Попов В.П. Основы теории цепей (1985), страница 11

При построении деревьев графов электрических цепей в число ветвей дерева обязательно вносят ветви, соответствующие идеализированным источникам напряжения. Ветви графа, соответствующие ветвям цепи, содержащим идеализированные источники тока, в число ветвей дерева не включают. Добавление к дереву графа любой главной ветви образует конгпур. Контуры, образованные поочередным добавлением к дереву графа его главных ветвей, называются г л а в н ы м и конту р а м и (рис. 1.32).

Таким образом, главный контур состоит из ветвей дерева и од- (1) 3 (г) (4 /б ()) 3 (г) Р (3) ~г (Р) 9 (Р) а) Рис 1.31. Некоторые из деревьев графа, изображенного иа рис. 1.26 ной главной ветви*>. Казкдому дереву соответствует своя система из и = р — д + 1 главных контуров, причем главные контуры, соответствующие определенному дереву, отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью, а именно главной ветвью, входящей в казк- (1) гз (г) Р (о) ~ 2~ Рис. 1.32 Главные контуры графа (рис. 1.26), соответствующие дереву (рис !.31, а) дый из главных контуров.

Каждому главному контуру обычно присваивают номер и приписывают ориентацию (направление обхода), совпадающие с номером и ориентацией соответствующей главной ветвиаа). С е ч е н и е м графа называется совокупность ветвей связного графа, пересекаемых замкнутой линией (линией сечения) или замкнутой поверхностью (поверхностью сечения), разделяющей граф на две части, причем ни одна из ветвей графа не пересекается дважды. Если удалить из связного графа ветви, образующие сечения, он распадается на две части, одна из которых может быть изолированным узлом.

*) На ряс. 1.32 и последующих ветви дерева — сплошные липки, главные ветви — пунктирные. **) для большинства задач, рассматриваемых в рамках настоящего курса, нумерация главных контуров может быть выбраяа произвольио, иезааисимо от номеров соответствующих главиых ветвей. (1) ь (г) Р (л ()) и и 5 и) '„Я,;~О, (Р) (и) (1) а (2) б (3) ГР) Каждую из частей графа, лежащую по одну из сторон линии (поверхности) сечения можно рассматривать как обобщенный узел. Так, совокупности ветвей (1, 2, 3, 4), (1, 2, 5, 7), (3, 4, б), пересекаемых линиями а, б, в соответственно (рис. 1.33), образуют сечения, потому что при удалении каждой из этих совокупностей ветвей граф распадается на две части.

Ветви, пересекаемые линией г, не образуют сечения, так как при удалении этих ветвей граф распадается более чем на две 4 а в 7 части. г 5 Главным сечением гра- (1) У) фа называется такое сечение, в которое входит только одна ветвь выбран- г ного дерева. Остальные ветви, входяг щие в главное сечение, являются связями (рис, 1.34).

Количество главных сечений равно количеству ветвей де- 5 (О) Ю рева, т. е. т =- у — 1. Каждому дереву может бьипь поставлена в соответствие своя система главных сечений, причем главные сечения, соответствуюи(ие выбранному дереву, отличаются друг от друга, по крайней мере, одной ветвью — ветвью дерева, входящей в каждое из сечений. Главным сечениям графа присваивают номера и приписывают ориентацию, совпадающие с номером соответствующей ветви дерева и ее ориентацией относительно линии сечения. д) б (7) (в) г (о) г о) 5) 5) Рис 1.34. Главные сечения графа, приведенного на рис 1.26. соответствующие деревьям, представленным: в — нв рис.

Ь31, а; б — нв рис 1.31, б: в — на рис. 1.Зн в Если одна нз частей, на которые граф делится линией сечения, представляет собой изолированный узел, то соответствующее сечение называется к а н о н и ч е с к и м (сечения 3 и б на первом из графов. изображенных на рис. !.34). Топологическне матрицы Топологическне матрицы служат для аналитического описания гРафов, Такое описание можно представить в виде списка (перечня) ветвей графа с указанием, каким узлам онн ипцидентны и с какой ориентацией, или с помощью полной матрипы узлов А,.

46 Полная матрица узлов (полная матрица инциденцнй, матрица соединений, структурн а я м а т р и ц а ) — это таблица, в которой число столбцов равно числу ветвей графа р, а число строк равно числу узлов д. Номера строк совпадают с номерами узлов (строка с нулевым номером обычно располагается последней), номера столбцов совпадают с номерами ветвей. Элемент матрицы а;„, расположенный на пересечении Ой строки и )ьго столбца, может принимать значения +1, — 1 и О: агу --- +1, если ветвь ! ннцндентна узлу ! н направлена от этого узла; аы =- — 1, если ветвь / инцидентна узлу 1 и направлена к этому узлу; агу —— - О, если ветвь ! не ннцидентна узлу 1. Так, графу, изображенному на рис, 1.26, а соответствует полная матрица инциденций 1 2 3 4 5' 6 7 -номера ветвей (1) — 1 (2) О (3) О (О) номера узлов — 1 1 1 ΠΠΠΠ— 1 — 1 1 Π— 1 ΠΠΠ— 1 1 1 1 ΠΠΠ— 1 О (1.43) †! — 1 1 1 О О О А == ΠΠ— 1 — 1 1 Π— 1 .

