С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра, страница 4

Если два число в перестановке поменягпь местами, то количество беспорядков в ней ивлееггигпся на некоторое печегпное число. Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Поменяем в перестановке о числа о,и огьь мессами. Рассмотрим сначала случай д = 1 + 1. Если прежде числа о, и о,эг не образовывали беспорядка, то теперь они будут его образовывать; если же они образовывали беспорядок, то теперь они перестанут его образовывать. При этом все прочие беспорядки, очевидно, сохранятся.

Таким образом, общее количество беспорядков изменится ровно на единицу (в ту или в другую сторону), т. е. на нечетное чишго. Допустим теперь, что теорема доказана для й = т — 1 и докажем, что тогда она справедлива и для Й = т. Поменяем сначала местами числа сг; ~.ь г и о;еь: затем в полученной перестановке (...,гг„... ...,ог~.ь,огэь ы ...) поменяем местами о, и о.,эь; наконец, в перс становке (...,а,ьы ...,о,,о;,я ы..,) поменяем местами сг„и о,чь (..., а,~.ь ..., выь ы он ). В результате 1-й и (?+к)-й элементы поменялись местами, а порядок следования остальных элементов не изменился.

При этом количество беспорядков изменялось три раза, причем каждый раз на нечетное число. Следовательно., в резулшвте количество беспорядков изменилось на нечетное число. Теорема доказана. Вернемся теперь к определителям и поставим такой вопрос. Пусть Ь(аы аш ..., а„) определитель, о = (о.ы оя, ... г сг ) — перестановка. Переставим в определителе строки так, чтобы первой сгрокой оказалась о,-я, второй — оэ-я и т.д.

Поскольку при пересшновке строк модуль определителя не меняется, то полученный определитель г5(а,„„а„„..., а,„,) может отличаться от исходного только знаком. Как определить этот знак? Ответ дает следующая теорема. Теорема 3. Ь(а „а „...,а „) =( — 1) ех(апаш ...,а„) (1) где Дг(о) — количество беспорядков в перестановке сг. Доказательство. Выберем из чисел вы от ..., оп то оьг которое равно 1, и поменяем его местами с оы Одновременно поменяем местами строку а „определителя Ь(а „а „....,а „) со строкой а,.

Затем выберем из оставшихся чисел то оогг которое равно 2, и поменяем его местами с ош а строку а, определителя — со строкой а „и т.д. Продолжая этот процесс, мы, очевидно, и приведем данную перестановку к виду (1,2, ...,и), а определитель Ь(а,„„а„„...,а„) к виду Ь (аы аш ..., ап), Пусть ХС вЂ” число шагов, необходимых для осуществления этого процесса. Поскольку при каждой перестановке строк знак определителя менялся напротивоположный,тоЬ(агыа „....,а „) = ( — 1) Ь(ам аз, ...,ап). э с.п калочцег Гл 1. Матрицы и определители С другой стороны, на каждом шаге количество беспорядков в перестановке изменялось на нечетное число.

Перестановка (1, 2, ..., и) не содержит беспорядков, и, следовательно, общее число беспорядков Дг(о) в перестановке в равно алгебраической сумме Л нечетных чисел, которое четно или нечетно в зависимости от того, четно или нечетно число Л. Поэтому ( — 1) = ( — 1)~1 1. Теорема доказана. 2. Выражение определителя через его элементы. Те о р е м а. Определитель и-го порядка магприцы А выражается формулой с1еФА = ~~ ( — 1) аыиаз,,...а„„.

(2) к Здесь су ма берется по всем перестановк м ив и чисел (т.е. каждой перестановке соотвегсгвует одно слагаемое), а дГ(сг) — количество беспорядков в перестановке в. Доказательство. Представим первую строку матрицы А в виде линейной комбинации координатных строк и воспользуемся свойствами 1', 2о определителя. Имеем г1еФА = Ь(аг,аз, ...,а„) = Ь(~ам,егыаг, ...,а„) = 'л (аы еь, а2 ... а~) = 1 вы Ь(ев, аз ..., ав). м Аналогичным образом поступим со второй строкой матрицы А, затем— с третьей и т д.

