Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987), страница 14

Узел называется изолированным, если все сходящиеся в нем ветви содержат емкости, а в цели деиствуют только постоянные задающие напряжения и токи. При этом в таких ветвях постоянный ток проходить не может, но на емкостях скапливаются постоянные заряды Оь Щ, ..., Я„ и устанавливаются соответствующие постоянные напряжения (/!, ЕГг, ..., (/„(рис. 2.23). Из-за отсутствия токов, проходящих через изолированный узел, как раз и невозможно применять первый закон Кирхгофа.

Однако при этом можно использовать исходное соотношение (2.34), в котором протекающие через узел заряды д» следует заменить статическими зарядами Я».. » 2; »ч'»=О, (2.41) » ! 55 Рис. 2.23. Изолиро ванный узел % сг» = ~.~ »го» ° »=ч »-~ (2.42) . Уравнение ('2.42) и частный его случай — уравнение (2.4!) выражают закон сохранения зарядов для изолированного узла. 4.

Второй закон Кирхгофа для ветвей контура. Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями ветвей, образующих замкнутый контур. Для произвольного контура„ ветви которого подключены к узлам с потенциалами оь оь ..., ок (рис. 2.24), очевидно следующее тождество: о| — о~ + оз — оз + оз оз + " + он — г о — г + он ок = О. Перегруппируем слагаемые в этом тождестве: (оз о!) + (оз — оз) + ... + (оа о„— 1) + (о! — ок) = О.

Стоящие здесь в скобках двучлены являются, по определению, напряжениями ветвей. Таким образом, последнее равенство выражает второй закон Кирхгофа, гласящий, что алгебраическая сумма всех напряжений ветвей в любом замкнутом контуре равна нулю: Х и»=- О. »=~ (2 АЗ) Для произвольной цепи с и„ контурами можно составить н, таких уравнений. Знаки слагаемых в равенстве (2.43) устанавливают в соответствии Рис. 2.24. Скема участка цепи в вике замкнутого контура у где знаки зарядов берут в соответствии с вы- 4 я г бранными положительными направлениями +й, ~к,Гй отсчета напряжений Е/» (рнс. 2.23).

Уравнение (2.4 ! ) справедливо в случае, когда емкости, соединенные в узле, ие были лм' ~, ч й ', первоначально заряжены. Однако некоторые т Г~ ~ емкостей до их соединения уже могли быть и заряжены н иметь заряды с,»оц (гот, " (гом. Прн этом, как бы ни перераспределились заряды на емкостях после их соединения в изолированном узле, суммарный первоначальный заряд в этом узле не 'может измениться. Действительно, в изолированном узле заряды исчезнуть не могут, а новые заряды не могут появиться. В этом случае соотношение (2.4! ) должно быть заменено более общим; (2.44) Таким двухполюсником может являться, в частности, любая ветвь произвольной цепи.

На рис. 2.25, а обозначены потенциалы оь оз, ..., о ~ точек соединения элементов и потенциалы ов, и„ зажимов двухполюсннка. Для такого двухполюсника можно записать тождество (о1 — пв) + (оз — о1) + ... + (и — и ~) — (и — ое) '= (). с выбранными положительными направлениями отсчета напряжений ветвей ил и направлением обхода контура. При совпадении этих направлений знаки соответствующих слагаемых из должны быть положительными, а при встречных направлениях — отрицательными.

Например, на рис. 2.24 направление обхода контура показана круговой стрелкой. При таком направлении обхода слагаемые и~ и ип в уравнении (2АЗ) берут со знаком «+», а слагаемые из и и~ — са знаком « — ». 5. Сложение напряжений и параметров цепи. Аналогично второму закону Кнрхгофа мажет быть получено правило сложения напряжений: общее напряжение и на двухполюснике, составленном иэ т последовательно соединенных элементов, равно алгебраической сумме напряжений иь на этих элементах: и= 2„иь в=1 йл 57 Здесь последний двучлен представляет собой напряжение на двухполюсннке, а остальные двучлены — напряжения на элементах. Поэтому последнее равенство равносильно соотношению (2.44). В формуле (2.44) величина и применительно к ветви является напряжением ветви, а величины ил — напряжениями на ее элементах.

Отсюда следует, в частности, что напряжение и ток любой ветви однозначно связаны меж- и ду собой. Действительно, напряже- ч — ит ния на элементах н их токи связаны соотношениями (2.!), (2.6) и (2.! !), а токи в элементах являются током и ветви.

и, и, В формулу (2.44] входят напря-, ! ~' л) + жения как на пассивных, так и на активных элементах двухполюсника. а! В частном случае двухполюсник может состоять только из пассивных и, иг элементов (рис. 2.25, б). Если все эти элементы, соединенные после- ь л« . с= — — — з ными сопротивлениями )(ь гхз, "., гс' "ю л) ЛИбО ИНДУКтнниаетЯМН ~ С-З "' С" н' рНС. Зад днуХПОЛЮСННК НЗ либо емкостями Сы Сь .:., Ссо то нз последоввтельно соединенных формулы (2.44) и первого равенства зленентов (2.1), либо первого равенства (2.11), либо второго равенства (2.6) находим Я~= ~ Кю 7. = ~; 7м — = ~; — (245) ь ! й-! ь=! Таким образом, при последовательном соединении диссипативных или индуктивных либо емкостньгх элементов складываются соответственно их сопротивления или индуктивности либо величины, обратные емкостям.

