Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (Рихтмайер - Принципы современной математической физики), страница 6

п. Группа 6, всех (однородных и неоднородных) линейных преобразований пространства !с", относительно которых ! (х) инвариантна, называется пространсп1венной группой функции ) (х) или для ) (х), представляющей кристалл, — проопранственной группой кристалла. Элемент группы 6, есть преобразование вида х — х'=Мх+в, (18. 14. 3) где .',. '— невырожденная матрица, а $ — вектор; это преобразование обюзначается через ($,' М). Произведение двух преобразований в группе 6, состоит в последовательном применении этих преобразований: х" = М, х' -1- в, = М; (М,х + $,) + $ы т. е.

(зз М ) о (чзч Мг) =( '1Дч+~м МзМч) (18 14 4) Преобразование (18.14.3), при котором функция ((х) инвариантна, называется операцигй симметрии функции ! (х). Вообще говоря, преобразования (18.14.3) включают трансляции, вращения, растяжения и сдвиги. Однако нетрудно видеть. что если ((х) — непрерывная и невырожденная функция (в частности, если она представляет реальный кристалл), то растяжения и сдвиги можно исключить. Чтобы показать общий характер этого рассуждения, рассмотрим сдвиг в плоскости: квадратная решетка из точек с целочисленными координатами на плоскости х, у инвариантна относительно группы трансляций .у, состоящей из трансляций вида х- х+я, у- у+!(я, ! целые), атакжеотносительно различных преобразований, включающих сдвиги типа 5„.

х х+пу, у — у (и — целое число). (!8.14,5) Если взять в качестве ((х, у) функцию, равную 1 в точках решетки (х, у целые) н равную О в остальных точках, то/ будет инвариантна и относительно преобразования (18.14.5) Однако непрерлгвная невырожденная дважды периодическая функпия !" (х, у) не может быть инвариантной относительно (18.14,5). Если бы она была инвариантной, то было бы справедливо тождество ((х+пу — я, у) =1(х, д) 28 Гл. /8. Элементарная теория групп для всех и и д; для иррационального у числа пу — й всюду плотнь на Й; таким образом, по непрерывности ) (х, у) должна бы не зази.

сеть от х для всех иррациональных у, а значит, и для всех у (снова по непрерывности), и, следовательно, /(х, у) должна бы быть вырожденной. Поэтому сдвиги нужно исключить. Рассуждая аналогичным образом, можно заключить, что матрица М в (18.14.3) должна быть ортогональной. Множество всех ортогональных матриц М, таких, что (й, М) содержится в 6, для некоторого й, также представляет собой группу; она называется точечной группой функции )(х) и обозначается через 6р. Ясно, что отображение гР: 6а 6р/ (ьв, М) — М (18.! 4. 6) есть гомоморфизм, ядром которого является,р; следовательно, по теореме о гомоморфнзмах для групп оказывается, что //в нормальная подгруппа группы 6„а 6 изоморфна фактор- группе 6,МУ'. Упражнения 1.

Используя (18.!4.4), найдите формулу для (й, М) т. Затем непосредственно проверьте, что,у является нормальной подгруппой группы ба, длз чего покажите, что если (й, /1 †люб чистая трансляция (здесь / †единичная матрипа), то любой групповой злемент вида (Ч,М) (в, /) (з),М) также представляет собой чистую трансляцию В кристаллографии можно получить обширную информацию о кристаллической структуре путем определения 6р и,р (причем последнюю группу при помощи решетки, которую она порождает). Однако, вообще говоря, это дает меньше информации, чем можно было бы получить, задавая пространственную группу 6,. В частности, 6, может содержать, а может и не содержать бр в качестве подгруппы, так как 6, может включать ($, М) для некоторого й~ О, но не включать (О, М).

Замечание. бГ как абстрактная группа изоморфна свободной абелевой группе с и образующими, и, следовательно, не дает никакой информации. Однако решетка, порожденная при помощи,Ул в случае заданной фундаментальной системы периодов несет информацию о /(х) Пространственная группа, относительно которой решетка преобразуется сама в себя, содержит пространственную группу функции / (х) в качестве подгруппы. Для п=З подробное описание возможных операций симметрии, а также описание пространственных и точечных групп содержатся в книге Генри и Лонсдейла 119651.

