Двайт - Таблицы интегралов и другие математические формулы, страница 8

в!и 2х В!и 3» в!и 4» 2 3 В х и — 2 (з!пх+ — + — -(- — + ...) Ып2» В!пзк в!Пчх 2 3 В [0<х<2тс]. 4 / 5!и Ъ в!и 5х Мп 7к х= — (в!пх — — + — — — + ...) п~ Зг 5В 7* [ — — ~ха.— ~ и' 4/ 005 Зх сов 5» сов 7х х= — — — (совх+ — + — + — + ...) 3' 5' 7' [0 ах<а] е с05 2» сов Зк сов Вх х =3 — 4(со~к + В + ° ° ) 2' ЗВ 45 [ — п~ х<п]. В,п' 3/ сов Зх сов бх х ='- — -(сов х — — + —— 4 и ~ 3» 55 сов 7х ) [ п п1 В!п 2х и!и Зх в!и Вх 12 (5!и х — + — — +...) 2$ ЗВ фа ( — п(х В-п].

в /1 С0525 СОВВ» Сове» пт2 ! 3 35 57 [ ",.:,: ",1. б !в!пяк 2 з со5 х = — ~ — + — 5!и 4»+ — 5!и бх+ ... п] !3 35 57, + ! ц (2 ! !! в!п2пк+ [О < х гг]. 2в!пап ( в!Пх 25!пЪ Зв!пзх з!и ах — 1 — —,+ —, и 1! — О* 2' — а' 3' — а' где а — не пелое число [ — гс < х<Я1. 2ав!пап ! ! совх с05Ъ сОВЗх сов ах.

12 е !В а Р~~ "ах Зг ОВ где а — не пелое число. [ — л ~х~л1. ,*=1+2(а сов 0+ а* сов 20+ а' соз 30+...) 1 — 2а сов В+ а' [а' «- Ц. ,=1+асовб-)-а'сов 20+а'со530+... ! — 2асов В+а' [а'< Ц. ,=в!пб+аз!п 20+ а'в!п30+ ... [а' Ц. !и (1 — 20 сов О+ а') = ак аз — 2 (асов О+ — сов 20+ — сов 30+... ) [а' < Ц, /сов В сов 25 сов ЗВ ° 2 1п ! а ~ — 2 ( — + —,, + —,' +... ) [а' ) Ц. гх В!и В г'х' В!О 2! г'к' в!и ЗВ ее" в!п Ьх — — + !! 2! 3! 1 где г=]/а'+Ь', а=гсов0 н Ь=гв!пб. !419.2 тгигоиометРические Функции 419 2 ех 0 1 гхсо54, гхххсо526 г х ссе 34 11 ' 3! где г и 0 те же, что и в 419.1. и+1 лп 5!и и 5)п— 420.1.

в!п а+ в!п 2а-(- в!п За+... + в!п па = п 5)П 2 429. Подстановки: л+1, лп Ссз — П 5!П— сов а+ соз 2а+ сов За-(-... + сов па = 2 2 и мп— 2 420.2. е!п а+ в!п (а+ 8) + в!п (а+ 20) +... л — )~,пб зш ( + — б~) 51П— ... + в!п ]а+ (и — 1) 0) = б ЯП— 2 420.4. сов а+ сов (а -1- 6) + сов (а+ 26) + ..; л — 1 ] лб соз ( л-1- — б~) з!и— ... + сов (а+ (л — 1) 6) = б в!и— 2 Если в!п 0 = х в!п (0+ а), то 0+хи=ха!па+ — х'в!п 2а+ — х'в!пЗа-(- ... 2 3 где г †цел число.

421. [х'(1], 422.1. в!п 0 = 0 ( ! — —,) (1 — —,, ) (1 — —,, )... [0' ~ оо]. 422 2. Со 0 = (1 — —,) (1 —,х,) (! — —,',)... [О' ( оо]. См. также 8!8.1 — 818.4. С!их, вес х, свс х можно заменить Примеча ние. а) Тригонометрические функции — Производные 427.4. 427Л. с) 427.2, 427.5. 427,6. 427.3. 651п х — = СО5 Х, ох аслзХ вЂ” = — в!п х. с(х о !Нх — =ЕЕС Х. с(х П с1ях 5 — = — СВС Х, х(х дзЕСХ вЂ” = вес х (н х. х)х Х( С5С Х вЂ” = — свс х с!8 х. пх интегндлы Тригонометрические функции — Интегралы При вычислении определенных интегралов часто бывает полезно-строить график поаынтегральной функции.

Некоторые кривые, такие как график тангенса, имеют точки разрыва. Вообще, интегрирование не должно производитьси в пределах, между которыми имеется точка разрыва, 1 1 1 соответственно на —, —, 12 и ' с 05 х ' 5! и х г" (5!и х) сов х ох, — использовать (1); г (сов х) 51пх дх, — использовать (2); г (12 х) зес' х дх, — использовать (3). Из таблицы следует выбрать подходящую подстановку для замены тригонометрических функций алгебраическими и обратно. Так, например, если встречаются только !Нх, мп'х, созхх, следует применять (3).

