III.-Квантовая-механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 150

771 3 151 РАООеяние нейтРОнОВ В первом случае имеем (п~е — *ч"~ ~0) (и/е*ч Г ~0)(п/соэ О) 2 В результате получим цг Хс„= Р (и сов ~ О) ((3Х' -Р Х )~+ 1(1+ 1)(Х~ — Х ) )Ио. (2) 9р 2 Во втором случае (и/е'ч"~ /О) =. — (и!е ч'~ !О) =- 2( и шп О), 2 и спиновый оператор в (Ц сводится к э(12 — 12); он имеет ли2ль недиагональные по Х матричные элементы. Квадрат модуля этих элементов, просуммированный по всем возможным значениям проекции полного спина 1' в конечном состоянии, вычисляется как среднее значение (диагональный элемент) квадрата (в,12 — 12) (см.

примеч. на с. 704) и равен 2 ° 2 .2 .2 2 (э,1, — 1,)' = — †(1, — 1,)' = †(21, 4- 212 — 1 ) = †(3 — Х(Х + 1)). 3 4 4 4 В результате получим цг дп„= (1)(3) — (п эш — О) (Х~ — Х ) до, 9р 2 (3) где коэффициент (1) относится к арто — пара-переходам, а коэффициент (3) — к пара — орто-переходам. Если нейтроны настолько медленны, что их длина волны велика также и по сравнению с размерами молекулы, то в матричных элементах в (2) и (3) можно положить соэ(21г/2) = 1, э1п(с1г/2) = О, в результате чего все они обращаются в нуль, за исключением диагонального элемента 00; естественно, что в этих условиях возможно лишь упругое рассеяние. Сечение упругого рассеяния в этом случае Д 4((3гт + У-)2+ Х(1+ 1НТТ 2-)2) Мо 9 3.

Определить сечение рассеяния нейтронов на связанном протоне, рассматриваемом как изотропный пространственный осциллятор с частотой 22 (Е. Гегт2, 1936). Р е ш е н и е. Рассматривая протон как колеблющийся вокруг закрепленной в пространство точки, мы должны положить в формуле (151.3), по смыслу ее вывода, ЛХ„= ЛХ и ЛХ, = ЛХ/2 (ЛХ вЂ” масса протона). Тогда 2 Хп„= ~ / е *и Фосс(г)2Л„2„2„2(г) Ж' 21о, р я (следует пОмнить, что вращательная волновая функция умножается на ( — 1) при изменении знака г). Спиновый оператор в (1) превращается тогда в 2а + Ьэ1, где 1 = 12 + 12.

Этот оператор диагонален по Х в соответствии со сказанным выше, Квадрат (2а+ Ья1)2 усредняется, как в задаче 1, и дает Ь2 4а + — Х(Х+ 1). 4 772 Гл х! П! НЕУПРУГИЕ О'ГОЛКНОВЕНИЯ гдс по =- 4х'у ! — сечение рассеяния на свободном протоне, а вм„„, — соб- 2 огненные функции пространственного осциллятора, соответствующие уровням энергии Е„=- ссь»!и + 3/2); суммирование производится по всем значаниям пс, пг, пз с заданной суммой и! + п2 -Ь пз = и. Функции «»„2„2„ представляют собой произведения волновых функций трехлинейных осцилляторов !см.

задачу 4 3 33). Поэтому нужный нам интеграл разбивается на произведение трех интегралов вида ~(' " ")- / ссах о х о х ехр ( — — — ) Н, 1ох) ссх 2 2 2 ) 1о =- ь/Мсл/й), которые вычисляются путем подстановки Н„1х) в виде 1а.4) и и-кратного интегрирования по частям. В результате получим 2,! 2Р2 2 з / 2 1п' па ч сЬ' с!2 с! / с1 я и 2"оз" пссп2!пз! 2с»2 Суммированяе производится по бнномиальной формуле, и окончательно на- ходим - — -,й Згг) -(- ')" В частности, сечение упругого рассеяния !и = О,Е = Е') с1п, = ехр( — ) с1о, и, = пэ ~1 — ехр( — )~. Если Е/Бс« —.» О, то т, — » 4ссо. 3 152. Неупругое рассеяние при больших энергиях Эйкональное приближение, использованное в 3 131 для задачи о взаимном рассеянии двух частиц, может быть обобщено таким образом, чтобы охватить собой также и процессы 1в том числе неупругие) при столкновениях быстрой частицы с системой частиц «ми!пенью» 1Л.