В резулгавте получим: г1еФА = г аг„азв, а„, Ь(е„,е„,...,е, ). вь32, » 5 Согласно свойству 3' в этой сумме отличны от нуля только те слагаемые, в когорых все строки е,, попарно различны, т.е. числа в, образуют перестановку из и чисел. Поэтому полученное выражение можно переписать так: г1ег А = ~~~ аг, аэ,... а„„Ь (е,е,... е „). а Осталось заметить, что по формуле (1) Ь(е „е „,...,е „) = (--1) Ь(еыез, ..,,ев), а Ь(еы еа,, ен) = 1. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Рассмотрим несколько частных случаев. При и = 1 существует толькоодна перестановка — (1).

Поэтому г1еФ А = =ам При и = 2 перестановок две: (1, 2) и (2, 1). В первой из них беспорядков нет, а во второй — один беспорядок. Поэтому выражение для г1еФ А состоит Равноправность строк и стпвлбцов определителя 19 из двух слагаемых: г!е1А = аыагг — аггагы Символически это можно изобразить так: М вЂ” % При и = 3 перестановок шесть. Три из них — (1,2,3), (3,1,2) и (2, 3, 1) содержат четное количество беспорядков, а три — (1, 3, 2), (2, 1, 3) и (3., 2, 1) — нечетное.

Поэтому определитель третьего порядка выглядит так: «!ес А = а»»а»газ + агзаггаза+ а»газ»аз» вЂ” аыагзазг — аггашазз— — агзаггазг. Символически это можно изобразить так: В общем случае: а) определитель представляет собой алгебраическую сумму п! слагаемых (их столько, сколько различных перестановок из и чисел); б) каждое слагаемое представляет собой про введение п элементов матрицы, взятых из попарно различных строк (с номерами 1, 2, ..., и) и попарно различных столбцов (с номерами Ов) в) знак перед каждым слагаеммэл определяется четностью количества беспорядков в перестановке номеров столбцов в этом слагаемом.

3. Алгебраическое дополнение. Рассмотрим формулу (2), выражающую определитель матрицы А через ее элементы. Сгруппируем в ней все те слагаемые, которые содержат в качестве сомножителя элемент асп и нынесем общий множитель ам за скобки. '!а сумма, которая опщнгтся после этого в скобках, называется алгебраическим дополнением А, элемента а; . Иными словами, А, — это то, во что превращается правая часть выражения (2) при замене элемента а;» на единицу, а всех остальных элементов «-й строки — на нули. Теорема. Алгебраическое допол»»ение элсменгла а,.

равно минору, дополнительному к а,, взятому со знаком «+», если число (!+Я чггпно, и « — » — если нечето: А,. = ( — 1)'+» с», . Доказательство. Из определения следует, что алгебраическое дополнение А«» представляет собой определитель, полученный из «!е! А заменой элемента а, на единицу, а всех остальных элементов»-й строки -- на нули. С другой стороны, если такой определитель разложить по 1-й строке, то окажется, что он равен ( — 1)'т»Ь„. Теорема доказана.

з" Гл 1. Матрицы и определители 20 3 а м е ч а н и е 1. Доказанная теорема позволяет по-новому записывать формулу разложения определителя по !'-й строке: с1ес А = ~~ а„Ас,. в.= ! Замечание 2. Рассмотрим определитель, в котором г-я строказаменена на с-ю 1! ~ у): ас! агг ! а! аг.........а, а,! а,г а!а!.........а„ Эгот определитель, очевидно, равен нулю — в нем две одинаковые строки. Раскладывая его по у-ой строке и учитывая, что алгебраические дополнении к ее элементам не зависят от элементов г-ой строки (она вычеркивается), получим: и а„А, =О. г=! Объединяя этот результат с утверждением замечания 1, можно написать так: ( с1е1А, !=у сгсгАгг Фу 4.

