С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра

УДК 514 ББК 22.143 К13 К а д о м ц е в С. Ь. Аналитическая геометрия и линейная алгебра Мл ФИЗМАТЛИТ, 2003. 160 с. (ЯВ(ч 5-9221-0145-5. Настоящее пособие написано на основе курса лекций, читаемого автором на физическом факультете МГУ. Книга состоит из трех частой. В первой из них (аппарат аналитической геометрии и линейной алгебры) рассматриваются действия с матрицами, теория определителей и ее приложения к решению систем линейных уравнений. Во второй части (анвлитическая геометрия) помимо традиционного материала подробно обсуждается теория ориентации, строится классификация кривых и поверхностей второго порядка. Третья часть (линейная алгебра) представляет собой систематическое изложение теории линейных, евклидовых и унитарных пространств, основанное на аксиоматике Вейля.

Здесь изучаются теория линейных операторов (в частности, описывается и иллюстрируется примерами метод приведения матрицы оператора к жордановой форме), теория билинейных и квадратичных форм, тензорная алгебра, рассматривается пространство Минковского. Выбор последовательности изложения и использование в ряде случаев ветрадиционных доказательств теорем позволили автору изложить традиционный курс относительно компактно. Книга предназначена,прежде всего, для студентов физико-математических специальностей. 1ЯВМ 5-9221-0145-5 (г) ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003 СОДЕРуКАНИЕ 1. АППАРАТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Глава 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 3 1.

Матрицы . 1. Сложение матриц (8). 2. Умножение матрицы на число (9). 3. Арифметическое пространство (9). 3 2. Определители. 1. Предварительные замечания (1Ц. 2. Определитель (12). 3. Разложение определителя по строке (14). 4. Основные свойства опредолителя (15). 3 3. Равноггравность строк и столбцов определителя 1.

Перестановки (16). 2. Выражение определителя через его злементы (18). 3. Алгебраическое дополнение (19). 4. Разложение определителя по столбпу (20). 3 4. Произведение матриц 1. Свойства произведения матриц (2Ц. 2. Определитель произведения квадратных матриц (22). 3. Свойства нронзведення квадратных матриц (23). 35. Базисный минор .

1, Теорема а базисном миноре (24). 2. Ранг матрицы (25). Глава 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ................ 3 1. Существование и единственность решения................. 1. Основные определения (27). 2. Существование решения (28). 3. Однородные системы (28). 4. Единственность решения (28). 3 2. Нахождение решений 1. формулы Крамера (29). 2. Общий случай (30). 21 24 27 27 29 П. АНАЛИТИт1ЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 32 33 33 Предварительные замечания Глава 1 ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ 3 1. Координаты точки 1.

Ось координат (ЗЗ). 2. Декартовы координаты (34). 3. Криволинейные координаты на плоскости (34). 4. Криволинейные координаты в пространстве (35). ез 2. Векторы Содержание 1. Вектор (36). 2. Равенство векторов (37). 3. Координаты вектора (37), 4.

Сумма векторов (38). 5. Произведение вектора на число (38). 6. Отождествление равных векторов (39). 3 3. Скалярное произведение . 1. Основные определения (39). 2. Скалярное произведение в координатах (40). 3. Свойства скалярного произведения (40). 4. Площадь параллелограмма (4Ц. 5. Объем параллелепипеда (4Ц. 34. Базис 1.

Коллинеарные векторы (42). 2. Компланарные векторы (43). 3. Линейнвязавнсимостьчетырехвекторов (43). 4. Базис (43). 5. Аффинные координаты (44). Глава 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 3 1. Преобразование координатна плоскости .................. 1. Правые и левые пары (45). 2.

Собственные и несобственные прсобразовани» (46). 3. Преобразование координат вектора (47). 4. Правые системы координат (47). 5. Преобразование координат точки (48). 3 2. Преобразование координат в пространстве ................. 1. Преобразование координат вектора (49). 2. Углы Эйлера (50). 3. Преобразование координатточки (5Ц. 2 3. Векторное произведение . 1. Определение векторного произведения (5Ц. 2. Смешанное произведенио (52). 3. Произведение двух смешанных произведений (53). 4. Скалярное произведение двух векторных произведений (53). 5. Двойное векторное произведение (54).

Глава 3 УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ .. 3 1. Прямая на плоскости . 1. Уравнение прямой (55). 2. Параметрические уравнения прямой (55). 3. Каноническое уравнение прямой (56). 4. Общее уравнение прямой (56). 5. Нормированное уравнение прямой (56). 3 2. Плоскость 1. Уравнение плоскости (57).

