А.Н. Матвеев - Молекулярная физика, страница 7

Случайный карактер событий не означает их неуправляемости и бесконтрольности. Чтобы повысить гиансы выиграть в лотерее, надо закупить побопыпе билетов. Возможность воздействия ма случайные события давно была выражена поговоркой: «На бога надейся, но сан ме нломзайя. 5 2. Математические понятия 23 раз. Отсюда следует, что вероятность У(У,) быть обнаруженной при наблюдении в объеме 1', для молекулы равна .р($',) = = ~)(х, у, з)е)хайя. Ж(1',) )це и, Таким образом, знание плотности вероятности позволяет найти вероятность для любой области, в которой определена плотность.

Для газа в замкнутом сосуде плотность вероятности в точках вне сосуда равна нулю. Если в качестве 1; взять все пространство 1', — со, то при каждом испьпании частица окажется в какой-то точке пространства и, следовательно, число наблюдений часпщы в объеме Е, — со равно числу испытаний Хе, т. е. )У()', — сс) =Же. Для вероятности нахохедения частицы в объеме й', -+ со (т. е.

в какой-то точке пространства) х(У1 - ео) = )у(Г, ~ ео) — =1 = ) Лх,у,г)<3хбубя. Условие (2.26) "азываетси условием нормировки плотности вероятности. Оно показывает, что прн кажлом наблюдении молекула будет обнаружена в какой-то точке пространства, т. е. выражает факт существования молекулы. Если известно, что молекула находится в замкнутом объеме )т, ограниченном стеаками сосуда, то условие нормировки принимает вид Допустим, что нет факторов, которые делали бы для молекул неравноценными различные области внутри сосуда. Например, сосуд находится при определенной температуре в инерциальной системе координат (т.

е. полей тяготения нет). В этом случае очевидно, что плотность вероятности равна постоянной величине: ур = сопзб Ее значение находится из условия нормировки Следовательно, плотность вероятности в этом случае 1е= 1%; Если теперь взять объем 1',, составляющий часть объема и', то при Же наблюдениях молекула будет обнаружена в этом объеме )у(у,) =1ч, ( 1;ау=л,— ( и =)у,— ' 24 1.

Статистический метод раз. Поэтому вероятность обнаружения молекулы в объ- еме 1; равна У( у) = (яя~(Юуяяо3 = )яу н. (2.2в) Эта формула справедлива лишь при постоянной плотности вероятности внутри объема (Уи если известно, что молекула наверняка находится в этом объеме. Однако ввиду наглядности удобно с ее помощью иллюстрировать общие теоремы теории вероятности. Строгое доказательство теорем будет проводиться на основе общего определения вероятности (2.1), Сложение вероятностей взаимно исключаницих событий.

Пуси имеются два события, взаимно исключающие друг друга. Например, если в объеме 1'имеются два непересекающихся объема 1'а и 1а (рис. 1), то нахождение частицы в объеме $', исключает ее нахождение в объеме 1',. Следовательно, нахождение частицы в объеме )та и ее присутствие в объеме 1', являются взаимно исключающими событиями. Рассмотрим событие, заюпочающееся в том, что частица находится либо в объеме Р;, либо в объеме )~2. ВсрОятность этОГО сОбытия У(Ра + )яа) = = — + — = У(Ра) + У(РТ), (2 3) Таким образом, общая формула для сложения вероятностей взаимно исключающих событий А и В имеет вид Ь Континуаненая иняернратаиия иероятностен (2А) где У(А+ В) — вероятность того, что происходит либо событие А, либо событие В. Одновременное наступление событий А и В исключается, одновременное же отсутствие событий А и В допускается.

т.е. является суммой вероятностей нахождения частицы в объемах 1'а и 1',. Формула (2.3) выражает правило сложения вероятностей для взаимно исключающих друг друга событий. Применим это правило к бросанию костей. Выпадания на верхней грани чисел 1, 2, ... являются взаимно исключающими событиями. Поэтому вероятность того, что на верхней грани выпадет, например, либо 1, либо 2, равна У(1+ 2) = У(1) + У(2). 2. Математические понятия 25 Нормировка вероятности. Пусть известны все равновозможные исходы испытаний в данной системе, которые составляют в совокупности некоторое число различных взаимно исключающих событий (случаев), которые удобно нумеровать индексами т, 2, ..., и.

Обозначим М! число исходов испытаний, в которых осуществилось событие, обозначенное индексом й В соответствии с этим 2' ! + ~~~2 + + ~~ (2.5) Следовательно ,'à — ' = ,'у" У! = ( )уу! где У! = ЖеУЖ вЂ” вероятность 2-го события. Формула 'Г У! =1 =1 (2.6) 2 К опрелелению сложения ееронтнсстен и условной не- роятностн (2.7) где У(АВ) = М„~М (2В) называется условием нормировки вероятностей, Она утверждает, что рассматриваемая совокупность взаимно исключающих событий является полной, т.е.

каждый исход испытаний принадлежит этой совокупности. Сложение вероятностей в общем случае. Если условия таковы, что возможно одновременное наступление событий А и В, то формула (2А) для сложения вероятностей должна быть изменена. Пусть общее число испытаний Х. В исходах этих испытаний в Хл случаях наступило событие А, а в )»)и случаях — событие В. Во всех остальных исходах ни событие А, ни событие В не наступили. Однако среди случаев наступления событий Х„и Ма имеются такие, когда одновременно наступили и событие А, и событие В.