Если две индуктивности ь!, Сэ соединены последовательно и связаны между собой взаимоиндуктивностью М, то при и = и! + +иэ и й =!э=! из формул (2.22) определяется результирующая индуктивность й = !'.!+ Ст.+2М. (2.46) В формуле (2.46) верхний знак соответствует согласному, а нижний — встречному включению катушек. Таким образом, и при последовательном соединении любые одноименные элементы могут быть объединены в один. элемент согласно формулам (2.45), (2.46). 6.

Втором закон Кирхгофа для элементов контура. С учетом правила сложения напряжений ('2.44) второй закон Кирхгофа ('2.43) может быть переписан для напряжений на и, элементах, входящих в замкнутый контур: ~, иь=б. (2.47) ь=! Этот закон Кирхгофа для элементов замкнутого контура и правило (2.44) сложения напряжений в разомкнутом двухполюснике являются тождественными. Это свидетельствует о возможности м ы с л е н н о г о образования замкнутого контура для разомкнутой. цепи. Например, на рис.

2.25 можно обойти разомкнутую цепь по элементам двухполюсника и по стрелке и. Такой прием мысленного образования замкнутых контуров часто используют при анализе схем произвольных цепей. В частности, можно рассматривать входной и выходной контуры четырехполюсника (см. рис. 2.1, б), замыкая их по стрелкам и! и иь Для цепи, изображенной на рис. 2.24, при выбранном направлении обхода контура напряжение и!, например, входит в уравнение (2.47) с отрицательным знаком.

Однако для источников напряжения принято писать не значение напряжения на нх зажимах, а значение э. д. с. е. Поскольку е!= и!, эта э. д. с. войдет в уравнение (2.47) также с отрицательным знаком. Это противоречит правилу установления знаков слагаемых в уравнениях (2.43) и (2.47), так как направление стрелки е! совпадает с направлением обхода контура на рис. 2.24. Во избежание этого противоречия задающие напряжения еь в уравнении (2!47) переносят в правую часть равенства.

Тогда второй закон Кирхгофа (2.47) для напряжений на элементах контура принимает вид л Хи~= Х ею (2.48) А-! й=! 58 где и„— количество пассивных элементов в контуре; и, — количество источников напряжения в контуре. Здесь слагаемые е, имеют знак «+» при совпадении направления обхода контура и направления стрелки е», а знак « — » ставится, если указанные направления являются встречными.

Например, для рассмотренного контура (см. рис. 2.24) э. д. с. е~ в уравнении (2,48) имеет положительный знак, а э. д. с. е„— отрицательный. По смыслу своего доказательства второй закон Кирхгофа (2.43), где фигурируют напряжения ветвей и», применим лишь для цепей, которые содержат ветви, образующие замкнутый контур. Этот же закон в форме (2.47) или (2.48), где фигурируют напряжения и» на элементах, входящих в замкнутый контур, может применяться также для цепей, не содержащих ветвей.

В частности, для контуров, показанных на рис. 2.16 и 2.17, а, б, вполне применимы уравнения (2:47), (2.48). Например, для контура, изображенного на рис. 2.16, а, с учетом основных законов (2.1), (2.6) н (2.11) уравнение (2.48) имеет следующий внд (при обходе контура по направлению тока): . 7. ~ +%+ — !- )161=е1 — еь ш с или после дифференцирования Отсюда определяется неизвестный ток ! при заданных э. д. с.

е1 нем Из приведенного примера видно, что процессы в линейной цепи описываются линейными интегродифференциальными или линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это является еше одним (четвертым) существенным свойством линейных цепей, которое дополняет рассмотренные свойства (см. $1.4.1, 1.4.2, 1.4,5). Линейность указанных уравнений является еи4е одним обоснованием наименования линейных цепей. 7. Закон сохранения энергии.

В сложной цепи со многими ветвями их напряжения и токи связаны друг с другом рядом уравнений, которые составляются по законам Кирхгофа. Однако для сколь угодно сложной цепи с любым количеством ветвей можно составить лишь одно' уравнение, которое связывает все напряжения и токи ветвей. Это уравнение выражает закон сохранения энергии для электрической цепи.

Согласно этому закону в любой момент времени сумма мгновенных мощностей (1.6) для всех и, ветвей цепи равна нулю: » и, ~'„р»(!) = 2; и»(!)!»(г)= О, » =! » ! где им !» — соответственно напряжения н токи ветвей. 59 Н„ т' им = 2„' Ж+ ~ и~!'ь й=! й=~ й=.1 (2.50) где п„— полное количество пассивных элементов во всей цепи с напряжениями ит на них и проходящими через них токами ц; и„— количество источников э. д. с. ем через которые проходят токи ц; и, — количество источников тока )е с напряжениями иг на этих источниках.

Таким образом, уравнение (2.50), тождественное уравнению (2.49), показывает, что сумма мгновенных мощностей на всех пассивных элементах цепи в любой момент времени равна сумме л~гновенных мощностей, отдаваемых идеальнылси источниками напряжения и тока. 8. Закон сохранения энергии и законы Кнрхгофа. Равенство (2.49) можно доказать с помощью первого закона Кирхгофа, которому удовлетворяют токи ветвей, входящие в это равенство. Рассмотрим цепь, содержащую пг = т узлов с потенциалами оь ом ..., о„. В каждом из. этих узлов действует закон (2.35). Поэтому справедливо тождество о, У 6, + и ~'„1~+ ... + о!ь ~; 6 = О, й=ь й=! ' А=ч где пь пм ..., и,„— количество токов !» (ветвей), сходящихся в соответствующих узлах.