Попов В.П. Основы теории цепей (1985), страница 100

(10.88) При согласованной нагрузке (!1» == )1в) приближенное (!0.88) и точное (!0.86) соотношения приводят к одинаковому результату; Км -= е а'. Входное сопротивление резистивиой линии 2м ()о») == )«и =- 1)!» с)4 (а!) + !(в з)4 (а1)! Йв~! !«»„з)4 (а1) + )!в Х Х сЬ (а!) !. (!0.89) Так как иа веществеииой оси гиперболические синус и косинус монотонно возрастают, то зависимость Ям отдлииы линии ие имеет периодического характера.

При малых ««! справедливы приближенные соотношения с)4 (я!) = 1; з)4 (с»!) ж а1 =- ! ф' !«»()м и выражение (!0.89) может быть замеиеио иа ям = Яч + И,).'(! л- р„й,). Подставляя (!0.87) в выражение (!0.89), устанавливаем, что при а!~ 1 входное сопротивление Я(плинии равно волковому )«и !«в = )' )«1~61 и пс зависит от длины линии и сопротивления нагрузки.

475 Очевидно, что переходные процессы в резистивных линиях отс)~. ствуют и новый установившийся режим в линиях такого типа насту. пает непосредственно после коммутации. Резистивно-емкостные линии Резистивные линии и линии без потерь — это предельные случаи одномерных цепей с распределенными параметрами, в одном из кото. рых полностью пренебрегают явлениями запасания электрическая энергии, а в другом — всеми видами потерь.

Резнстнвно-емкостные линии занимают промежуточное положение, поскольку в них одновременно имеют место и процесс запасания энергии в электрическом по. ле, и процесс необратимого ее преобразования в другие виды энергии, В отличие от линий без потерь, коэффициент распространения которых является чисто мнимым, н резистивных линий, коэффициент распространения которых является вещественным, коэффициент распространения резистивно-емкостных линий — комплексное число у=) 1о)Л,С, =), о)Р,С,~241),е~)1,С,,2, причем коэффициент фазы [1 численно равен коэффициенту ослабле- ния ох [) = а = ~:г(оР, С,!2, Фазовая скорость в резистивно-емкостной линии зависит от частоты и, ==(оф=-) 2оз1(А',С,) поэтому колебания различных частот распространяются в ней с различными скоростями.

Очевидно, что неискаженная передача колебаний в резистивно-емкостных линиях невозможна. Волновое сопротивление однородной резистивно-емкостной линии является комплексным, причем его модуль уменьшается с ростом частоты, а аргумент равен — 45' и не зависит от частоты: =)' )ч 1(1' С,) =~ )1,1(2 С,)(1 — 1) =) й1( С,) е Первичные параметры однородной ЯС-лин и могут быть найдены с помощью выражений (10.55), (10.56), е:ли положить в них 2в =)' Й,1(2о)С,) (1 — 1), у=а(1+1) и принять во внимание, что сЬ [а1(1 [-/)) =-с5 (а1) сов (а1)-[ 1зЬ(а1) з[п(а1); зй [а1(1+ 11) = э[з(а1)~ Хсоз(а() -~-1сЛ(а1) зш(а1), Используя выражения для первичных параметров однородной Р~ линии, можно определить любые операторные или комплексные час тотные характеристики этих линий и найти их реакцию на произволь нос внешнее воздействие. В отличие от простейших 1(С-цепей (см.

рис. 8.40, б, г), напряжение на выходе которых не может быть сдвинуто по фазе относительн ьно входного напряжения на угол, больший, чем 90', сдвиг фаз между напряжениями на входе и выходе )сС-цепи с распределенными параметрами может достигать любого сколь угодно большого значения. Действительно, из выражения для коэффициента передачи по напряжению )сС-цепи с распределенными параметрами при согласованной нагрузке Км (рв) = Км (ы) епм <ю = е — и =- е — ~и — л > ~ следует, что модуль коэффициента передачи Кги (ы) = е-"' = = е — ""яс 1м монотонно уменьшается, а аргумент фз1 (ы) =- — а1 = = — )/ыЯ,С,!2 1 монотонно возрастает по абсолютному значению с ростом длины линии 1 или частоты ы.