Разложение определителя по столбцу. Те о р е м а 1. Справедлива следующая формула, аазываемвя формулой разложения определителя по гчму столбцу: с1есА = ~ ~а,.А, . г=! Доказательство. Кэгкдое слагаемое в выражении (2) представляет собой произведение с! элементов, взятых из различных столбцов, поэтому в каждом слагаемом элемент г-го столбца фигурирует ровно один раз. Следовательно, каждое слагаемое из этого выражения войдет в нашу сумму, и притом только один раз.

Теорема доказана. Определение. Матрис1ей, транспонированной по отношению к матрице ам асг ... аь, аг! аю .. аг а са„,г...а Произведение матриц 21 называется матрица ам ал ..а,т 1«т атг аз« ат аг ... а Таким образом, строками матрицы А" являются столбцы матрицы А (н наоборот).

Например, матрица (5 6 7 8) является транспоннрованной по отношению к матрице '1'ео рема 2, тСлл любой (ть х п)-матрицы А имеет место равенство с1е1А" = с1е1А. Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Нрн и = 1 утверждение теоремы очевидно — в этом случае транспоннрованная матрица совпадает с исходной. Допустим, что теорема доказана для и = к.

Тогда разложение определителя (к + 1)-го порядка матрицы А"' по первой строке совпадает с разложением определителя матрицы А по первому столбцу. Теорема доказана. Следствие. Все утвеузюден л о строках определителя справедливы и длл его столбцов. Иными словами, строки и столбцы в определителе равноправны. й 4. Произведение матриц 1. Свойства произведения матриц. Определение. Произведением (тп х тс)-матприцы А на (тс х й)- матрицу В пазываетсл с,т х й)-матрица С, элементы с; которой рави ны 2, 'аыб, «=1 Таким образом, элемент с индексами 1 н з' матрицы С представляет собой «пронзведенне» т-й строки матрицы А на у-й столбец матрицы В.

Обратим внимание на то, что прн этом количество столбцов матрицы А должно совпадать с количеством строк матрицы В иначе произведение матриц А н В не определено. Из сказанного ясно, что если произведение матриц А и В определено, то произведение матриц В и А, вообще говоря, не определено. Но Гл 1. Митричи и определители 22 даже в том случае, когда оба произведения определены (в част- носги, когда матрицы А и  — квадратные), АВ, вообще говоря, не равно ВА. В самом деле, пусть, например, А = ~1 О), В 1'1 ОЛ (О '1).

Т да АВ = ((<1:О+О'О) ((1'1+О'3 = (О '1), а ВА = =()( ' ) )~ ' ~ ~' ))=( ),т.с.АВИВА. Теорема. Умножение матриц (при условии, что оно определено) обладает следующими свойствами: 1' А(ВС) = (АВ)С; 2' А(В+ С) = АВ+ АС; 3' (А+ В)С = АС+ ВС; 4' Л(АВ) = (ЛА)В = А(ЛВ), где Л л)обое число. Доказательство.

1'. (А(ВС)),, = 2 а„(ВС)В = 2 аА„ЬВ ср. = 2 (Ав), ср. = = ((АВ) С)ир 2'. (А(В+ С))и — — 2 а;, (ЬВ + с, ) = 2 а„ЬВ + 2 а;,св = (АВ+ АС),, 3'. ((А+ В) С),. = ~ (а;, + Ьы) сеу = ~ аыс,г + ~ Ь,,свг = = (Ас+ вс)в. 4'. (Л(АВ)),. = Л2,'а„Ь,, = 2т,'(Ла„) Ь,у = ((ЛА) В), = 2„а), (ЛЬ,В) = (А (ЛВ))и, Теорема доказана. 2. Определитель произведения квадратных матриц.