2. Общее уравнение плоскости (58). 3. Нормированвое уравнение плоскости (59). 9 3. Прямая в пространстве 1. Уравнение прямой (59]. 2. Параметрические уравнения прямой (60). 3. Канонические уравнения прямой (60). 4. Пересечение двух плоскостей (60). Глава 4 ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 3 1.

Эллипс, гипербола н парабола . 1. Эллипс (62). 2. Гипербола (64), 3. Директриса эллипса и гиперболы (66). 4. Парабола (67). 5. Касательная (68). 6. Оптические свойства (69). 8 2. Кривые второго порядка. 1. Уравнение кривой второго порядка (7Ц. 2. Классификация (72). 9 3. Поверхности второго порядка 39 45 45 51 55 55 57 59 62 62 73 Содерлсание 1. Уравнение поверхности второго порядка (73). 2. Цилиндры (76). 3, Конусы (76).

4. Завершение классификации (78). 3 4. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды 1. Эллипсоид (79). 2. Гиперболоиды (80). 3. Параболоиды (8Ц. 3 1. Линейное пространство 84 1. Аксиомы Бейля (84). 2. Линейное пространство (85). 3. Свойстна линейного пространства (86). 4. Линейное надпространство (87). 3 2, и-мерное линейное пространство 1. Базис и размерность (88).

2. Примеры (89]. 3. Изоморфнзм (90). 4. Линейное дополнение (9Ц. Глава 2 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 3 1. Операторы, действующие из Ь" в 1 1. Линейный оператор (94). 2. Матрица линейного оператора (95). 3. Образ оператора (96). 4. Ядро оператора (96). 5. Произведение операторов (97). 3 2. Операторы, действующие из 1 " в 1 1. Тождественный оператор и обратный оператор (98). 2. Инвариантные надпространства (99). 3. Образ и ядро (99). 4. Структура пространства 1 о (10Ц. 5. Собственные значения и собственные векторы (106).

6. Характеристическое уравнение (108). 7. Жорданова форма матрицы линейного оператора (109). Глава 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ........ 3 1. Преобразование базисов 1. Обозначения (114). 2. Переход к новому базису (114). 3. Последовательные преобразования (115). 3 2. Преобразование координат 1. Преобразование координат вектора (115). 2. Преобразование матрицы линейного оператора (115). 3.

Линейная форма (116). 3 3. Тензоры 1. Определение тензора (117). 2. Сумма тензоров одинаковой структуры (118). 3. Прямое произнедение тензоров (118). 4. Свертка тензора (119). 5. О билинейной форме (120). 3 4. Квадратичные формы 1. Матрица квадратичной формы (12Ц. 2. Метод Лагранжа (12Ц. 3. Закон инерции (122). 4.

Критерий Сильвестра (123). 114 114 115 117 17П Глава 4 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. 3 1. Длины и углы. 125 125 111. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Глава 1 КОНЕтТНОМЕРНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО... 84 Содерзюаиие 1. Определение евклидова пространства (125). 2. Неравенство Коши— Буняковского (125). 3. Длина вектора (126). 4. Угол между векторами (126). 3 2. Ортонормированный базис 1.

Существование ортонормированнога базиса (127). 2. Ортогонализация (127). 3. Ортогональное дополнение (128). 4. Альтернатива Фредгольма (128). 5 3. Операторы в Е"......... 1. Сопряженный оператор (129). 2. Ортогонвльный оператор (130). 3. Ортогональныс преобразования (132).

4. Самосапряженный оператор (132). 5. Квадратичнаи форма в Е" (133). 3 4. Гиперповерхности второго порядка . 1. Система координат (134). 2. Каноническое уравнение гиперповерхности второго порядка (135]. 3. Классификация (136). 4. Инварианты (136). Глава 5 НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ 8 1. Унитарное пространство . 1. Основные свойства (138). 2. Нормальныйонератор (139). 3.

Унитарный оператор (140). 4. Самосопряженный оператор (141). 3 2. Псевдоевклидово пространство 1. Определение (141). 2. Преобразования Лоренца (142). 33. Группы и поля 1. Группа (143). 2. Примеры (145). 3. Поле (146). Заключение Предметный указатель 127 129 134 138 138 141 143 154 Глава 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 8 1. Матрицы 1. Сложение матриц.

Определение 1. Таблица из чисел ') вида ам агг ... а~„ агг агг .. аг„ а<па,г ..а называется (т х и)-матрицей. Здесь первый индекс у числа а< это номер строки, а второй номер столбца, в котором это число находится. Иногда мы будем исаользовать также обозначение (А)»и понимая под ним элемент матрицы А с индексами г, у, т.