Операциями симметрии являются: чистая трансляция, чистое вращение, отражение в плоскости, отражение совместно с поворотом вокруг оси, перпендикулярной плоскости отражения, отражение совместно с трансляцией парал- )8Л4. Пространственные и точечные группы лельно плоскости отражения и вращение совместно с трансляцией параллельно оси вращения. Для любого вращения единственно возможными углами поворота будут ~2л/л, где л=), 2, 3, 4, 6, как это показанодля случая чистых вращений в упражнениях 2 и 3 (см. ниже). Всего существуют 32 точечные группы, !4 типов решеток и 230 пространственных групп. Упражнннии 2, (Цель этого упражнения — показать, что единственно возможными чисто вращательными симметриями двумерного кристалла являются повороты вокруг осей симметрии л-го порядка, где л=1, 2, 3, 4 нли О.) Рассмотрим невыролсденную дважды периодическую функцию /(х, у) и запишем ее в виде /;г), т.

е. как (неаналитическую) вещественную функцию комплексной переменной г=х+~у. Пусть а н )) — фундаментальная пара периодов; тогда Пе (а/В) и О и / (г+ла+тй) — / (г), где о н т — целые числа. Выбирая подходящую ориентацию н масштаб по осям х и у, примем для простоты 8=1. Допустим, что /(г) также инвариантна относительно вращения г е г. Из уравнений ш ! (г) =/ (ге' ), / (г + 1) = Г (ге' + е' ), /(г+а) =/ (ге' +ае' ) заключаем, что е1 и ае являюгся периодами функции /(г). Исходя из этого, покажите, что а удовлетворяет уравнению га' т (з — р) сс — д = О, где р, у, г, з — целые числа, такие, что рз — гд=1, откуда следует, что е' = (1 т г' 1' — 4)/2, 1 = р+ з. Для того чтобы В было вещественным, 1 должно принадлежать ( — 2, 2).

Получите отсюда заключение, что для В возможны лишь следующие значения: О, а л/3, т л/2, т 2л/3, ~ л. 3 Обобщите занлюченне упражнения 2 на трехмерный случай следующим образом: допустите, что функция /(х, у, г)=/(х) трижды периодична н что (и, ч, и) — фундаментальная система периодов. Предположите далее, что /(х) инвариантна относи~ельне поворота на угол В вокруг некоторой оси в пространстве.

Выбирая начало координат на этой оси, запишите вращение в виде х Пх, где )с — ортогоналыщя матрица размера 3 Х 3 с детерминантом, равным 1. Г1окажите, что векторы и'=Ни — и, ч'=-Пч — ч, и'=Пи — и являются пернодамн функции 1 (х), перпендикулярны оси вращения и не коллинеарны. Отсюда последует, что /(х) дважды периодичиа в любой плоскосюц перпендикулярной оси вращения, а значит, применим метод упражнения 2.

В некоторых книгах ограничение возможных осей симметрии в кристалле осями симметрии только 1-го, 2-го, З-го, 4-го и 6-го порядков выводят из несколько таинственного апринципа рациональных индексов», который, как говорят, должен иметь эмпирп- зо ГЛ. ТВ.

Элементарная теория груни ческое происхождение. Мы видели, однако, что это ограничение является непосредственвым следствием наличия трижды периодической структуры; поэтому «принцип рациональных индексов» не нужен. танк пяямое и попупяямое пяоизведения гвупп. СИММОРФНЫЕ ПРОСТРетНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ Если 6,— нормальная подгруппа группы 6, то в общем случае нельзя полагать, что 6 является произведением групп О„и 6,'6,; в самом деле, 6 в общем случае даже не содержит подгруппу, нзоморфную 6(6,. Далее мы рассмотрим два исключения из этого общего правила. Рассмотрим простейший случай.

