Двайт - Таблицы интегралов и другие математические формулы, страница 17

+ — ) х 2 х о), 2 3 ''' Р 2 3 ''' и+Р) р о в л+вр 'в 2 ) (а+2Р) и р! (и+р)! в!п 4 / 2 в Ьеглх л 826;4. Кег„х= (!п — — С) Ьег„х — — л+ 4 Ье(„х+ х 1 4 ! жл ( — 1) л+Р(2р — л) (и — р — 1)! Г х ~вр " ' (и+2Р) л сов + р! и о 1 1 1 1 +-г. (1+-+-+" +-+ !+-+-+ "+ — ) х 4 ~ 2 3 ''' р 2 3 ''' и+ау р о в л+вр-в ( — 1)"+' (л+2Р! ( — х) ((ли+ +та! вв . х ! + )! сов 4' о / 2 в «Ье!ох л 826.5.

Ке! х ((и=С) Ье!лх — —" — — Ьег.х+ л-в + — ~ 1 л-о ( 1)" +Р(2р — и) (и — р — 1)! Г х ~вр "-' (а+2р! и 4 р! ~2) ) в)п 4 р о 1 1 1 ! — г„(1+-+-+... + — +1+ — +-+ ° ° ° + — ) Х 4 ~ 2 3 ''' Р 2 3 ''' и+Р) р о в леер-в ( 1)л+Р (а+2Р) — Х Х ~ 2 ) (и+2Р) л . Р! (и+Р)! в)п 4 827.1, Для больших значений х при целом положительном и: «'пав(в «Ггв Г /х и ил« Кег х ( — ") е ~Е ( — х)сов(=+ — '+ —,)+ ~)/2 8 2) / х и ил« + М ( — х) гйп ( —. + — + — ') 1. ~)«2 8 2) Рл»гв .М;г / х л алв 827.2.

Ке! х= ( — ) е ! М ( — х)соз(=+ — + — )— ~~2 ) — Ел( — х) жп (=+ 8 + —,)1. [См, 823.3 и 823.4.1 887.2) (827. 8 втссилевы еьикции Рекурреитиые формулы 836.3. х 1сег х с1х =хйе!'х, / л 'с и гик ! / х л ал'с йеглхлл — сь — [ е 115 ( — х)сов~ — — — + —,[+ [)гУ 8 2) + Тл ( х) $!и ~ рл= — 8 + 2 )1 ° г ЛМа Ггкр Г /х л ал1 Ве! хлл — ~ — [ е !(Т ( — х)сов~= — -+ — к[— — Л ( — х)а!и ! к — — "+ — ~~. [См. 823.7 и 823.8.[ л !Яр 8 2/ Нужно заметить, что ряды для больших аиачеиий х — ато асимптотические разложеиии, и степеиь точности, которую оии дают, ограиичеиа.

828.1. Ьег, х =-; (Ьег' х — Ье!' х). ! 1 гГ2 828.2. Ье1, х = (Ьег' х-[- Ье!'х). г' 2 828.3. Ьег хлл — — Ьег х. 828.4. Ье1, х= — — — Ье! х. 2Ьег х 2Ьег' х х х 828.6. Ьег, х = — Ьег' х — — ' 2 Ъег«х х 828.6. Ье1,х — Ье1 х —— 2Ъес,х к 829.1. Ьегл+, х = — — (Ьег„х — Ье1„х) — Ьег„, х. а У2 829.2. Ье1«+,х = — — (Ьегл х+ Ьес« х) — Ьесл, х. а)г2 829.3.

Ьег, х = †.—, (Ьегл, х+ Ье1„, х) — —,. 1 аЬег к 829.4. Ье1„х = — (Ьег х — Ье1 х) — —" ! а Ье1«х л с «-с х Формулы 828 — 829 годятся и для бесселевых фуикций вто- рого рода, если ваьсеиить Ьег иа !сег и Ье! иа Ье!. Таблицы аиачеивй фуикпий от аргумента х! и' Гсм. (81. 111), (!6).

