Ландо, Шейнман (ред.) - Фундаментальная математика сегодня - 2003, страница 11

Ма1Ь. 515.(!999), 97-123 30. уовЫо(юа К., Ал аррйсайол о/ ексерйола! Ьилюйез !о Ме тою(ийо/ зюаЬ!е зИеанез ол а КЗ зиг/асе, 12 радев, а|д-даат/9705027 1идереибед 1)ийетвбу о1 Мовсочю Е-юла|1: ююекЬгвбьбе1еаа Апвьв. ки. зекЬ1вевсспе. ги А.М. Вершик Случайные и универсальные метрические пространства Аннотация Мы определяем иодель множества всех польских (»» сепарабельных полных метрических) пространств, а именно, конус Я, матриц расстояний, и рассматриваем геоиетрнческне н вероятноагные задачи, связанные с этны объектом.

Вводится понятие универсальной матрицы расстояний и доказывается, что множество таких иатриц ЕСТЬ ВСЮду ПЛОТНОЕ Ггз МНОжЕСтВО В СЛабай ТОПОЛОГИИ КОНуеа то, а также, что универсальность матрицы расстояний есть необходимое н достаточное условие иа матрицу расстояний счйпюго всюду плотного подмножества универсального метрического пространства, которое было определено П. С.

Урысоном в 1924 году в его последней работе. Это означает, что пространство Урисона является типичным в множестве всвк аольскик пространств. Затем рассматриваются метрические пространства с мерой (метрические тройки) н определяется нх полный инвариант относительно изометрий, сохраняющих меру, так называемое матричное распределение. Мы даем внутреннюю характернзаиию множества матричных распределений как вероятностных мер нр пространстве матрнц и, с помощью эргоднческих теорем, доказываем новым способом «теорему реконструкции» Громова. Дается естественная конструкция широкого класса мер на Я, для которых с ввроятостью единица матрица расстояний порождает пространство Урысона. Имеется тесная связь этих вопросов с метрической классификацией измеримых функций нескольких арнгументов и классификацией действий бесконечной сииметрической группы ((4, 8)).

Частнчно поддержано РФФИ. грант 02-01-00093, н СггОГ, грант ((З4!-2244. А. М, Вершик $1: Введение: конус Я, матРиц расстояний как множество всех оснащенных польских пространств Рассмотрим множество всех бесконечных вещественных матриц вида К = (гг = (ггу) ;'. 1.' гм = О, ггй > О, ггй = грь г; ь + гэ„> гць для й у, й = 1, 2, ... ). Будем называть элементы множества И матрицами расстояний. Каждая матрица расстояний определяет полуметрнку иа множестве натуральных чисел 1ч (мы допускаем нули вне главной диагонали; если их нет, то матрица называется собственной матрицей расстояний).

Множество гс всех матриц расстояний есть слабо замкнутый выпуклый конус в вещественном векторном пространстве матриц Ма(и((й) = Ин, снабженном обычной слабой топологией.Мы будем называть этот конус конусом матриц расстояний и рассматривать его в слабой топологии. Подмножество собственных матриц расстояний есть открытый слабо плотный подконус в Я.. Если матрица расстояний г собственная, то пополнение метрического пространства ()ч(, г) есть полное сепарабельное метрическое (= польское) пространство (Х„р,), оснащенное счетным всюду плотным вполне упорядоченным подмножеством (х~),'ч,, которое суть образ множества натуральных чисел в пополнении.

Произвольная матрица расстояний (с возможными нулями вне главной диагонали) определяет полуметрику на натуральном ряде, в этом случае пополнение строится после предварительной факторизации по разбиению на классы точек с нулевым расстоянием. Например, нулевой матрице отвечает одноточечное метрическое пространство, поэтому, конечные метрические пространства также включаются в наше рассмотрение. Предположим теперь, что имеется польское пространство (Х, р), оснащенное счйгным всюду плотным вполне упорядоченным подмножеством (х;) ~ в нем.

Собственная матрица расстояний г = (гы) Е Я., где г;з = р(х;, х1), 1,( = !..., определяет метрику на натуральном ряде. Очевидно, эта матрица, подобно матрице структурных констант в алгебраической ситуации, содержит всю информацию об исходном метрическом пространстве (Х, р), которое может быть получено как пополнение натурального ряда по метрике г. Всякое инвариантное свойство метрического пространства (топологическое, гомологическое и т.д.) может быть высказано в терминах матрицы расстояний любого счетного всюду плотного множества. Случайные и униве сальные мет ические пространства Мы можем рассматривать конус И как пространство, расслоенное над базой — множеством всех инднвидульных польских пространств (заметим для дальнейшего, что в силу универсальности пространства Урысона (см.

