Трофимова Т.И. - Курс физики, страница 3

Траектория движения материальной точки — линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным. Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис.

2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной яутм Лз и является скалярной функцией времени:Лз=Лз(1). Вектор Лг=г— — гл, проведенный из начального положения движущейся точки в положение се в данный момент времени (прирашение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения ! Лг ! равен пройденному пути Лз. $2.

Скорость Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина— скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени. Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени 1 ей соответствует радиус-вектор гл (рис. 3). В течение малого промежутка времени Л1точка прой,'дет путь Лз и получит элементарное (бес,конечно малое) перемещение Лг. Вектором средней скорости (ч) называется отношение приращения Лг раднусавектора точки к промежутку времени ЛВ Лг (ч) = —. (2.1) Л! Направление вектора средней скорости совпадает с направлением Лг.

При неограниченном уменьшении Л! средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью ч: Лг г(г ч= Вш — = — —. и о Л) бг Мгновенная скорость ч, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости ч направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 3).

По мере уменьшения Л! путь Лз все больше будет приближаться к !Лг), поэтому модуль мгновенной скорости Лг а= !ч! = Втп — ) = л>- о ЛГ (Лг! . Лз дх = (ип = 1'пи — = —. л>-п Л! л> о Лг б! 0 Рис. 3 Фнкиин кис к.нниа иск;н|икн !о (2.2) Рис, 4 Лэ= !Лг!. Ли (а) =— Л! э= ~ и(т) бб Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени: При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной (а) — средней скоростью неравномерного движения: Лэ <а) =— Лг Из рис. 3 вытекает, что (а) ) ! (и) !, так как Лв) )Лг!, и только в случае прямолинейного движения Если выражение дв=.аб) (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от ! до т+Л1, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Л): 1н-Л~ э= 1 абб (2.3) В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение [2.3) примет вид к+ы л'=а ~ Й= айй Длина пути, пройденного точкой эа промежуток времени от В до йн даетси интегралом 2 $ 3.

Ускорение и его составляющие В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту измене. ния скорости по модулю и направлению, является ускорение. Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор у задает скорость точки А в момент времени г За время Л) движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от и как по модулю, так и направлению и равную и1 =и+Лю Перенесем вектор щ в точку А и найдем Лч (рис.

4). Средним ускорением неравномерного движения в интервале от Г до (+Лс называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Ли к интер. валу времени ЛВ Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент времени Г будет предел среднего ускорения: Ли би а= )нп (а) =!пп ю-с л~-в ЛГ д! Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. Разложим вектор Ли на две составляющие Для этого из точки А (рис.

4) по направлению скорости и отложим вектор А)), по модулю равный щ. Очевидно, что вектор СВ, равный Лмн определяет изменение скорости ао модулю эа время ЛПЛи,=а~ — а. Вторая же составляющая вектора Ли — Ли. характеризует изменение скорости за время Л) ао направлению. Тангенциальная составляющая уско- рения Ла да а, = !'ип — - - = !'нп — — = —, лг с Л( лк с Л) б! Г л э н ь ! ..!гсчснти !,лнсчьллы! т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скоростк по модулю. Найдем вторую составляюшую ускорения.

Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому Лз можно считать дугой окружности некоторого радиуса г, мало отличаюшейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и ЕА0 следует Хил/АВ=о!/г, но так как АВ=оМ, то бол ои! б/ г В пределе при бг- О получим ш- ю Поскольку и! — ьт, угол ЕА0 стремится к нулю, а так как треугольник ЕА0 равнобедренный, то угол АОЕ между т и /гт„ стремится к прямому. Следовательно, при /г! -О векторы бмл и т оказываются взаимно перпендикулярными.

Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Лт, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная Лол иэ ил=!пп — = —, г называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением). Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.

5): Йт а= =а+а. л' Итак, тингенииальная составляюшая ускорения характеризует быстроту изме- Рис. З кения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории). л В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следуюшим образом: )) а,=О, а,=Π— прямолинейное равномерное движение; 2) а,=а=сонэ(, а„=Π— прямолинейное равнопеременное движение.

При та. ком виде движения Ли ит а,=а= — = !2 Если начальный момент времени Г! =О, а начальная скорость и!=ил, то, обозначив Гт=г и ил=и, полУчим а=(о — ол)/Е откуда и= ил+ай Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени Е найдем, что длина пути, пройденного точкой, и случае равнопеременного движения =5""=5 (" +"') "= "+""/" о о 3) ил=)(Г), ил=Π— пРЯмолинейиое движение с переменным ускорением; 4) а,=О, ил=соней Прн а,=О скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Иэ формулы и„= =о~/г следует, что радиус кривизны должен быть постоянным.

Следовательно, движение по окружности является равномерным; б) а,=О, а„чьΠ— равномерное криволинейное движение; 6) а,=сонэ(, а„~Π— криволинейное равнопеременное движение; 7) а„=)(т), а.ФΠ— криволинейное движение с переменным ускорением. ! Фнзичсскнс асиавы механики )2 Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные тачки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса )7 (рис.

6). Ее полажение через промежуток времени Л! зададим углом Лср. Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Модуль вектора с)ср равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острин винта, головка которого вращается в направлении движения тачки по окружности, т.

е. подчиняется правилу правого винта (рис, 6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси врасцення Угловой сноростью называется векторная величина, равная первой производной угла паворпта тела по времени: =)7 )пп — =)(м, Лср эс .о ЛГ сч= Всп Лср с) ср ха.„'ЛГ с)Г ' откуда ы=2пп.

Рис. В Рнс. 7 $ 4. Угловая скорость и угловое ускорение Вектор м направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, квк и вектор с)ср (рис. 7). Размерность угловой скорости с)(т Ф=Т ', а ее еднница— радиан в секунду (радссс) Линейная скорость точки (см. рис. 6) сЛз . )ТЛср а= Игп — -= (пп — — -= сс-с~ ЛГ кс-о Л! В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение: к = ]ьс р(].