Х Яаибег, 1958). В этом обобп1ении основные предположения остаются прежними. Энергия падающей частш1ы Е предполагается настолько большой, что Б» ~Г~ и )са >> 1, где à — энергия ее взаимодействия с частицами мишени, а а радиус этого взаимодействия. Рассматривается рассеяние с относительно малой передачей импульса: изменение бс1 импульса падающей частицы мало по сравнению с ее первоначальным импульсом Яс: !7 «Й. Это условие подразумевает теперь,. однако, не только малость угла рассеяния, но и относительную малость передаваемой энергии.

Кроме того, будем считать, что скорость падающей частицы и велика по сравнению со скоростями по частиц внутри мишени: и» по. 1152.1) 5 152 НЕУПРУГОЕ РАОСЕЯНИЕ ПРИ НОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ где 51 (г — К. ) энергия взаимодействия частицы с а-м нуклоном, 61с -ее импульс на бесконечности') . Если мы найдем решение уравнения (152.3) с асимптотической формой .ь 1о = е™+ Г(п,п; К),К2,...) г (и' = г(т, и = 1с/)5), то волновая функция (152.2) )))=е' "Ф,+ГФ, т (152.

4) (152. 5) будет описывать рассеяние на ядре, находящемся (до столкновения) в своем г-м состоянии; падающая волна е'1" входит в (152.5) ') Для сколько-нибудь тяжелых ядер условие )152.1) приводит к релятивистским скоростям е. Излагая в этом нараграфе формальный аппарат в рамках нерелятивистской теории, мы оставляем в стороне вопрос о его фактической применимости к тем или иным конкретным процессам рассеяния. ~) Такое приближение аналогично тому, которое лежит в основе теории молекул, где электронное состояние рассматривается при заданном расположений ядер.

з ) В (152.3) предполагается, что взаимодействие частицы с ядром сводится к сумме ее парных взаимодействий с отдельными нуклонами. Для рассеяния заряженных частиц на атомах это условие равносильно применимости борновского приближения (ср. 5 148, 150); из г» но автоматически следует )с)')а/йо « 1; необходимости в развиваемой здесь теории в этом случае, следовательно, вообще нс возникает.

Иная ситуация, однако, имеет место для ядерных мишеней, в которых частицы связаны не кулоновыми, а ядерными силами. Ниже мы будем, для определенности, говорить о рассеянии быстрой частицы на ядре' ) . Условие (152.1) позволяет рассматривать движение падающей частицы при заданных положениях нуклонов в ядре ') . Другими словами, волновая функция системы частица + мипгень может быть представлена в виде ф(Г,К),К2,...) = 52(г;К1,К2,...)Ф,(К1,К2,...). (152.2) Здесь Ф;(К), К2,... ) - волновая функция некоторого (ттго) внутреннего состояния ядра (К1, К2,.... радиусы-векторы нуклонов в нем).

Множитель же )р(г; К1К2,... ) .- волновая функция рассеиваемой частицы (г - — ее радиус-вектор) при заданных значениях К1, К2Р, ., играющих роль параметров в уравнении Шре- дингера 774 НЕУПРУГИЕ О'ГОЛКНОВЕНИЯ Гл х! П! где введены обозна !ения Я(р, В4,КЕ,...) = ехр~2«о)р, К1,КЕ,...)1, б(р,К„К„...) =~ Б.(р — В,!), 1152.9) ) В 3 131 было отмечено, что исходное выражение волновой функции 1131.4) применимо лишь на расстояниях а « 1а .

Это обстоятельство не было существенно для дальнейшего вывода в 3131. Но при рассеянии на системе частиц )ядре) оно приводит к дополнительному ограничительному условию. Необходимо, чтобы выражение 1131.4) было применимым во всем объеме рассеивающей системы, т. е. должно быть Вс « еа, где Вс — радиус г ядра 1а а — радиус действия потенциалов Щ. в произведении с Ф,. Второй член в (152.5) представляет рассеянную волну.

Однако это выражение пригодно для определения амплитуды рассеяния лишь при условии достаточно малого изменения энергии падающей частицы, т.е. малого изменения внутренней энергии ядра; рассматривая движение частицы в постоянном поле «неподвижно закрепленныха нуклонов (чему соответствует уравнение (152.3)), мы тем самым пренебрегаем возможным изменением энергии этого движения. Для выделения амплитуды рассеяния с определенным изменением внутреннего состояния ядра надо представить ф в виде лд = е' 'Ф, + ,'! 77,1п,п)Ф7 *, 1152.6) 7 где сумгиирование производится по различным состояниям ядра; у 7,(и, п) и даст тогда искомую амплитуду рассеяния с заданным переходом ядра г — у 1 как функцию от угла рассеяния (угол между п и п').

