А.Н. Матвеев - Молекулярная физика, страница 8

Дисперсия. «Разброс» величины около ее среднего значения характеризуется дисперсией. Она определяется 1 2. Математические понятия Ю средним квадратом отклонения рассматриваемой величины от ее среднего значения и задается формулой ат = ((х — (х2)т) =- (~хт — 2х (х) + ((х))т]'т = (хт) — ((ху)т (2.19а) Корень квадратный из дисперсии называется стандартным или среднеквадратичным отклонением.

С учетом (2.17) и (2.18) формула (2.19а) может быть расписана более подробно: а) для дискрепюй случайной величипы (2.19б) б) для непрерывной случайной величины (2.19в) Функция распределения вероятностей. Вероятность того, что случайная величина х принимает значения, меньшие некоторого заданного числа х„т. е. х < хе„задается формулой (220) Определяемая в (2.20) функция г (хе) называется функцией распределения вероятностей. Для непрерывно изменяющейся величины функция распределения вероятностей в соответствии с (2.20) выражается через плотность вероятности 2'(х) формулой (2.21) Из (2.21) следует, что Ях) = ог" (х)!дх.

(2.22) С помощью этой формулы выражения, в которые входит )(х)с)х, могут быть переписаны с учетом оГ(х) =)(х)с)х. Например, формула (2.18) может быть представлена в виде (2.23) (х) = ) хс(Е(х). О 30 !. Стктнсзическнй метод С учетом (2.20) и (2.21) вероятность того, что случайная величина х принимает значение, лежащее в интервале х, < х < хз, выражается формулой У(х, < х < хз) = )?(х)дх = ) с(Г(х) = Г(хз) — г (х,). (2.24) зз х, Пример 2Л В урне имеется л = 30 черных и ул = 10 белых шаров, в остальном идентичных между собой. Шары хорошо перемешаны.

Найти вероятности У(ч) и У(б) извлечения черного и белого шаров из ящика при одном испытании. Проверить выполнение условия нормировки. Найти вероятности последовательного извлечения двух черных„двух белых, черного и белого, белого и черного шаров, если после первого испытания извлеченный шар возвращается в урну и если он не возвращается. Поскольку какие-либо обетов?епьства, обеспечивающие предпочтительные условия извлечения какого-либо конкретного шара (белого или черного), отсутствуют, вероятность извлечения при испытании для всех шаров одинакова и равна 1??(и+аз). Следовательно, по формуле сложения вероятность извлечения при испытании какого-либо черного шара равна У(ч) = 1?з(п + Уп) + 1з?(л + лз) + ...

+ 1з?(п + и?) = л7(п + т) = 0,75. (2.25а) Аналогично, вероятное?ь извлечения белого шара У(б) = пь?(и + пз) = 0,25. (2.25б) Поскольку эти два события составляют полный набор всех возможных исходов испытания, они должны удовлетворять условию нормировки вероятности. Проверка этого обстоятельства служит одновременно проверкой правильности проведенного расчета: У(ч) + У(б) = л?з(п + уп) + пз?(и + т) = 1. (2.25в) гели производится последовательное извлечение двух шаров, то возможных исходов событий четыре: белый — белый (бб), черный — черный (чч), белый — черный (бч), черный — белый (чб), Поскольку эти четыре исхода составляют полный набор возможных исходов, их вероятности должны удовлетворять условию нормировки У(бб) + У(чч) + У(бч) + У(чб) = 1.

(2.26) 1. Дайте определение вероятности. Х Какое свойство соыжупности событий делает вопюжнын нормировку вероятности? 3. Каков смысл величины, отличающей формулу сложения вероятностей в общем случае от формулы для взаимно исключающик событий? 4. Зависит ли среднее значение от переменной, по которой производится усреднениез Приведите примеры, подтверждающие ващ ответ. а Что такое стандартное аткленение и чтп оно каравтеризуетз 1 2. Математические понятия 31 Если после первого испытания извлеченный шар возвращается в урну, то вероятность извлечения шара определенного цвета при втором испытании такая же, как и при первом. Следовательно, ,Ук (б) = Уя (б) = п/(и + т) = 0,75; У (ч) = Уя (ч) = т/(и + т) = 0,25. (2.27) Вероятность исхода второго испытания не зависит от результата первого испытания, т.е.

события первого и второго испытания независимы. Поэтому для вероятности исхода двух последовательных испытаний по формуле умножения вероятностей получаем: У(бб) = У, (б)Уз(б) = [п/(и + т)]' = 0 5625; У(чч) = У (ч) Уя (ч) = [т/(п+ т)]' = 00625; У(бч) = У,(б)уз(ч) = [п/(п+ т)] [т/(и+ и)] = 0,1875; У(чб) = У, (ч) Уз (б) = [е/(п + т)] [и/(п + т)] = 0,1875, Условие нормировки имеет внл п+т ) ( и+т ) (п+т) (п+т) Если после первого испытания извлеченный шар не возвращается в урну, то результат второго испытания зависит от того, что произошло при первом испытании, т.е. во втором испытании мы имеем дело с условной вероятностью. При первом испытании вероятности извлечения белого и черного шаров, так же как и в предыдущем случае, задаются формулами (225а) и (2.25б).

