А.Н. Матвеев - Молекулярная физика, страница 6

Этим занимается теория вероятностей. Случайные величины. В идеальном газе координаты и скорости отдельных молекул в некоторый момент времени не могут приниматься за числа, точное значение которых можно заранее предсказать, Они являются случайными величинами. Закономерности, связанные со случайными величинами, изучаются теорией вероятности и математической статистикой. Вероятность. В науке и практике исследуется громадное разнообразие случайных событий, но наиболее общий результат изучения всегда формулируется в одном и том же виде: событие либо произошло, либо не произошло.

Задача теории по предсказанию случайных событий сводится к нахождению количественной характеристики этих возможностей «либо... либо» и осуществляется с помощью понятия вероятности. 20 1. Статистический метод Частотное определе|ее вероятности. Разделим объем, который занят идеальным газом, на две равные части. Будем считать, что мы можем различать частицы друг от друга и следить за положением отдельной частицы, не оказывая актом наблюдения существенного влияния на ее движение и состояние наблюдаемой системы в целом.

Допустим, что система находится в неизменных внешних условиях. Рассмотрим событие, состоящее в том, что изучаемая частица находится в одной из половин объема. Тогда результат каждого наблюдения сводится к утверждению, что событие либо произошло, т. е. частица находится в данной половине объема, либо не произошло, т. е.

ее в этой половине нет. Обозначим: Ж вЂ” общее число наблюдений или «испытаний»; Ƅ— число испытаний, когда событие произошло, т. е. частица находилась в рассматриваемой половине объема; А — само событие. Вероятность наступления события А определяется формулой (2.1) Здесь существенно очень большое ()т'-+ со) число испытаний в системе, находящейся в неизменных условиях, Вместо требования испытаний над одной и той же системой в неизменных условиях можно говорить о совокупности отдельных испытаний иад болыпим числом одинаковых систем. Это большое число одинаковых систем называется ансамблем систем. Поэтому в формуле (2.1) число М„является числом систем в ансамбле, в которых частица оказалась в данной половине объема, а М вЂ” общее число систем в ансамбле.

Конечно, оба эти определения совершенно эквивалентны. Однако при теоретическом вычислении вероятное~ей в конкретных условиях одно из них может оказаться более удобным, чем другое. Если произвести достаточно большое число испытаний, то вычисление вероятностей по формуле (2Л) является простой математической операцией.

Но если с помощью этой формулы попытаться теоретически вычислить вероятность некоторого события, то дело оказывается очень сложным, потому что не ясно, как предсказать число испытаний й ж в которых это событие произойдет. Однако именно к этому и сводится задача при изучении тех или иных процессов, описываемых вероятностью. Часто при рассмотрении таких задач помогает комбинаторика. С ее помощью «подсчитывают» факторы, «благоприятствующие» наступлению некоторого события в ряду всех событий. При этом исходным является интуитивное понятие о равновозможных ° Вопрос о тон, пачену из двух равмовероятмых событий осуществляется в данном зкспериненте одно,а ме другое, не инеет сныгла.

В средние века обсуждалась такая проблема Перед глазами осла («буриданов осел») абсолютно симметрично расположены две соверщенно одинаковые порции сена. так что нет обстоятельств, которые заставили бы оспа предпочесть одну порцию сема другой. Что произойдет с аслану Некоторые утверждали, что осел упрет с голоду.

Осел с такой логикой ме согласен. Наука тоже. 1 2. Математические понятия 21 событиях, математическим выражением которого является просто утверждение о равной частоте их появления, что иногда позволяет вычислить число Аи в формуле (2.1) и тем самым определить вероятность. Этот метод будет неоднократно применяться в последуюшем. А сейчас проиллюстрируем его на самых элементарных примерах. В случае движения частицы в объеме, мысленно разделенном на две равные части, нет никаких физических факторов, которые делали бы для частицы более предпочтительным нахождение в какой-либо одной из половин объема по сравнению с другой. Поэтому нахождение в каждой из половин является равновозможным н равновозможно обнаружить частицу в любой половине объема прн каждом данном наблюдении или испытании.

Поэтому прн большом числе наблюдений Х в половине случаев частица будет наблюдаться в одной части объема, а в половине — в другой, и, следовательно, Ф„= Х/2, а У(А) = 1/2. Аналогичные соображения можно применить к анализу бросания монеты и выпадению «орла», бросанию костей и т. д. Во всех случаях вопрос сводится к подсчету равновозможных результатов испытаний.