Это свойство резистивио-емкостных линий широко используют в микроэлектронике для построения различных безындуктивных фильтров и фазовращателей. Неоднородные линии — — = 'г', (х) () (х); д( (Ы дх (10.90) — = 2, (х) У (х), дх (10.91) которые путем дифференцирования и исключения переменных могут быть сведены к одному уравнению с переменными коэффициентами 2,(х) Уг(х) У(х) =О. (10.92) дхи Х1 (х) дх дх Общее решение такого уравнения при произвольном законе изменения погонных параметров вдоль линий неизвестно, поэтому для знакомства со свойствами неоднородных линий необходимо конкретизиРовать вид зависимости погонных параметров от координаты.

477 Неоднородными линиям и называются одномерные цепи с распределенными параметрами, погонные параметры которых изменяются вдоль цепи по определенному закону. Коэффициент распространенна, волновое сопротивление и фазовая скорость таких линий в общем случае являются функциями координаты, а отраженные волны возникают не только на концах линии, но и во всех ее сечениях, Уравнения, описывающие электрические процессы в неоднородной д4 ди ди д! линии — — — 6, (х) и г С, (х) —; — — —. й, (х) 1 -1- Е, (х) —, по дх дт' дх дГ ' внешнему виду совпадают с уравнениями (1.59), (1.60), описывающими процессы в однородной линии, однако входящие в эти уравнения коэффициенты являются функциями координаты. Распределение комплексных действующих значений напряжения и тока в неоднородной линии описывается уравнениями Рассмотрим простой и весьма важный для практики случай, когд погонные параметры неоднородной линии определяются соотноше.

пнями С, (х) /~, (х) - О; /., (х) = Ь, (О) "; С, (х) = С,(О) е ", (10.9З) где /., (0), С, (0) — значения погонных индуктивпости и емкости в сечении линии х = 0; Р/ — постоянный коэффициент, который может быть больше или меньше нуля. Неоднородная линиия такого типа называется экспоненциальной линией без потерь Ее коэффициент распространения не зависит от координаты и является чисто мнимым: у -= 1'2, (х) У", (х) =-/Рв Г'/ д(0) С, (0) — - --/р, а волновое сопротивление изменяется вдоль линии по экспоненциаль- ному закону Яв = Яв (х) --- г' /., (О) /С, (О) е " =-.

Лв (О) е 4* и !х) ии 00 ахд ид (10.94) Решение уравнения (10 94) имеет вид (l (х) = А, е" "— ', А, е"", где ьо з, — корни характеристического уравнения зд; Р/з — ~У ==- О, следовательно, ()(х) = А, е '"/'е ' " т +д /' Р+Аде-д 'д е~ — . (!095) Подставляя выражение (10.95) в уравнение (10.9!), находим ком" лекгное действующее значение тока линии 4/2 Ь )/тд+дд/4 Р" РР.! РР/4 к д (х) ' — ' А еРР/д е /Рд/.1 (О) д/2 — ~/тд -!- чд/4 ~/т* 4 д*/Р к Ад ед"/' е /дд/., (о) 478 где 2в (0) Ув (х)!Р д == 1 Е, (0)'С, (0) — значение волнового сопротивления при х — О.

Исследование процессов в экспоненциальной линии без потерь облегчается тем, что при выбранном законе зависимости погонных параметров от координаты (10.93) коэффициенты уравнения (10.92) по. стоянны: Для упрощения анализа ограничимся рассмотрением случая, когда погонные параметры изменяются вдоль линии достаточно медленно — так, что на участке линии, длина которого равна длине волны Л, относительное изменение параметров незначительно.

Тогда ) 1Р! р дю4; (10.96) (//у' роз~4 ж у; (10.97) /м/., (о) /„,/., (о) РЬ (о) 2 (0) (10 98 4/З, )' таз-(-Ч"4 — Ч'З ~ ) т'Ч Ч"4 Х Используя (10.96) — (10.98), находим упрощенные выражения для распределения комплексных действующих значений напряжения и тока вдоль рассматриваемой линии: (/(х) =--А, е 4"~' е -""+А, е х'~' е'— ""; (10.99) Л еч/" ..4 / (х) — — е -' — — ет', гв (0) лз (о) (10.100) (/ж над (х) а (х)- ( г» нал (о) Ки ртр (х) /пь Бра (О) //т охр (О) /ги цал (х) /т Отр (о) /мьер (х) (10.101) 11ервые слагаемые в выражениях (10.99), (! 0.100) можно интерпретировать как комплексные действующие значения напряжения и тока падающей, а вторые — отраженной волн.

