Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976), страница 6

Указание. Воспользоваться свойством 2. 3. Всякое бесконечное множество содержат счетное подмно.жество. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть М вЂ” бесконечное множество. Выберем в нем произвольный элемент аь Поскольку М бесконечно, в нем найдется элемент аь отличный от аь затем найдется элемент а„отличный от а~ н от аз и т. д. Продолжая этот процесс (который не может оборваться из-за «нехватки» элементов, ибо М бесконечно), мы получаем счетное подмножество А=(а„аз ., а„, ...) множества М. Предложение доказано.

Это предложение показывает, что среди бесконечных множеств счетные являются «самыми маленькими», Ниже мы выясним, существуют ли несчетные бесконечные множества. 3. Эквивалентность множеств. Сравнивая те или иные бесконечные множества с натуральным рядом, мы пришли к понятию счетного множества. Ясно, что множества можно сравнивать не только с множеством натуральных чисел; установление взаимно Э З1 эквивллвнтность множеств. понятии могциости 25 однозначного соответствия (биекции) позволяет сравнивать между собой любые два множества. Введем следующее определение.

О п р е д е л е н и е. Два множества, М и Ж, называются эквивалентными (обозначение М Ж), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Понятие эквивалентности применимо к любым множествам, как конечным, так и бесконечным. Два конечных множества эквивалентны между собой тогда (н только тогда), когда число элементов у них одинаково. Определение счетного множества можно теперь сформулировать следующим образом: множество назсчваетсв счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Ясно, что два множества, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой; в частности, любые два счетных множества эквивалентны между собой. Примеры. 1. Множества точек на любых двух отрезках '1а, Ь] и 1с,4 эквивалентны между собой. Из рис, 5 ясно, как установить между ними биекцию. Именно, точки р вФ и у соответствуют друг другу, если они являются проекциями одной н той же точки т вспомогательного отрезка е~. а л с е а Рис. 5. Рис. 6. 2. Множество всех точек на расширенной комплексной плоскости эквивалентно множеству всех точек на сфере. Биекцию и а можно установить, например, с помощью стереографической проекции (рис. 6).

3. Множество всех чисел в интервале (О, 1) эквивалентно множеству всех точек на прямой. Соответствие можно установить, например, с помощью функции 1 1 у = — агс1п х+ —. и 2 Рассматривая примеры, приведенные здесь и в п. 2, можно заметить, что иногда бесконечное множество оказывается экви- ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ згл.

! валентным своей истинной части. Например, натуральных чисел оказывается «столько же», сколько и всех целых или даже всех рациональных; на интервале (О, 1) «столько же» точек, сколько и на всей прямой, и т. д. Это явление характерно для бесконечных множеств. Действительно, в п. 2 (свойство 3) мы показали, что из всякого бесконечного множества М можно выбрать счетное подмножество; пусть А =(аьаь ..., а„, ...) такое подмножество.

Разобьем его на два счетных подмножества А, =(а„аз, а,, ...) и Л,=(а,, а,, а,, ...) и установим между А и А~ взаимно однозначное соответствие. Это соответствие можно затем продолжить до взаимно однозначного соответствия между множествами Л () (М', А) = М и Лз 0 (М', А) = М ', Аг, отнеся каждому элементу из М ' А сам этот элемент. Между тем множество М' А, не совпадает с М, т. е.

является собственным подмножеством для М. Мы получаем, таким образом, следующее предложение: Всякое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству. Это свойство можно принять за определение бесконечного множества. У и р а ж и е н и е. Доквзвть, что если М вЂ” произвольное бесконечное множество и А счетно, то М вЂ” М 0 А, 4. Несчетность множества действительных чисел. В п. 2 мы привели примеры счетных множеств. Число этих примеров можно было бы увеличить. Кроме того, как мы показали, сумма конечного или счетного числа счетных множеств снова есть счетное множество.

Естественно возникает вопрос: а существуют ли вообще несчетные множества? Положительный ответ на него дает следующая теорема. Те о р ем а 1. Множество действительных чисел, эаключенных между нулем и единицей, несчетно. Доказательство. Предположим, что дано какое-то счетное множество (всех или только некоторых) действительных чисел а, лежащих на отрезке (О, Ц: а| = О, ала~газз ° ° а1 ° ° ° 1 аг = О, аг аггагз ° ° аз = О, азгазгазз ° ° ° азв ° ° ° а„ = О, а„,а„,а„з ... а„„ ...„ аз! экВиВалентность мнОжестВ. пОнятие мОщнОсти 27 Здесь агэ — й-я десятичная цифра числа ось Построим дробь 3=0, ЬА ... Ь„...