Сравнив (152.6) с (152.5), найдем, что 17,(п', и) = Ф~ГФ,йт, (152.7) где г1т = с! Ллд Лз... --элемент конфигурационного пространства ядра. Снова подчеркнем, что эта формула применима лишь при сравнительно малой разности энергий состояний г и 1. Само решение (152.4) уравнения (152.3) находится описанным в 3 131 способом ') . Аналогично формуле (131.7) имеем Г(п',и;Кл,КЕ,...) = —. ~Я(Р,К1,КЕ, .

) — Це !чад Р, 1152.8) э 152 НЕУПРУГОЕ РАОСЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ 2Й4 ете — ~ т тт ~ Представив Д1и с 2и из (152.11) в виде двойного интеграла (по с(2р д р'), интегрируем по с(2д с помощью формулы е 1ч~Р Р)д~ц = (2л)~п(р — р'), после чего 6-функция устраняется интегрированием по Й р'. В результате находим ет = (Я вЂ” 1(2е12р. (152.14) Наконец, полное сечение реакций о.„= Гтт — ое = (1 — (Я( ) д р. (152. 15) Напомним, что р проекция радиуса-вектора г на плоскость ху, перпендикулярную к 1с (В. А такая же проекция радиуса-вектора К~); бс1 = р' — р — изменение импульса рассеиваемой частицы, причем в (152.8) входят лишь поперечные его компоненты.

Функции 6, определяют амплитуды упругого рассеяния частицы на отдельных свободных нуклонах согласно ~(е) = — )( (схр!216,(р) — 1)е 1чРГ12р. (152. 10) 2тг1 При 1 = 1" находим из (152.7), (152.8) амплитуду упругого рассеяния на ядре; Л,(п,п) = — (о(р) — 1~е '™Й р, (152.11) 2л1 1 где черта означает усреднение по внутреннему состоянию ядра: о(р) = о(р, К1, 82,... )~Ф;(К1, К2,...

)~ 6т. (152.12) Эта формула обобщает прежнюю формулу (131.7). Положив в (152.11) п' = п и воспользовавшись оптической теоремой (142.10), получим полное сечение рассеяния Гтт = 2 (1 — Ве о)т~~р. (152.13) Интегральное сечение упругого рассеяния ет, получается интегрированием ~~,,~~ по направлениям п'.

При малых углах рассеяния и' имеем Г1 — кп' и элемент телесных углов до — д~д/й~. Поэтому 776 неупгугие столкновения гл х\ и1 Обратим внимание на соответствие выражений (152.13)- (152.15) с общими формулами (142.3)-(142.5). Переходя в последних от суммирования (по большим 1) к интегрированию по с( р (с р = 1у!Й) и заменив Я! на функцию 3(р), мы получим (152.13) — (152.15). Задачи 1. Выразить амплитуду упругого рассеяния быстрой частицы на дсйтроне через амплитуды рассеяния иа протоне и нейтроне (В. з'. С1аиЬсг, 1955). Р е ш е н и е. Согласно (152.1Ц амплитуда упругого рассеяния на дей- троне (с1) .= / ~0!з(К)~ ~ехр~2гб„(р — ) -~-2!бр(р-~- )~ — 1~х хе ~п'Вд р (Ц Здесь !бз(В) — волновая функция относительного движения нейтрона (и) и протона (р) в дейтроне; К =  — В.„, а В.! — проекция К на плоскость, перпендикулярную к волновому вектору падающей частицы 1с.

Представим разность в фигурных скобках в (Ц в виде схр(2гб„-~- 2вбг) — 1 =- (е ьж — Ц -Р (е * ' — Ц -> (е * " — Ц(е * ' — Ц. После этого интегралы преобразуются с учетом определения амплитуд рассеяния на нейтроне (З"!"!) и протоне (Д~Р!) согласно (152.10) и обратных формул ехр(2!ам(р)] — 1 = — 1' ' (с1)е'~' В результате находим уой(ц) = .(00(ч)Р(ц)-Р у"'(ц)Р(- )— — (' Г(2с1')1!"! ( — 4- с!')1!Р~ ( — — с1') п~д', (2) с (с1) / !у!, (ю)~ е — *ч ! а! о где — формфактор дейтрона.