О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии, страница 2

(1) Если ауавэть эа паажителыве ааправаепае на праной напра алеиве, противоположное первоначальному, то координаты всея точек изменят анак, не мевж своей збсолытной велнчиньг. х — х'. (Ъ Еов' выбрать мовуы единицу даем е' = Р"Ц', то координаты олиой н той же точки будут обратно пропорциональны соотвстстзуманм еднвщам, т. е, а1 х.= †.с'. (3) а й. Осе«вема формулы Если дэны дзе точки А п В своими яеоркннатами х, и ят, то величина отрезка АВ вычисляется по формуле: АВ= хэ-х,', (») т. е. величина отрезка равна разности координат его концоз1 положкпмк тбчки ыа пгямои 13 причем на координаты конечной точки надо вычесть кеараявату печальной точки. ,Твк как зта Формула снрзвеялява прн всяком раснолаашняи очек, то нужно обращатЬ внимаязе на правильное обозначение отрезков н ставит» нз первом месте букву, обозначающую начало отрезка, а иа втором-букву, обощачающую его коищь » ч лб лг— ь ~ 3 бл Пример, Ланы дзе точки А(-3) н В(+4); тогла (рнг- б) АВ=а — ( — 3) =+г, ВА — 3.-4=-г.

Если х, н хг сгть кооРдинаты, пжек А и В, то данна отреака АВ равна И =1«а- х, Р Если иа пРЯмой даны Ллз точки А(«Д н 'В(хз) то всзкзк третья гочка С(х) девиз отрезок АВ в некотором опрелеаеквом отношении — (рис. 7); мы будем обозначать его буквой 1, ж е. АС СВ АС величина отрезка от начальной точки до девицей СВ величина огрезка от деджцей точки до конечзшй ' Лзя вычнсаеина з внаем Формулу: (3) хз — т Х принимает жзложнтещиые или отрицательные аначения в зависимости от тщгь лазит лн'делящая точка С(х) внутри нли вне отрезка АВ. ' яз.л л бг "Э 3 у-и Если, наоборот, дано отащзение Х, то координата соответствую щей делящей точки С определяется Формулож ,к — ~(~+ ~-.

(б) 9 частности, когда 1=1 и АС='СВ, мы имеещ (у) г. е. координата середины отрезка равна полусумме координат що концов Сложным (авгзрмоннческим) опаиаеннем четырех точек А, В, С и Р называется отношение двух отношений, в котором точка С делит отрезок АВ н в юмором Р делат тот же отрезок АВ. Обо зизчземся зто тзк: (АВСР) = — ". —.

АС „АР СВ РВ Если (АВСР) зи — 1, то соответствующие четыре точки назы- ваются гармоническими. 1. Построить следующие точки: 4 (+4)™( 2„3), С( /з), В(+)г 3), В( — 0,,(4)...). Р(~ 6 — 1). 2. Построить точки, коррдннаты которых удовлетворяют уравненцжзз 1) Р—, 3* 4) «з 4«т+ 3«0, б.с — 2 Рх 1 ..3х+4 3 7 2 2)«4 0.

6) «+4«+4 0; 3) «з+« — 6=0; 6) «т- х+6 =О. 3. Пбложенив точки, равномерно двщкущейся по прямой, дается для любого момента б Формулойз «=ос+с. гдв е — скорость двнхщння. с начальное положепне точки. Отметить па чертеже положение точки в начальный момент м и конце каждой мз первых пяти секунд, если закон лвиже нвя дзн уравнением: « =Зг — г, "проверить, что в равные промежутки времени точна проходит равные пути. 4 Найти координату точки, симметричной с точкой А (+3). относительно.' 1) начала координат; 2) точки В( — 2); 3) точкм С(+6), б.

Даны точки: А(+9). В(+5). С( —,3). Ю( — 8) и М(«). Определить координаты этих же точек при условии, что единица длины будет юята. '1) втрое больше первоначаль- ной; 2) вдвое меньше первоначалыщй( 3) так. что з': е =б: 2. 6, Зная, что один километр Равен 468.7 сажени. Написать Формулу, пользуясь которой'можно делать новые пометки ма веропщых столбах, расощвлекных вдоль железнолорожного пути. при переходе на метрическую спсщму измерения'). ') 1 верста сцщржкт ЭЮ сщкеи. положения то щн ыл пгямом $6 $4 янллйтическап гвоыптаия пл пзямап 7 — $6 $$2$ у» Составить формулу, определяющую температуру в тря дусах $(ельсия, если измерение произведено термометром Реомюра. При меч виве На шювве Реомюра 0' отмечена температура таяния льда н 30' — температура кипения воды.

8. Камазы будут координаты точек: А(+6). В(+2), С(0). $?( — 2), Е( — 7) и М(к) после тога, как начало коорлинвт бУдет пеРеиесено: 1) в точкУ О,(+3); 2) в точкУОю( — 5)2 9. В какую тачку нужно перенести начало координат. чтобы точка А(+7) получила новую координату х' = — $2 10. Проверка термометра обнаружила, что ртуть поднимается ио +96' при измерении температуры кипения волы и опускается только да +1' при измерении температуры чзвивя льда. Как вычислять истинную температуру в' градусах $1ельсня.