диагональной процедурой Кантора, а именно: за Ь| примем произвольную цифру, не совпадающую с ан, за Ьэ — произвольную цифру, не совпадающую с аэь и т. д.; вообще, за Ь„примем произвольную цифру, не совпадающую с апп. Эта десятичная дробь ие может совпасть ни с одной дробью, содержащейся в перечне (1). Действительно, от а1 дробь 3 отличается по крайней мере Первой цифрой, от аэ — второй цифрой и т. д.; вообще, так как Ь„чь а„„для всех и, то дробь 3 отлична от любой из дробей аь входящих в перечень (1). Таким образом, никакое счетное множество действительных чисел, лежащих на отрезке [О, Ц, не исчерпывает этого отрезка. Приведенное доказательство содержит небольшой «обман».

Дело в том, что некоторые числа (а именно, числа вида р/!Оч) могут быть записаны в виде десятичной дроби двумя способами: с бесконечным числом нулей или с бесконечным числом девяток; например, ! б 2 !Π— =- — =0,5000 ... =0,4999 Таким образом, несовпадение двух десятичных дробей еще не гарантирует различия изображаемых ими чисел. Однако если дробь [! строить осторожнее, так, чтобы она не содержала ни нулей, ни девяток, полагая, например, Ь„= 2, если а„„= 1, и Ь„= 1, если а „чь 1, то доказательство становится вполне корректным.

У п р а ж н е н и е. Показать, что числа, обладающие двумя различными десятичными разложениями, образуют счетное множество, Итак, отрезок [О, Ц дает пример несчетного множества. Приведем некоторые примеры множеств, эквивалентных отрезку [О, Ц. 1. Множество всех точек любого отрезка [а, Ь] или интервала (а, Ь). 2.

Множество всех точек на прямой. 3. Множество всех точек плоскости, пространства, поверхности сферы, точек, лежащих внутри сферы, и т. д. 4. Множество всех прямых на плоскости. 5. Множество всех непрерывных функций одного или нескольких переменных. В случаях 1 и 2 доказательство не представляет труда (см. примеры 1 и 3 п. 3).

В остальных случаях непосредственн о е доказательство довольно сложно. У п р а ж н е н н е. Используя результаты этого пункта и упражнение 2 и 2, доказать существование трансцендентных чисел, т. е. чисел, не явлиюииигся алгебраическими, 2В ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 5. Теорема Кантора — Бернштейна. Следующая теорема является одной из основных в теории множеств. Теорема 2 (Кантор — Бернштейн). Пусть А и В— два произвольных множества. Если существуют взаимно однозначное отображение [ множества А на подмножество В~ мно. жества В и взаимно однозначное отображение а множества В на подмножество А~ множество А, то А и В эквивалентны.

До к аз а те льет во. Не ограничивая общности, можно считать, что А и В не пересекаются. Пусть х — произвольный элемент из А. Положим х = ха и определим последовательность элементов [х„) следующим образом. Пусть элемент х„уже определен. Тогда, если и четно, то за х +~ примем элемент из В, удовлетворяющий условию а(хн+,) = х„(если такой элемент существует), а если и нечетно, то х„+, — элемент из А, удовлетворяющий условию [(хи+1) = х (если он существует).

Возможны два случая. 1'. При некотором и элемента х„+,, удовлетворяющего указанным условиям, не существует. Число и называется порядком элемента х. 2'. Последовательность [х ) бесконечна '). Тогда х называется элементом бесконечного порядка. Разобьем теперь А на три множества: Аа, состоящее из элементов четного порядка, Ао — множество элементов нечетного порядка и А, — множество всех элементов бесконечного порядка. Разбив аналогичным образом множество В, заметим, что [ отображает Ав на Во и Ат на Вп а д-' отображает Ао на Вв.

Итак, взаимно однозначное отображение ф, совпадающее с [ на Ан () Ат и с а ' на Ао, есть взаимно однозначное отображение всего А на все В. 6. Понятие мощности множества. Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же числа элементов. Если же эквивалентные между собой множества М и М произвольны, то говорят, что М и Г»' имеют одинаковую мощность. Таким образом, мощность — это то общее, что есть у любых двух эквивалентных между собой множеств. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с привычным понятием числа элементов множества. Мощность множества натуральных чисел (т.

е. любого счетного множества) обозначается символом ечв (читается: «алеф нуль»). Про множества, эквивалентные множеству всех действительных чисел отрезка [О, Ц, говорят, что они имеют мощность континуума, Эта мощность обозначается символом с (или символом й). ') Прн этом число различиыл элемаитпв к„может быть и конечно: пни мпгут «запнкливаться», образуя бесконечную последовательность, содержашую лишь конечное число попарно различных элементвв.