Из этих выражений следует, что при д) 0 амплитуды напряжения падающей (/„„„= ('2 А, х е-р"/р и отраженной (/ „„р ) 2 Аз е-р"/р волн уменьшаютсн, а амплитуды тока падающей /„, „„„- 1' 2 А,еч'/з'Яа (0) н отраженной /,„„„„) '2 А, ер"'/'/2в (О) волн увеличиваются при удалении от начала линии; при и «- 0 амплитуды напряжения обеих волн увеличиваются, а амплитуды тока — уменьшакпся с возрастанием х, причем полная мощность каждой из волн, определяемая произведением действующих значений напряжения и тока, остается неизменной. Соотношения между напряжениями н токами падающей или отраженной волны напоминают соотношения между напряжениями и токами идеально~о трансформатора, поэтому явление изменения напряжения и тока этих волн в неоднородной линии без потерь получило название трансформапии падающей н отражен ь о й в о л н.

Количественно изменение амплитуд напряжения и тока опенивается к о э ф ф и и и е н т о м т р а н с ф о р и а и и и л н- иии С учетом (10.101) выражения для комплексных действующих зиа. чеиий напряжения и тока экспонеициальиой линии без потерь приии. мают вид () (х) =-) Лв (х)ЕЕв (0) (А,е '— "+А е"-"1; Е(х) =- !А1 е т —" — А, ет "1. р хв (о! г, (х! (10.102) (10808! Выражая входящие в (10. !02), (10.103) постоянные интегрирования А„А, через напряжение Уз и ток Е' в конце линии )/~в (о)Е~в(е! е.',;! )/ хв (о! ".,(1) ); Из уравнений (10.104) следует, что экспоиенциальиую линию без потерь можно рассматривать как взаимный несимметричный четырехполюсник, входное и выходное характеристические сопротивления кс торого равны соответственно волновому сопротивлению линии в се.

чении х = 0 и волновому сопротивлению линии в сечении х — — 1: / е., (о! — с,(о) ' — ' — 1/ с,(о! а характеристическая постоянная передачи — произведению коэффи- циента распространения иа длину линии: Г =- у( = Е))Е = ЕыЕ ) ' Е, (0) С, (0). При согласованной нагрузке со стороны зажимов 2 — 2' комплексные коэффициенты передачи линии по напряжению и току в соответствии с (8.100), (8.101) К (!ы) -= 1// в ( ! е — Ей --и (Е) е — кап 2в (о) / х (о) ом (Евз) = 1/ гв(Е! О ф хв(о! хв (О е)г 1/ лв (о) 7в (е) 3 е '-' 2 и полагая х = О, получаем основную систему уравнений исследуемой линии в форме А: (Е, =. ( 3/ Л„(О)Ег, (Е) сй (уЕ)1 и', + [~/Л.(О)Л. (Е) зй у Е ) Е;; Е, = (эй (уЕ)/ $~ 2„(0) У (Е)((Е, э-~$/Л~(Е)Я~(О) сй (уЕ)~[~ (!0 104) Таким образом, напряжение иа выходе экспоиеициальиой линии без потерь с согласованной нагрузкой будет больше в п(1) =п(хн„>= — е-сыт раз, а ток ка выходе — во столько же раз меньше, чем напряжение и ток иа входе линии.

При воздействии иа вход ливии произвольного напряжения и> (1) =' О, (р) операторное изображеиие напряжения иа выходе линии У (р) и К, (р) Ц, (р) = и (1) е — я т' ь, <о> с, > о» у (и) Переходя от изображения к оригиналу, устанавливаем, что капряжеиие иа выходе линни ит (1) = п (1) и, (1 — 1„) представляет собой входное напряжение, смещенное во времени иа время задержки сигнала в линии: 1, =1 М 1., (О) С, (О) = 11 е„ умноженное иа коэффициент трансформации в конце линии п (1). таким образом, зкспоиенннальная линия без потерь может произяодить задержку и трансформироааиие снгиалои без их искажения.