким образом, чтобы после его прохождения функция Ъ'(1) = емг'"(1 — 1)т возвращалась к исходному значению. Применяя тот же метод к уравнению (с1.3), можно получить для и контурный интеграл другого вида 1 — т МАΠ— т(А 1) — О Ы В этом интеграле удобно сделать подстановку 1г †> 1,приводящую его к виду и(е) = е (1 — е) Ап 'Щ (6 6) причем соответствующая функция Ъ'(1) = е'1 т~ (г — е) Подынтегральное выра>кение в (с1.6) имеет, вообще говоря, две особые точки — при 1 = е и при 1 = О. Выберем контур интегрирования С, приходящий из бесконечности (Ве 1 — > — ОО), обходящий обе особые точки в положительном направлении и уходящий снова с на бесконечность (рис.

56). Этот контур удовлетворяет требуемым условиям, так как на его концах функция Г(1) обращается в нуль. ИнтеРИС. 56 грал (с1.6), взятый по контуру С, не имеет особой точки при е = О; поэтому он должен совпадать, с точностью до постоянного множителя, с не имеющей особенностей функцией Р(а, >,е). ~б выРожленнАя ГипеРГеометРи вескАя Функция 789 При в = 0 обе особые точки подынтегрального выражения сов- падают; согласно известной формуле теории Г-функций / с1 — э~1 2Я1 / Г(т) с (д.7) Поскольку Е(сс, у, 0) = 1, то очевидно, что Е(ст, у,г) = / е'(Я вЂ” л) о1о тсП.

(с1.8) 2к1 / С В (с).5) подынтегральное выражение имеет особые точки 1 = 0 и 1 = 1. Если Ве ( у — св) > О, а у нс целое положительное число, то в качестве пути интегрирования можно выбрать контур С', выходящий из точки й = 1, обходящий в положительном направлении точку 1 = 0 и возвращающийся в 1 = 1 (рис. 57); при Ве(7 — сс) > 0 с' в результате обхода вдоль такого кон- Рис.

57 тура функция Ъ" (Г) возвращается к исходному значению нуль') . Определенный таким образом интеграл тоже не имеет особенности при г = 0 и связан с Г(св,7, г) соотношением Е(св, 7, г) = — — е"( — 1) 1(1 — 1)т ~сН. (4.9) 2Я1 Г(7 — а) / с По поводу интегралов (Г1.8), (с1.9) надо сделать следующее замечание. При нсцслых св и 7 подынтегральные выражения этих интегралов являются неоднозначными функциями. Их значения в каждой точке предполагаются выбранными условием, что возводимая в степень комплексная величина берется с наименыпим по абсолютной величине значением аргумента. Отметим полезное соотношение (с1.10) Г(св,ц, в) = е'Г(у — св, у, — г), которое получается непосредственно, если сделать в интеграле (с).8) подстановку 1 — Р 1+ г.

Мы уже упоминали, что если св = — п, где п целое положительное число, то функция г'(сс, у,с) сводится к полиному. Для этих полиномов можно получить короткую формулу. Делая в интеграле (с).9) подстановку 1 — + 1 — (с/г) и применяя к ) Если у — целое положительное число, то в качестве С' можно выбрать любой контур, обходяп1ий обе точки 1 =- О и 1 = Е 790 ГЛ Х1'П! мАтемАтические дОпОлнения получившемуся интегралу формулу Коши, найдем следуюшую формулу; Г( — и, ),е) = е те' — „(е 'ет " ). (Г).11) Мт З-1)...