далее), — можно считать, что в качестве базы расслоения можно рассматривать совокупность всех замкнутых подмножеств этого пространства), при этом слой над данным пространством есть множество всех его счетных упорядоченных всюду плотных подмножеств. Таким образом, конус И становится универсумом польских пространств, и мы будем изучать свойства этих пространств и всю их совокупность с помощью этого конуса. Возникает естественный вопрос: какие матрицы расстояний и, тем самым, какие метрические пространства являются «типичными» в смысле топологий конуса Я. Один из главных результатов работы (теорема 1, $3) обобщает результат Урысона и утверждает, что лросгпранслгво Урысона является тиличныл, т.е.

соответствующие матрицы расстояний образуют всюду плотное бз множество. Основное понятие здесь — универсальная матрица расстояний. Пример такой матрицы неявно использовался Урысоном в его пионерской работе для доказательства существования универсального пространства. Мы даем новую версию этого результата и новое доказательство существования такой матрицы и, тем самым, существования универсального пространства — основного результата работы [3] ($3).

Групповая формулировка понятия универсальности дана в Утверждении 1 ($3). По поводу построения пространства Урысона см. [13], а также работы [2, 14, 15, 16]. Замечу попутно, что тот факт, что работа ]3] выпала на 70 лет из поля зрения математиков и, в первую очередь, топологов, и не упоминалась нигде, насколько я знаю, до 80-х гг., а ее конструкция не вошла ни в одну (из мне известных) монографий по теоретико-.множественной топологии, — трудно объясним.

Рассмотрим разбиение С конуса й иа классы эквивалентности матриц расстояний, порождающих изометричныЕ пополнения натурального ряда. Фактор-пространство по этому разбиению есть пространство классов,изометричных польских пространств. Но, как предположено в [4] и доказано недавно в [!], это фактор-пространство не имеет хорошей борелевской структуры (не является «гладким») и проблема длассификации польских пространств с точностью до изометрий — «дикая»; в то же время ограниченная проблема — классификации компактных метрических пространств — является гладкой (см. [2]). Удивительным образом, гладкой является и другая классификация — всех польских пространств с борелевской вероятностной мерой (классификация метрических троек) с точностьюдо изометрий, сохраняющих меру, см.[2, 4];мы рассматриваем ее подробно в $4, где детально описываем полный метрический инвариант А.

М. Вершик эквивалентности — «матричное распределение». Полнота инварианта по существу эквивалентна теореме реконструкции Громова [2], но доказывается она здесь с помощью эргодической теоремы. Для завершения классификации мы описываем далее в $4, какие в точности меры на пространстве матриц расстояний )т. могут быть матричными распределениями.

$ 2 посвящен элементарной геометрии конуса й., она используется далее, особенно в $5, в котором мы с помощью некоторого общего метода, строим различные конкретные примеры вероятностных мер на конусе. Этн меры на множестве матриц расстояния есть случайные метрики на множхестве натуральных чисел. Тем самым, мы конструируем «случайное» метрическое пространство как результат пополнения множества натуральных чисел по случайной метрике с помощью естественной индуктивной процедуры. Почти все матрицы расстояний по этим мерам являются универсальными в смысле Э 3, и поэтому с вероятностью 1 они порождают опять пространство Урысона.

Можно сказать, что в естественном смысле случайное пространство есть универсальное пространство ([17]). Одни из аналогов такого утверждения известен в теории графов, это теорема Эрдеша — Репьи (см. [5, 6]). Результат нашей работы о топологической (Теорема 1) и вероятностной (Теорема 7) типичности пространства Урысона аналогичен более простому результату [5[ о том, что случайный граф с вероятностью 1 есть универсальный граф (см. $5). По-видимому, это совпадение имеет месю и в других категориях.

В качестве сходных фактов назовем универсальность симплекса Полсена (Роц(зеп) см. [18], и банахова пространства Гурария [19] (сообщено У. Веп!аппп!), а также существование универсальной в классе всех конечных групп однородной группы Холла и др. Много вопросов о свойствах пространства Урысона остаются открытыми; неясно, стягиваемо ли оно, а главное, пока нет удобной его модели. Основным вопросом является также построение естественных вероятностных мер на этом пространстве. Обратим еще внимание на необходимость изучения группы всех изометрий пространства Урысона (см.

также [15, 15]). Мы вернемся к обсуждению этих вопросов в другом месте. $2. Геометрия и топология конуса Я, 2.1. Выпуклая структура Аналогично определению конуса Е можно определить конечномерные конусы Е„матриц расстояний порядка л. Конус Я,„есть полиэдральный Случайные и универсальные метрические пространства конус, лежащий внутри положительного октанта пространства матриц Ма1„(К) = К" . Определим подпространство М'„[К) азМ*„ пространства симметрических матриц, состоящее из симметрических матриц с нулями на главной диагонали. Конус содержится в этом пространстве, Я„С М'„, причем это пространство матриц„очевидно, есть линейная оболочка конуса: арап(Яч) = М „ так как внутренность конуса Я„ непуста. Ясно, что арап(И) с Мн, где Мн пространство всех вещественных симметрических матриц с нулями на главной диагонали; геометрия конуса Я весьма нетривиальна.