(1.44) ΠΠΠΠ— 1 1 1 '> В дальнейшем будем использовать только сокращенную матрину узлов А, которуш дла краткости будем называть м а т р и к е й у з л о в. Нетрудно убедиться, что эта же полная матрица узлов (!.43) соответствует н всем графам, изоморфным графу, изображенному иа рис.!.26, а, в частности графам, приведенным на рнс. 1.26, б, в. Таким образом, все изоморфныг графа описмвшопгся одной и той жг полной матрицвй узлов. Имея полную матрицу узлов, всегда можно восстановить исходный граф с точностью до изоморфизма.

Число ненулевых элементов в каждой строке матрицы А, равно числу ветвей, инцидентных соответствующему узлу, т. е. степени узла. В каждом столбце имеется только два ненулевых элемента: +1 н — 1, так как каждая ветвь инцидентна двум узлам и направлена от одного из ннх к другому.

Сумма всех элементов каждого столбца, а следовательно, и сумма всех строк полной матрицы узлов А, равна нулю, т. е. строки полной матрицы узлов являются линейно завйснмыми. На практике обычно используют с о к р а ще н н у ю (редуцированную) м а т р и ц у у з л о в А, которая получается из полной матрицы узлов путем отбрасывания любой нз ее строк*).

Обычно отбрасывают строку, соответствующую узлу с номером О, который будем называть б а з и с н ы м у з л о м. Так, отбрасывая строку с номером О у полной матрицы узлов (1.43), получаем сокращенную матрицу узлов А цепи, граф которой изображен на рис. 1.26: В теории графов доказывается, что все строки сокро«ценной матрц1 узлов линейно независимы.

Зная сокращенную матрицу узлов, соответствующую некоторому графу, всегда можно найти его полную марицу узлов, для чего необходимо дополнить А одной строкой так, чтобы сумма всех строк матрицы А. равнялась нулю, В связи с тем что каждая строка матриц А, и А несет информацию атом, какие ветви и с какой ориентацией подключены к определенному узлу цепи, эти матрицы можно использовать для записи уравнений по первому закону Кирхгофа. Действительно, умножая полную матрицу узлов А, на матрицу-столбец токов ветвей 1, получаем аг! ам,. а,р «, а„(,+ага!',+...+игр «„ аг, ам...агр «г ат «,+агг «г+...+игр (р А, х1= ав, аее...а„р «р ав, 1,+авг !,+...

+авр(р Каждая строка этого выражения есть алгебраическая сумма токов ветвей, подключенных к соответствующему узлу цепи, причем если ветвь направлена от узла, то соответствующий ток имеет знак плюс (аы = +1), если ветвь направлена к узлу, то знак минус (аы — — !). Если же ветвь не инцидентна рассматриваемому узлу, то соответствующее слагаемое равно нулю (а;1 О). Тогда в соответствии с первым законом Кирхгофа окончательно имеем А,х!=0. (1.45) В связи с тем что строки полной матрицы узлов являются линейно зависимыми, система уравнений (1.45) также будет линейно зависимой. Для получения системы линейно независимых уравнений, состав. ленных по первому закону Кнрхгофа, можно воспользоваться сокращенной матрицей инциденций, строки которой являются линейно независимыми: Ах«=0.

(1.45) Таким образом, для любой цепи можно составить т = «( — 1 линейно независимых уравнений баланса токов, и, следовательно, любые т узлов графа представляют собой сиоп«ему независимых узлов. ° $ ° $ ° Пример 1.4. Составим сиипему линейно неювисимв«х уравнений баланса токов для цели, ера«(«которой изобраасен на рис. 1,26.

Подснювляя в (!.461 сокраи(енную матрицу узюв втой Чели (!.44), находим 1« Ц вЂ” «В — «в+«в — «7 = 0 à — ! — 1 ! ! 00 01 АХ(=~ 0 Π— ! — 1 ! Π— 1~ 0 0 0 Π— 1 1 ! (в « « (1.47) Для матричной записи уравнений баланса токов в обобщенных узлах цепи и уравнений баланса напряжений используют матрицу главных сечений и матрицу главных контуров. Матрица главных сечений Я (матрица сечений) представляет собой таблицу, число столбцов которой равно числу ветвей графа р, а число строк — числу главных сечений и =- д — 1 (номера столбцов совпадают с номерами ветвей, а номера строк с номерами главных сечений, т. е.

с номерами соответствующих ветвей дерева). Каждая строка матрицы главных сечений характеризует состав ветвей графа, входящих в данное сечение. Элементы 1-й строки с)гг принимают значение + 1, если /-я ветвь графа входит в состав 1-го сечения, причем ее ориентация совпадает с ориентацией сечения, т. е. с ориентацией соответствующей ветви дерева относительно линии сечения; д;1 =--- — 1, если 1-я ветвь входит в 1-е сечение, а ее ориентация противоположна ориентации сечения; д„. = О, если 1'-я ветвь не входит в 1-е сечение. Матрица главных сечений, соответствующая графу, приведенному на рис.