иитагглаы Бесселевы функции — Интегралы 836.1. ~х".!х с(х)с(х = хл/л(х). 836.2. ~х-«У +,(х)асх = — х-«У«(х). 836 3 ~ л«1 1(х) бх = хл)л (х). 836.4. $ х л)л+с(х) с(х = х 1«(.х). 83б.б. $ х«К ' (Х) с(х — х«К« (х). 336.6. $ х-«К +с(х) с!х «« х «Кл(х)' к 836.1, хЬегхс(х =хЬе!'х. 836.2.

х Ьес х сух = — х Ьег' х. к 836.4. х 1се! х г(х — х 1сег' х. 837.1. ~ х (Ьег'„х+ Ье1,* х) с!х = х (Ьегл х Ье1,'х — Ье!л х Ьег„' х). 837.2. ~ х(Ьег„' х+ Ье1„' х) с(х = х (Ьеглх Ьег,' х+ Ье)„х Ье);, х). 179 многочлвны лвжлндгл 844.2. Р„(1) = 1. 844.3. Р, ( — х)=Р, (х).' 844.4. 842. 843. 844. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ (МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАЩ(РА) 840. Ра ()х) = 1, Р (Р)=(х. Р,(р) = — (зц — 1). 1 Р,(Р) = — 2(5Р— 39).

! Рэ((х) = (5 ° 7)х~ — 2 ° 3 5рэ+ 1 ° 3). Р ()х)= — (7 9)хэ — 2 ° 5 ° 7)ха+3 ° 5!х). ! Рэ Ох) = — '(7 ° 9 ! !)х — 3.5 7 9!х'+ +3 3 ° 5 ° 7)ьэ — ! 3 ° 5). Рт(1,,)= — (9.1! !3Р— 3 7 9 !1Р + 1 + 3 . 5 . 7 . 9(хэ 3 . 5, 7)х)ь Коэффициенты в скобках составлены из биномиальных коэф. фициевтов, а затем других множителей.

841 Р = (2 — !) (2 — 3) ...! ~ (~ — Н э+ м(Р)= т! ) )х 2(йт !)(ь т (т — !) (т — 2) (щ — 3) 2 ° Ч (йт — !) (2т — 3) При нечетном т ряд кончается членом, содержащим р, а нри четном т — членом, ие зависящим от р. (т+1) Р (!х)=(2т+ !)(хРм()х) — игРм д(Я. (на=1) Р;„((х)= гл)хР (!х) — тРж,((х). Лля больших значений т Р (соз6) (,, ) з!п(~т+ — )6+ — ~. 844.1.

Рм (х) = 2 — „,„— и (» 1) ! о™ э и Рэ „( — х)= — Р, ь,(х). г! Первые производные Рэ9ь) = — Р ()х). г Рь()х) =О. Р, ((х) =1. Р,'(р) =зы. Рэ((х) = — (3 5)х' — 1 3). Р,ох) = — (5 71ь' — 3 5)х). Р,()ь) = — (5 7.9)х4 — 2 3 ° 5-7!э~ + 1 3 5). Рв(!х) — (7 9 !1!ь' — 2 5 7 9(ь'+ 3 5 7(х). Рт(ц) = — (7 9 11 ° 13)ьа — 3 5 7 9 11(х'+ + 3 3 5 7 9.ь' — 1 3.5 7). Коэффициенты в скобках составлены из биномиальных коэффициентов, а затем других множителей. Таблицу значений многочленов Лежандра см. (!61. 181 884.121 861.3. опгвлвлвнныв ннтвггллы 861.4.

хн. 853.11. 853.12. 853.13. 850.8 851.1 854.11. 854. 12 ОПРЕЛЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вв Ъ 860.! в]хи 'е "ох ~(!и-) лг« =Г(а). в Г(а) — вал!ага-функция. Интеграл имеет конечную велнчнну прн а)0. 850.2. Г(а+ 1) - аГ !а), 860.3. Г(а) Г(1 — а) — ]и не целое]. х!и ии 860.4, Г(а)=(а — 1)1, когда а целое положительное, 850.5. Г(1) = Г(2) = 1.