85 1430. !6 84 ТРИГОнометзичесйие Функции Интегралы, содержащие $1пх 433.!!) 430.50. ннтеггзлы, содезжзщие в!п» в!и хз(х= — — + — — —. 5 соз х 5 соз Зк соз бх 8 48 80 430.60. 430.10. Гб 64 64 )92 430.10!. 430.102.

430.11. 431.11 430.12. [См. 441.11.[ [См. 431,11.[ 431.12, 430.! 3. з!пх созх 1 Гз)плах 2к' 2к 2 ) к 430.14. 431.13 430.18. 431.14 431.19. 430.16. (См. 441.11.[ 431.21 430.19. [См. 440.1 431.31. 430.20 431.9. 430.21 430,22 432.10. 430.23. 430.30 430,31, 432.1! 430.40; 3!и х !(х = сов х. в!и (а+ Зх) с(х — — сов (а+ бх). 1 Ь в!и — ХЬ = — а сов —. а а х$!и ха»=5!и х — х с05х. ~ х' $1п хс!х = 2х в!и х — (х' — 2] сов х. $ х' в!и'х ах=(8х' — 6) $)п х — (х' — бх) сов х. ~ хзв!п хсЬ=(4хз — 24х) в!их — (х — 12х'+24) сов», ~ х'в!пхс(х =(бх' — 60х'+ 120) в!Пх— — (х' — 20х'+ 120х) сов х. ~ х' в!п х Ых = (бх'- 120х'+ 720») $)л х— — (х' — 30х'+ 360х* — 720) сов х.

~х $!П»с(х= х с05»+гл ) х с0$хдх. $)п хс(х = — — — = В к з!п2х х з!пксозх 2 . 4 2 2 хв!и хс(х= — — —. х' хз1п2х соз 2х 4 4 8 -'[ ) х в!и хс(х= — ' — [ — — -~ 5)п2х —— з ° ° х! /к* ' ! 1 . хсоз2к 6 14 87' /Зхх 3 ч х з!и х з(х — — ' )ч — — — 7! в!и 2х — [ — — ~ сов 2х. соз' к $!и х з(х = — сов х. 3 ° хсоззк .5)пзх 3 3 х$!и хз(х= —, — — хсовх+ — 5)пх, 12 (Выражая в!и'х согласно 404.13.) з Зх з)п 2х з)п 4к в!п хдх — — + — ° 8. 4 32 в)п хз(х — — — + — — + т Зб соз х 7 соз Зк 7 соз 5х соз 7х 64 64 320 448 (Интегрируя выражения из 404.) — — ° з!и к пх ' х' хз ' з' =8! (х)=х — + — — — +...

х 3 3! 5 5! 7 7! Таблицу числеииыз значений втой фуикнии см. (22). з)ик созк з)пх ! Рсозхзх — — — — + — — а! —, [См. 441.!1.[ Зк* бх' бк б ) х з)и'к ок ! ! (' соз2х о(2х) з!п хпх 3 ( з)пхпх 1 ( З)НЗх о (Зх) 1"' 1 к 4,) к 4,) Зх [См. 431.11.[ з)и" х пх Выразить $)п"х согласно 404 н интегрировать почлеино согласно 431.! н 44!.1. — = ') свс х сЬ = ! и ( !3 — ( = !+сов х = — — !и — = !и (свс х — с)и х( 2 1 — саек =),(х — — 1! (лямбда-функция). [См. 641 н 603.6,) 2/ См, рисунок на стр.

86. — — — "° хдх х' 7х' 3!х' !27хз з)и к 3 3! 3 5 5! 3.7 7! +3 5 9! + ' ' ' 2(2'" ' — !) ... + (2 +1, В„х'"+'+... [См. 43.) [132. 12 36 434.05) ТРиГОнйметРичеСкие аункнин интегралы, содержап(не а!и х 432.12 432.90. 432.19 ! (л — 1) (и — 2) Мпи 'х Х 1(Х в!пих Х СОВ Х (л — 1) в!пи 'х 432.91. [л »2[. 433.01. 433.02. 433.03. 433.04. 433. 03. 433.06 433.07. 3Х Г вЂ” = [ СВС Х17Х= — С!ЯХ. в!п*х= [ 432.20. Х 1(Х вЂ” = — х с!д х -(- !п ! РЗН х [. ап' х 434. 01 434.02 [См. 432.11.1 434,03 432.40. 434.04 432.41. 432.50. [См. 436.6.1 434. 03. 432.21. 432.30. 432.31.