Обозначим число таких событий М„и. Эти исхОДы учитывались ДважДы: ОДин раз— вместе с событием А, а другой — вместе с событием В. Поэтому общее число событий А либо В равно 2У!лев = 2»!л+ ути !тли. Разделив обе части этого равенства на 22!', получим 26 1. Статистический метод — вероятность совместного наступления событий А и В. Если она равна нулю, т.е. события взаимно исключающие, то формула (2.7) переходит в (2.4). Особенно наглядный внд формула (2.7) принимает в случае континуальной интерпретации вероятности (см. (2.2в)(. Пусть области К и гт пересекаются (рнс.

2). Обозначим область нх пересечения )';2. Объем области, которая получилась в результате сложения 1', и 12, равен г1+ 12 — Р;2. Следовательно, вероятность того, что частица находится в этом объеме, равна 12+ тт )ы )'1 гт 112 У(11+ )'2) = Г р + У(1 1) + У(1 2) У( 12) где У($'12) = $'12/$' — вероятность нахождения частицы в области пересечения объемов. Условная веровтность. Вероятность наступления события А прн условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью наступления события А и обозначается У(А/В). Поскольку общее число исходов испытаний, при которых произошло событие В, равно Мв и из этого общего числа в Жив случаях произошло событие А, то У(А/В) = 1"/ив//Чв.

(2.9) Формулу (2.9) удобно преобразовать, разделив числитель и знаменатель правой части на 1т1: у(А/В) = 1тив/1т У(АВ) 11' /Ж У(В) (2.10) где У(АВ) — вероятность совместного наступления событий А и В, определенная (2.8). Выражение (2.10), переписанное в виде (2.11) называется формулой умножения вероятностей.

Неэавасимые события. События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них ие зависит от того, наступило или не наступило другое событие. Это означает, что если, например, событие А не зависит от события В, то У(А/В) = У(А). Для независимых событий формула (2.11) принимает вид У(АВ) = У(А) У(В), (2.12) При контннуальном определении вероятности условная вероятность У(1',/1'2) нахождения частицы в объеме 1; в случае, если она находится в объеме )12, сводится к вычислению вероятности нахождения частицы в объеме Р;2 в случае, если она находится в объеме )12, поэтому У(11/12) 112/12. (и'), (2.13) ео У(АВС) = У(А) У(В) У(С). (2.14) (2.15) (2.16) (х) = 2.Уззхз (2.17) Х Геометри некое значение ерелнето значения: площаль пол прямой <я», межлт ье и ., равна пло~палв пол ьрнвой Е(~) 1 2.

Математические понятия 27 Она часто применяется как для вычисления вероятности совместного наступления независимых событий, так и для проверки независимости исследуемых событий. Формула умножения вероятностей лли многих событий получается непосредственно из выражения (2.11). Например, вероятность одновременного наступления событий А, В, С задается выражением В случае независимых событий Это равенство выражает необходимое и достаточное условие независимости трех событий. Среднее значение дискретной случайной величины. Если случайная величина Х принимает ряд значений х„хьч ...

..., х„, то ее среднее значение определяется равенством Среди значений х, могут быть одинаковые, поэтому сумму по 1 в правой части (2.15) надо перегруппировать, чтобы в нее входили только разные х,: (х) = ,'~(Ж;/М)хл где зз1 = 2.ззел причем Мз — число одинаковых членов в сумме (2.15), имеющих одинаковое значение хл Так как ()Узттч) = У вЂ” вероятность того, что Х принимает значение хл то формулу (2.16) для среднего значения можно записать в виде Эта формула определяет математическое ожидание случайной величины с учетом вероятности. Среднее значение непрерывна изменяющейся величины.

Оно вычисляется по формуле, аналогичной (2.15). Пусть 28 Е Статистический метод ср(р) является функцией от г. Тогда ее среднее значение в интервале от го до г, задается формулой О к Х причем индекс у у угловых скобок, характернзуюшнх усреднение, показывает, по какой величине производится усреднение. Если необходимо указать интервал времени (р„р,), на котором находится среднее, то это также может быть указано в левой части равенства у знака среднеггл Однако в большинстве случаев усреднения переменная, по которой производится усреднение, хорошо известна и не обозначается соответствующими значками. Геометрическая интерпретация среднего значения (ори, указана на рис. 3.

Следует отметить, что среднее значение зависит от переменной, по которой производится усреднение. Например, при движении материальной точки по полуокружности ее среднее расстояние от диаметра будет различным (рнс. 4) при усреднении по пути вдоль полуокружности и прн усреднении по пути движения проекции этой точки по диаметру окружности: ка (ч)у, = — йа)п — сЬ = —, о Я (кзу = 2 ~ )/йз — хас)х = 4 Выражение (2Л7) обобщается для непрерывно изменяющейся случайной величины формулой а Среднее значение зааиснт от оерелленной усреднения (2Л в) где 1(х) — плотность вероятности распределения величины х.