850.6. Г ( — ) )г а, 850.7. Г ! — ~ г( ) —...... !1 Г а+ 2 ) = 1 3 5 ° ° ° (2а — 3) (2а — 1) )l и/2х (а целое положительное). 1п Г (1+ х) = — Сх+ — — + — ' — ° ° ° (х*( 1]. где С вЂ” ейлерееа аосжоякмалц С = Ипг ~ — ! и р+ 1+ — + — + ... + — 1 = 0;5772157 р.ввв» ! ! 6,*=1+27,+у+ ° ° ° =ь(р). 1См. 480.] 6612, )п Г(1 1 «) ! !и хп С„5~' вхв Пз ~ 1)б хв хв !(ля ввачевнв е болыне чем — нсвольвовать 830.2 н 830.3 н ! 2 втн ряды. Г(х+1)жгххе х~ 2гтх ~1+ — + —— 12» 288»в !39 871 31 840хв 2Ъ8 320хв+ ' ' '1 ' Эта формула дает аснмптотнческое выражение для х(, когда х — большое целое'чнсло.

[См. 11.] 1п Г(х+ 1)ю- 1п(2а) — х+ (х+ — ) 1п х+ ! г 1ъ 2 ) в в в + — — + — — "° ! 2х 3 4»в б б»в („„...— чнслаБернуллн). !См.45 н 47.1.] Это — аснмптотнческнй ряд Сегирлпнга. Абсолютнан величина ошибки меньше, чем абсолютная велнчнна первого отброшенного члена. е 1пхс!х= — С, в где С-0,5772157, как в 861.1. П (а) Г (а+ 1). П(а) иногда называют гауссоеой функцией. Прн а целом положительном Ц(а)=а(. П(0) =1. 1 х (1 — х) " с(х= =В(т, а) (бета-функцнв) Г(ги) Г(и) Г (ги+ и) (гя, а-»0].

1 ( — 1)Р~ 1п 2 — 1+- — -+ ° ° ° + — ) хе ех ! — !) ' !+х з " ! ) в (, = 1, 2, ...1. 1 хе-'лх !+хе р р+4+р+2 р+34 в [См. 36.] 182 [334.2!' оппеделенные интеггллы опевдвлвнныв ннтвгеллы 1 Их л 854.21. 1+«+»' 3)13 о ! ак 2л 1 — «+«' 3УЗ' о ах )7л (и) Ф'1-"= ° Г 1 856.33 [и) 0[. 1 о 855.11. [о<р<![.

865.34 [1, п)О[, с в и Г('т+1+ '') о и 2) 1 2 855.12. [ — 1 р< 1[. ! хР+х Рак Л 856.13. [-ч < р <И. хо-)-к т х lр л) ( ) 24сов ( — — ) о ~о 2) 866.42 1 ак л 856.14. [(() 1[ 1 хР 'о(х и 856.61 856. 16. [О<р<41. о(х л (1+х) хт »1п Ол Положить (7=1 — р. Тогда х»1-1+ха ' „Г(т) Г(и) (1+«)т+а с(х= Г(т+и) о 866.01 [о:.д< ц. 856.21. [т, и) 0[. 856.31. хР »а« 866.02 [О<р< 1[.

Мп (л — рл) вт рл 1+к 866,03. ~ = л. (1+х))1 х 886.04. лаР [а)0, 0<р -1[. ып рл ~""Нк 246 ... (т — 1) 3 у [т не'1етное !ылое ) )7 ) «1 3.3.7 ... т о (и1 — 1) — [ги — четное положительное 2 4 6 ... т 2 г!елое[, [и — произвольное ) — 1[, Г( —,+1) [Положить в!их=у в 868.44 или 868.45.] 856.32. хт [/1 — х'Ых=— т+2,) ур 1 «1 о [т — произвольное) — !!. [См. 855.3Ц 85641. хт(1 — хв)Р4х= ' [р+1, и+1) О), ( т+3) Г(р+!) Г( ~+) Хт (1 Ха)Р НХ ° (+ + +') [р+1, т [ 1, п)О[, а ' (а — х)" ' г(х = аж+" т Г (т) Г (и) Г (т+л) [а т п)0[.

