Пасынков.Полупроводниковые приборы (В.В. Пасынков, Л.К. Чиркин - Полупроводниковые приборы), страница 11

дт и'к (2.11) Количество граиичиых условий оказалось больше, чем порядок уравнения (4 и 2). Это связано с тем, что координаты перехода — 6, и 6„ иеизвестны и для их нахождения потребуются дополиительиые условия. Распределение напряженности где М(х)=М,— М, — разность концентраций доноров и акцепторов. Необходимые для решеиия уравнения граничные условия можно записать с учетом следующих соображений.

На одной границе р-я-перехода, где к= — бр (см. рис. 2.1), потенциал д-области примем за нуль, так как одно значение потенциала может быть взято произвольно. В связи с тем что иапряжеииость электрического поля при отсутствии заряженных поверхностей изменяется непрерывно, иа границе р-л-перехода оиа должна быть такой же, как и вие его. Практически в нейтральных областях полупроводника напряженность поля всегда значительно меньше, чем в р-л-переходе, и может быть принята равной нулю. На другой границе р-н-перехода при «=б„зиачеиие потенциала представляет собой алгебраическую сумму контактной разности потенциалов и внешнего напряжения и.

Так как прямое иапряжеиие вычитается из контактной разности потеициалов, а обратное — прибавляется, то ~р(6„)=~р„,„ — и. Таким образом, граничные условия для уравнения (2.10) примут вид При отсутствии токов распределение иапряжеииости электрического поля и потенциала в р-и-переходе можно найти, решив уравнение Луассона (2.9) ~7 ср = — — (р — и + М, — М, ) . И~а Однако даже для одиомериой системы решение такого уравиеиия с учетом носителей заряда затруднено. Поэтому обычно влиянием носителей заряда иа распределение потенциала преиебрегают, считая, что в р-и-переходе оии отсутствуют, в то время как прилегающие к р-н-переходу области полупроводника остаются электрически нейтральными. Такие допущения соответству- 50 Перепишем уравнение (2.10) в следующем виде: ч' — — = — — М(х), тогда а( ~ )= — — М(к)йк. течт д ек икр рн — ( — )--— РН Для упрощения записи в дальнейшем будем пользоваться определеииыми интегралами с переменными пределами.

Это позволяет ие применять произвольные постоянные, если пределы интегрирования согласованы. Тогда ) й ( — „'~ )= — — $ М(х)йк, (2 12) Уравнение (2.13) является условием электрической нейтральности р-п-перехода, т. е. свидетельствует о том, что суммарный неподвижный заряд ионизированных примесей с одной стороны металлургического контакта равен суммарному неподвижному заряду ионизированных примесей с другой стороны металлургического контакта. Распределение потенциала Для расчета распределения потенциала надо проинтегрировать градиент потенциала, т.

е. (2. 14) -Р' После подстановки (2.!2) в (2.!4) имеем Р— ) ~ $ М(х)ьь'х~п'х. ' ' "И вЂ” ЬР Правую часть полученного выражения проинтегрируем по частям: ьз уйх=ух — гзхйу, где у= 5 й!(Х)йх и ау=й т ) А!(«)й«3= у(х)й«1'ь, Тогда Рэ= — ч ~х ~ (т(х)ь(х — ~ ХИ(х)й«1. — ЬР— Ьр (2.! 5) Если для этого уравнения, показывающего распределение потенциала в р-л-переходе, учесть граничные условия (2.!1), то полное падение потенциала иа р-а-переходе Рр„,„— и = ) ХРТ(х) пх. РЬЬ -Ь Р 52 "'- Р Соотношение (2.12)' дает возможность найти распределение напряженности электрического поля или градиента потенциала в р-л-переходе с любым характером изменения в нем разности концентраций доноров и акцепторов. Если для этого уравнения учесть граничные условия (2.1!), то ) 7ьР(х)й«=О.