пользуясь показаниями этого тернометрау $$. Как преобразовать систему коарлииат, чтобы все мчки, координаты которых х ~ — 7. получнлн положительные координаты. а все точки, для которьщ х ~ — 7. получили координаты отрицательные2 12. Преобразовать систему координат так, чтобы точка А(+5) сохранила сеою координату,'а точки, симметричные по отношению к ней, обменялись своими коордннатамн. 18. Какое пранзаелено преобразование кооршпшт. если первоначальная координата х любой тачки прямой связана с новой координатой х' тай же мчкн мним зш слелующих равенств: 1) х=бх*; а) х= — х +б; 2 2) х= — зх', 6) «=пх'; 3) х=2х' — 1; Ч) х=х»+л; 4) х= — х'+3; 8) х=пх'+а2 $4. Преобразовать систему координат.

так; чтобы чачни, имевшие координаты +3 к +7, получплн новые коорди паты +2 н — 6. $6. Прк измерении длины бруска деление основной линейки. соответствующее 57 сдц совпало с четвертым деле пнем маниуса. Опрцпвлвть длину бруска (рис. 8). Примечаине. При измерении дпии, которве точно не выра жаются в целых единицах осваивай линейки, употребаается асио могатеаьнвя линейка — нониус. Наииус мрнставаяетея к нзмераемсвш предмету так, чгобм состааять его продолжение.

Даава иоииуса равна деватк единицам осмжаой ланевющ разделен он иа $6 равных частей. 16. Найти величины отрезков. определяемых точками А( — 2) н В(+5): С(+3) н $)( — 8); Е( — 1) и Р( — 4); 0(0) н О(+6); О(+6) н О(0); К( — 3) и О(0); М( — 5) и И( — 2). (Первая точке обозначает начала отрезка, вторая — его конец.) 17. Найти 'координату точки Р, зная расстояние ее от данной точки Я. Пусть. например: $) $;г(+2). и Щ =- 6$ 3) ()(-3) н $)Р= — $; 2) а( — 7) и Ра=+2; 4) а(+1) п ар=+6. $7в. Кслп лапы любые трн точки А. В и С на прямой, то цезавнсимо от их взаимного расположения между величинами отрезков существует' соотношение: АВ+ ВС = АС.

Проверить справедливость етого равенства дпя точек: $) А( — 3). В(+5) п С(+12); 2) А(+4), В(+1) н С(+6); 3) А(+3). В( — 7) н С( — 2); 4) А(«$), В(хв) и С(хв). 16» Данн три' маки: А( — 1), В(+5), С(+3). Определить отношение, в комрам кшяпдя из этих точек делит отрезок межлу двумя другимн. 19. Найти точку М. делящую отрезок между точками А( — 1.5) и В(+7,5) в отношении Л, причем Л принимает значение 1; 4; — 2,5; 0; -1.

20. Найти координату точки В, зная, что точка С( — х) делит отрезок между А(+3,5) н В(х) в отношении Л=з/ю. 2$. Даны три точки; А( — 3), В(+1) н С(+2). Найти к каждой нз них четвертую гармоническую по отношению к двум остальным. ь-р- ~р Рис 1О. Р Н. 16 лнллнтичискля гяомвтвня нл пвямоп яя-йй 22. Стержень рычага развален на сантиметры н милли метры. В.,точках. соответствующях делениям 23.7 н 74.3 слг.

полвешевы грузы в 330 и 476 а. Опрелелить точку стержня, пол которую пало полвести опору, чтобы рычаг находился в равновесии. 23. Горизонтальная балка длиной в 3 м н весом в 80 ка свободно лежит своими концами на двух неподвижных опорах А и В (рис. 9). Нв каком расстоянии от конца А нужно поместить груз в 200 ка, чтобы давление на опору В было равно 110 кг? 24. Стержень лляной в 60 см подвешен ва концы ив двух веревках.

Одна иа втих веревок не может выдержать натяжения. превышающего 20 кг. На каком расстоянии от соответствующего конца стержня можно прикреппть к нему грув в 96 кг? 26. На прямой ланы дее точкм А в В. поторые разбивают ее на три части: отрезок Ас), луч, ндущий вправо от В, и луч. идущий влево от.А. На той же' прямой дана'подвижная точка М, делящая отрезок АЗ в отношении Х. Исследовать. как меняетсв 1, когда М перемещается между А и Ю. когда М совпадает с одной из втих точек. когда неограниченно удаляется вправо от В или влево от А.

ЧАСТЬ'ВТОРАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОВ)ЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ГЛАВА П КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ. ОСНОВНЫЕ ФОРА)УЛЫ 1. Прямоугольные координаты. Графики Положение точки на шюскоств оирелеаяетса проще всего ио отношению и таз называемой прямоугольной декартовой системе,. координат, которую мы усгаковнм следующим обрезаю 1) выберем дзе взавмио вернеилияулярные прямые-дае осн кщтрдаяаж ось к, нлв ось абсцисс, и ось у, вая ось ординат (ряс. 103;, точка их пересечешщ О назывштса иачааом воордкиат; 2) на каждой кз осей координат выберем положнтвлькое направлению 3)дзя каждой,.осн выберем единицу длины (на рвс. 10 дла обеих осей взята олив н та же влишща с РО).

Половевие точки М относвтелыю выбранной системы ююрюм ВМ ОА иат определяется двумя коорднватыас абсциссой к =— РЯ РЦ Рй лиллитичпсклп тпоыктрип кд плоскости Ам От) и орлющцой у = — = р ° Абсцщчв л асть Рассжщнне точки М РО ()' ег оеи ординат, взятое со знаком, плюс плн ющус в аависпмостн оттого, находится лк точка, М вправо иля влево от'нее. Ордипата у равна расстоянию точки М от оси абсцисс, юятому со анаюм пжос нли минус, смотря по тому, иаюдктся ли точка сверху нлн снизу от оси абсцисс. На рис.