Пусть Н н К вЂ” подгруппы группы 6, такие, что любой элемент д из 6 может быть единстненнын ооразом представлен в аиде 1Ы, где й содержится в Н, а (.— в К. кроме того, каждый элсменз (г из П коммутн руст с каждым элементом (г из К. В таком случае говорят, что 6 представляет собой прямое произоеденце групп Н и К; символически 6 = Н х К илн 6= К х Н. Единица е является единственны» элементом из НПК (еслн бы в Н()К существовал какой1ибо другой элемент а, то существовали бы два представления в виде (й, а именно ае и еа). Далее, Н и К вЂ” нормальные подгруппы группы 6, ибо если а=ч(г,— любой элемент из 6, а †люб элемент из К, то а(г,а ' = 'тн,й,й, "и ', но он равен (г,(г,(г , поскольку й коммутирует с любым элементом из К; отсюда а(г,а ' принадлежит К и К с) 6; аналогично Н с) 6.

Кроме того, факторгруппа 6(Н изоморфна подгруппе К, а 6(К изоморфна подгруппе Н, так как любой элемент из 6(Н является смежным классом аН=(а(г: йЕН) и может быть однозначно представлен как смежный класс яН (где а=(г(г, РЕК, (гЕН); ясно, что отображение (г (гН есть изоморфизм групп К и 6(Н, нбо ИъНйеН '"е' ен' Другая точка зрения состоит в допущении, что Н„и К,— произвольные заданные группы, и в построении группы 6, называемой их прямым произведением, следующим образом: элементами группы 6 являются пары (и, (г), где (е Е Н„и ВЕК„а операция (закон композиции) определяется так; (йо УгТ) а (й„(ге) -(П1(ге, (гА). (18.15.1) Единичным элементом 6 является пара (е, е'), где е и е' — едн.

нины групп Н, и К„соответственно; обратный элемент ((г, й) '= =((г ', я '). Пусть теперь Н и К вЂ” подмножества элементов 6, а именно Н = ((й, е'). Ь Е Не), К ((е, (г): (г Е К„). 1З.И. Прямое и полупрллоа произведения аруна Легко проверить, что 6, Н и К вЂ” группы, что Н и К вЂ” нормальные подгруппы группы 6, что НоиН„а Ком К„и, наконец, что 6 ИхК. УНРАжненне 1. Проверьте сформулнронанные н последнем абзаце утверждения. В силу изоморфизма Н ямН, и КмК, группа 6 также называется прямым произведением Н, и К,; обычно практически Н, и К, отозкдествляюнт с подгруппами Н и К и вообще опускают индекс О.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Допустим, что единица а является единственным общим элементом двух подгрупп Й н К группы П. Покажнте, чсо й нз П коммутнрует с любым л на К тогда н только тогда, когда П сз 0 н К <) П. В следующем простом случае (полупрямое произведение) все еще допускают, что любой элемент д из 6 может быть выражен единственным образом в виде )в)с, где КЕ Н и )с ЕК, но при этом предполагается, что Н кЗ 6, тогда как А не обязательно нормальный делитель группы 6. Тогда 6 называется полупрялсоьн произведением Н и К. Любой смежный класс подгруппы Н в 6 (т. е. любой элемент факторгруппы 6!Н) имеет однозначное представление йН =Ня, где й принадлежит К; более того, НитНи,= Ндал„ и, значит, факторгруппа 6/Н изоморфна К.

Если дт и К„принадлежащие 6, единственным образом представляются в виде дт = Ь,втт и д, =)в,)а„то произведение дв = ддв единственным обРазом пРедставлиетсЯ в виде )1,/гв, где )тв )твах)ветр ° ав = 'став. (Заметим, что элемент /гт)св/г,' принадлежит Н, поскольку Н— нормальная подгруппа, но этот элемент не обязательно равен йы если только К не является тоже нормальной подгруппой.) Группа 6 всех движений в плоскости (или в и-мерном пространстве) представляет собой пример полупрямого произведения. Движением является преобразование х — х' = Мх+$, (18. 15,2) где М вЂ” вещественная ортогональная матрица размером 2х2 (или пхп) с детерминантом, равным 1, а З вЂ” произвольный вектор.