При втором испытании условия изменяются. Если в первом испытании был извлечен белый шар, то вероятность извлечения белого шара при втором испытании Уз(б/б) = (п — 1)/(п + т — 1) = 0,744, (2.28) поскольку при втором испытании в урне находится всего и+ т — 1 шаров и из них п — 1 белых. Аналогично, условные вероятности других исходов второго испытания задаются формулами Уя(ч/ч) = (т — 1)/(п+ т.— 1) = 0310; Уя(б/ч) = п/(п+ т — 1) = 0,769; Уз(ч/б) = = е/(п + т — 1) = 0,256. Условные вероятности при втором испытании не удовлетворяют условию нормировки, потому что соответствующие события не являются взаимно исключаюпшми. Например, белый шар может быть вынут как после черного шара, так и после белого, и т. д. Вероятность того, что будет последовательно вынуто два белых шара, в соответствии с формулой (2.11) равна У(бб) = У, (б)уз(б/б) = — = 075.0744 = 0,558.

и+е и+т — 1 Аналогично, у(чч) = у, (ч) у, (ч,'ч) = [т/(и + т)] [(т — 1)/(п + т — 1)] = 0,25. 0,310 = 0,0775; у(бч) = у (б) .у (ч/б) = [п/(и + т)] [т/(и + т — !)] = 6,75 0,256 = 0,192; у(чб) = у ( ) у (б/ч) = [т/(п + и)] [п/(п + т — 1)] = 0,25. 0,769 = 0„192. 32 1. Статистический метод Совокупность событий двух испытаний составляет полную систему взаимно исюпочающих друг друга событий и должна удовлетворять условию нормировки.

Проверим это: и (и — 1) т(т — 1) ит ии + + + — = 1. (и + т) (и + т — 1) (и + т) (и + т — 1) (и + т) (и + т — 1) (и + т) (и + т — 1) Тем самым проверено также, что в расчете учтены все возможные исходы двух испытаний. Проверкой правильности числовых вычислений может служить. равенство единице суммы вероятностей отдельных испытаний: 0,558+ 0,0775+ 0,192+ 0,192 = 1,0195. В пределах принятой при расчетах точности этот результат подтверждает правильность числовых значений для вероятностей отдельных исходов испытаний. Поскольку белых шаров в урне примерно в три раза больше, чем черных, вероятность событий, когда из двух извлеченных шаров хотя бы один белый, существенно больше вероятности события, когда белый шар не извлекается, т.

е. извлекаются два черных шара. Почти в 6(У)', случаев будут извлечены два белых шара и почти в 40гг, случаев — черный и белый. Два черных шара будут извлечены меньше чем в одном из десяти случаев. Пример 2.2. Многолетние наблюдения погоды в некоторой местности показали, что 20;~; дней в ноябре погода безоблачная, а в 20г„' облачных дней идет дождь. Определить, сколько процентов в ноябре составляют дни, когда идет дождь, и какова вероятность того, что некоторый наперед заданный день дождлив? Вероятность У(б) безоблачного дня равна 0,2. Следовательно, вероятность облачного дня равна У(о) = 1 — У(б) =0,8.

Дождливыми могут быть только облачные дни„поэтому вероятность дождливого 11ня в условии задачи является условной. Вероятность, что день дождливый, при условии, что он облачный, есть У(д/о) =0,2. Вероятность, что день дождливый, при условии, что он безоблачный, У(д/б) = О. Поэтому вероятность того, что день дождливый, по формуле умножения вероятностей равна У(ол) = У(о) У(д/о) = 0,8 0 2 = 0,16, т.е. дождливые дни в ноябре в этой местности составляют 16/ всех дней. ° 1 Мы не можен наблюдать микроскопическое состояние системы многия частиц по ген же прмчинан, по которым невозножно динамическое описание ик движения. ген более мы не в состоянии следить эа изменением мнкраскопнческнк состояний.

Как же доказать, что они существуют и иэненяются1 Мы можем наблюдать н нзнерлть различные паранетры, карактернзующне состояние отдельнык частиц, и ик вэаннодействие с системой в цепом. Отсюда делаетсв заключение о существовании никрасостояния системы частиц н об изменении мнкросостояннй. 3 3. Макроскопичсскос и микроскопическое состояния системы 33 Мвкросконичеслое и микроскопическое состояния системы Дается опрслсдснис макроскопического и микроскопического состояиий системы и анализируется соотношение между ними. Анализируется понятие статистического ансамбля систем и описываезся микрокаиоиичсский аасамбль Определение системы.

Системой называется конечнак область пространства с находящимися в ней физическими объектами исследования. Граница системы может быть как материальной (например, стенка сосуда), так и воображаемой, проведенной в пространстве мысленно. Она может быть неподвижной или движущейся. Граница может быть проницаемой или непроницаемой длк вещества, через нее либо невозможен, либо возможен транспорт энергии, причем в последнем случае она классифицируется по формам энергии, которые через нее могут транспортироваться. Система характеризуется не только особенностями своей границы, но и физическими или химическими свойствами вещества, находящегося в занимаемой системой области пространства.