Э 1 о 184 .опецалкннып ннгкггьлы 866.06. 1+ха р Вп— Р [р» Ч. 868.06. (1+ах)з ас+з яп рл [а)О, О<р<1]. 8ВВ.От. [' """ = 1+кз рд 2 соз— 2 [ — 1<р<1]. ЗЗ.ЗЗ. 1+ха, рд д з(п— о Ч [О<р<Д 868 11 1 х з(х Г (сп) Г (и) )1 (1+Х)аз+ х Г (ПЗ+П) [пг, п- 0]. 86612 . х~ 'з(х Г(пз) Г(п) (а+Ьх)" зх а"ЬаГ (пз+п) [а, Ь, пг, и) О].

86821 з(х ! ° 3 5... (2п 3) п (аз+хз)" 2 ° 4 6 ... (2п — 2) 2аза-з 'ыд 86В.З1. (а*+с') (ьз+хз) ыь 1а+ь) [а «О; п=2, 3...,]„ [а, Ь-»О]. 868.82. (аз+ хз) (а"-1-х'з) цс,и аз [а) О]. 867.02. (ах'-1- Ьх-1- с)П ° Ь )/с+с )/ а [а, с, Ь ]/ с + с ]/ а ) О)зг ЗМЗЗ. ] ( —,, — — ')С*=с. 867.О1. с(х агсс(6 1 асз+2Ьх-1-с 1/ас — Ьз )/д Ьз [а, ас — Ьа " О; см. 600с] ~ (/ 5 Я у- " ф l' С Я~ ~7 М" Р~ ,~„иг = ~л'~. = '~"~~~ ~~'~ ~~~6 ~~~г~ ~Й ~~~ ~~=,~у М~' ' й~ аг',й "/ 0 д~ й~' ы~ аг~~-~' ф ~ЯФ8 ~6' Аг ~',"й ~~~ Я~ ~ ~а~Я я ) .ц~~~~ ~ а,~и.~3~ Ф'~ а +Я 8+Ра 1 Фд' ~~' аРй 4' а'~й'Ю' Л= —. ° ' ~- —.

~ ~~Ф~ ~.ун~. - ~;~' ~юа~*=К~~-4 д о ƒ .,Ч.Й = -'~' — — '— 9 ~ I Й~~~ Р-с~ —,;,~ г ~ ,д,, /ф ~Щ. р~ —,7а К ~ ~~) х953х = у~ ~. ~ ~-ю г ~ю к ~~-4 ~Г ~~,' Ф , ~~ ~~~у = — ~- г~'8' Ь г и ~ уАЙ =у~ ~ ~ 0 0 ~ ,Я~ -л. -5Л -а~ 'Ядй. = ~ ~ ~~г ~~~ ф~~Ж34 ~~'~ ~ . ~ я ЯИ~ = др ~~~~г~г'.РФ "~ 187 186 [333.43 ОПРЕПЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 333.3!31 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 868.45 858.602 858.603 [р "~ — 1], 868.48 858.504 868.606 [Р) — 1] 868.47.

868.606 868.611 [р (1]. 868.48. 868.512 а/в — =20=2 0,9159656. хах 5/И Х ю [См. 48.32.] 868.491. 858.613 хлх и — — !П2. !Кх 2 ю 858.614 868.492 и/в х' в(х — =и!П2. 5!П х ю 858.493. 858.515 а/в С05 Х СОБ ВХ//Х=— т и Ба+в ю [в+1 > О]. 858,501. юв/в а,в Б!П Х йвХ аа СОБ Х /(Х= р р лг(р+!) 2Р+ (Г(р+1) [р — 1], ~„...„.'( — ") ° =2 ] Б!Прхс/х.' ю [См. 868.44. Можно использовать также и 868.46.] ) х Б!ПРХ /Гх =— (Р2+ ) = и ] 5! п Р х бх. ю [См. 868.44. Можно использовать также и 868.45.] юв!в а~в ю !Врх/гх=~ с!брх/1Х=— 2С05— рн ю 2 г ("+ +1) г (Р:„+ !) [р+ 1, р+в+ 2, р — в+2) О].