-- ° х г(х к х' 7х' 31Х' !27х'и — = — + —.+ —,, +... + — "+ ° ° ° в!пх 2 43! 365! 387! 5.5.68! В х'"+'-)- .. [См. 43.[ (2л + 2! (2л)' Г. Х~1(Х ! Ю юпх ' —. Разложить — согласно 413.06, умножить на х в!о х и интегрировать [гл) 01. Рнс. 432.!О. Грвфнкн функпнЕ у свсх (птнктирная х линия) н у=)п ~!Š— ~ (сплошнак линни!. 2 Г = х1(х хсовх 1 ! Гх1(х в!и' х 2 в!п' х 2 в!п х 2 ,[ в!и х ' йх сов х 2 с!Е' х — — — — — с13х= — с!3х — —. ап'х Зв!и'х 3 3 х 1(х х сов х 1 2 2 Мп' х 3 в!и'х 6жп'х 3 — — — — хе!3х+ — !п [ Мпх[. 3 Их сов х 3 сов х 3 ! х в!Ив х 4 Мп' х 8 в!и' х + 8 ~ "' 2 Г 1(х совх 4 совх 8 432.60.

0! —. = — . — — —., — — с!д х. ,) в!и'х 5 в!и'х 15 Мп'х 15 и сов х л — 2 Г 1(х — = [ свсихг(х=— и-1 + [ . и-в в!Них,[ (л — 1) в!пи 'х л — 1,[ Мпи 'х [л )1[. =хе!3 ( — — — ) +2 )п~ в!и( — „— — ) (. 1(х ! . ['3 в!и' х — 1 = =асса!и 1+Моих „/-2,в!п х+! ) 30 440 14)* 436.6. [434.00 интягяалы, содяяж51ция сов Х тяигономятяичяскиа аункпии [См. 442.20,[ константу. дано 1 [ У 61 — а' !я х+а [ 2а УУ вЂ” а* [ Уах — а*!ях — а) Если 0*=а', см.

434.06. 436.7. а!я — +Ь , агс13 [а' > Ь'[, а !я —, + Ь вЂ” УЬ' — а' 2 )п Р Ьь — а' [Ь',= а*[, 437.1, а !я х +5+ Уь:а 2 437.2. — 2 а1я,— +Ь '2 ° = Агй 437.3. 437,4. 440. 13. 440.14. 434.06. ~ —., [ — = !3 х. ах р ах ! — 5!П Х СО55 Х 435. ' ~з!Пглхз!Ппхдх= 5!п(т — л) х в1п(я+и) х 2 т — л) 2 (л1+и) [т'Фп'. Если аг'=п', то см. 430.20.[ [[Ь' ) а', ~ а (3 — + Ь ! ~ $ Ь' — а*~, х — 2 а!д — +Ь 2 Агс!)! ~' " 1'"-"+'! ""'-"1.

Полыптегральная фупяння обращается и бесконечность (еслн Ь5 > а) прн х=пп+( — 1)" агсв!п ~ —— Ь,' 436.01. ° 1 1 а+Ь 5!и х Ь Ь ) а+Ь 5!и х' 436.03. ° 1 ах Ь сов х а (' 1!х (а+Ь 5!Пх)' (а' — Ь') (а+Ь 51п Х) а* — Ьх) а+а 5!п хх 5!пхах асовх Ь ( ах 436.04. (а+а в!их)' (Ь' — а') (а+Ь 5!п х) Ь' — а',)'а+Ь 5!их' [К 436.0! — 436.04 см.

436.00.[ 436.5. ах 1 Уах+Ь5 10 х агс13 о'+Ь'в!п'х а Уа'+Ь' а 440.10. 440.101. 440.102. 440.11. 440.12. Когда а=Ь=1, — = агс13 (р' 2 15 х). 1!х ! 1+в!п' х У2 Другое выражение, отличающееся иа в 434.05. 5!ПХ1(Х ! . П1СО55 = — — агсв!п У1+пР5!П1х щ У!+пи — — ° «-К1- 'ы*!. ) 1 — л1'5!и'х ~ (в!п х) )г 1 -)- лг' в1п' х 12х = Сав Х вЂ” — 1 + гл 51п х 2 агсв!и 1+ л1 21п У! +ги~' (5!Пх) 1 — гл з1п хс(х= — — $' 1 — га в!п х— СО5 х l 2 — — 1п [ гл сов х + У1 — гл5 5! п* х [.

2л! Интегралы, содержащие совх сов х 1тх = 5)п х. сов (а + Ьх) 12х = — в(п (а + Ьх). ! Ь х х сов — 5(х а в!п — . а а х сов х 1(х = сов х+ х в!п х. х* сов х !ух = 2х соз х -1- (х' — 2) в!п х. х сов хг(х= (Зх — 6) со5х+ (х — 6х) 5!их. ~ х' сов х 1(х = (4х' — 24х) сов х + (х' — 12х' + 24) в!п х. 442.3!1 91 1440.

!3 тРигонометРические Функции интегРАлы, СОНРРЖАО5ие созх С05 Х Г(х Ха 440.15. 441,14 440.16 С05 Х С!Х ! ~ 5!и х а)х С05 Х 441.19 440.19 440.20 442.10. 440. 30. [См, 640.] 440.31. 442.11. [См. 45.] соз хс(х= — + — + —. Зх яп 2х 5!и 4х 8 4 32 440.40. 442.12. + — + —. 5 5!и х 5 е!и Зх 5!и Зю 8 48 80 [С .