Поэтому вычисление вероятности по формуле (2.1) с помошью комбинаторных методов производится следующим образом: если испытание может приводить к А' равновозможным исходам и из этих Ж исходов А» раз наступило событие А, то его вероятность дается формулой (2.1). Например, в случае бросания шестигранных костей, на гранях которых нанесены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, равновозможнымн исходами при Х бросаниях кости является наличие на верхней грани любого из этих чисел. В Х/6 исходах имеет место, например, появление числа 1. Следовательно, лля этого события И, = Х/6 и вероятность У(1) = 1!6. Аналогично вычисляются вероятности появления двойки, тройки и т. д.: У(1) = У(2) = ...

= У(6) = 1!6. Отметим, что в этом случае статистической системой является отдельная кость, а ансамблем — совокупность М одинаковых костей. Плотность вероятности. Если событие характеризуется непрерывно изменяющимися величинами, то определение вероятности с помощью формулы (2.1) лишено смысла. Например, лишено смысла спрашивать, какова вероятность того, что скорость частицы равна 10 м/с. Это обусловлено тем, что «число» всех возможных скоростей не может быть сосчитано, поскольку скорость — непрерывная величина.

Множество событий в этом случае не является счетным, и их вероятностное описание осушествляется с помощью плотности вероятности. Представим себе замкнутый сосуд с газом, находящийся в неизменных внешних условиях. Молекулы газа беспорхдочно движутся в сосуде, хотя это, конечно, не означает, что все части объема сосуда для них равнозначны. Например, если сосуд находится в поле тяжести, нижние части сосуда для молекул более «предпочтительны», чем верхние, но тем не менее молекулы находятся во всех частях объема.

Допустим, что некоторым способом мы можем определять местоположение в пространстве какой-то выделенной среди других молекулы, не возмущая ее лвиження и не изменяя ее местоположения актом измерения. При различных актах наблюдения молекула оказывается в различных точках. Разделим все пространство, в том числе и вне объема сосуда, на небольшие объемы Л$;.. Очевидно, что число таких объемов бесконечно (1= 1, 2, ...). Число актов наблюдения обозначим Ж. При каждом акте молекула окажется обнаруженной в каком-то объеме Л$'е 22 1.

Статистический метод Пусть при М актах наблюдения (й!-+ оо) молекула обнаружена Ьг; раз в объеме Ь1;. Тогда в соответствии с определением (2.1) вероятность обнаружения молекул в объеме Ь)г; при очередном наблюдении Жг У(Ь$;) = ~пп — '. Если речь идет о замкнутом сосуде, то во всех объемах Ь)г вне сосуда молекула не была обнаружена ни разу, т.е. Ьг~ — — О для этих объемов н вероятность обнаружения молекул в объемах вне сосуда У(Ь$Я = О.

Внутри сосуда эта вероятность, вообще говоря, отлична от нуля и даже при равных объемах ЬК не постоянна. Например, если сосуд находится в поле тяжести, то эта вероятность у дна сосуда оказывается несколько большей, чем в его верхней части. Эта вероятность зависит, однако, от объема ЬГ и поэтому неудобна для использования в качестве первоначального понятия. Поэтому пользуются понятием плотности вероятности, определяемой равенством (2.2а) где х, у, г — координаты точки, к которой стягивается бесконечно малый объем Ь)о Таким образом, плотность вероятности является вероятностью нахождения молекулы в бесконечно малом объеме, отнесенной к величине объема, т.е. она определяется так же, как другие «плотности», например плотность массы р = !пп (Ьгл(Ь Р).

Аиа- ог о логично (2.2а) можно определить плотность вероятности на двумерном многообразии (поверхность), одномерном или многомерном с числом измерений более трех. Из (2.2а) следует„что если произвести Мо наблюдений, то в объеме г)$' в окрестности точки (х, у, г) молекула будет обнаружена в г(Ь' = ЖоХ(х, у, г) ЙР= Ь!о3 (х, у, г) дх ду йг случаях. В конечном объеме (г, молекула окажется обнаруженной Ж(Ф'г) = Фо ),((х, у, г)ах<(удг ° Признание случайного характера событий не означает отсутствия причинной взаиносвязи между инин. Причинная взаиносвязь собгмтий универсальна, а характер детерннннрованностн пожег быть различньж, в частности детернмнированность может быть лигаь статистической.