(2. 13) -ЬР Уравнение электрической нейтральности р-л-перехода (2.13) и уравнение для полного падения напряжения на р-и-переходе (2 !6) представляют собой систему двух уравнений с двумя неизвестными — пределами интегрирования. Решение этой системы уравнений дает положение границ р-л-перехода (бр и б ), которые до сих пор оставались неопределенными. Методы решения полученных уравнений Численное решение. Численные методы решения уравнений для распределения напряженности электрического поля и потенциала в р-и-переходе целесообразно применять при сложном распределении концентрации примеси. Для такого решения используют численный метод интегрирования.

Решение начинают при произвольно взятой координате х= — бр. Выполняют численное определение градиента потенциала дьэ/ь(х. Этот интеграл сначала возрастает по абсолютному значению, а затем падает, проходит через нуль и изменяет знак. Эначение координаты, при которой выполняется условие электрической нейтральности, определяет вторую границу р-п-перехода.

Однако при этом остается неизвестным значение напряжения. Для его определения проводят интегрирование градиента потенциала й~/ь(х. Значение этого интеграла при х=б„ и дает значение напряжения на р-л-переходе ьр„,„ — и. Таким образом, напряжение на р-и-переходе при численном методе решения получает. ся не аргументом, а функцией. Если же требуется выполнить расчет для заданного напряжения, то производят корректировку координаты — б,. В ходе такого решения распределения напряженности электрического поля и потенциала в р-л-переходе получаются как промежуточные значения интегралов.

Аналитическое решение. Аналитическое решение возможно в тех случаях, когда распределение концентрации примесей является интегрируемой аналитически функцией и полученная система уравнений имеет аналитическое решение. В частности, аналитическое решение возможно для резкого р-п-перехода, для плавного р-и-перехода с линейным распределением концентрации примесей и других плавных р-п-переходов. $ КЬ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ РЕЗКОГО ЗЛЕИТРОННОДЫРОЧНОГО ПЕРЕХОДА В соответствии с определением резкого р-п-перехода (см. $2.4) можно считать, что концентрация примесей изменяется скачком на металлургическом контакте, а в остальных частях перехода остается постоянной, т. е.

и РРР(х)= — РРРР при — бр(«(О (2. 17) М(х)=МР„прн бР)х)0. 53 Отношение 6»/6. Распределение напряженности При х(0 в соответствии с уравнением (2.12) и с условиями (2.17) градиент потенциала Е) = ~4 Фпн(»+6 ). (2.18) ) ( — Ф„)21»+)Ф с(х=0; — б, о 6,76„=6(п„, 6(„, йг(х! (2. 22) = — (М, бр — Ф»„х). (2.19) Определение границ н толщины р-п-перехода 6 = 6»+ бп. Распределение потенциала й( р+ й~и М, рр(((п»1»(х+ 6»)г(х '6, Отсюда (2. 23) = 4 й(„( „-6,)' (2.20) ф» ) (л ) с(х+ зз (» ) 8» Фа»бр+ — Ф»6»х— сР»пп ц= з (Ыа»6Р+ 6(ппбп).

(2.24) — — Ф х. Ч 2 2»з» (2.2! ) Таким образом, потенциал в резком р-и-переходе изменяется с координатой по квадратичной параболе (рис. 2.6). 4У„У 62 ~п» о (й( +й( ) (2.26) 54 55 Рис. 2.6. Распределение концентрации примесей У(х), плотности объемного заряда й, градиента потенциала 4ргй(х и потенциала ар в резком р-и-переходе без учета носителей заряаа ( †! и с учетом носителей заряда (...! При х)0 следует учесть, что подыитегральная функция в (2.12) имеет разрыв. Поэтому целесообразна записать о ( — 'Р ) = — 4 ~ ) Ф(х)с(х+ ~ м(х)гзх~= Таким образом, для резкого р-л-перехода получается линейная зависимасть градиента потенциала или напряженности электрического поля в р-а-переходе, наибольшее значение градиента получается на металлургическом контакте (рис.

2.6). Для расчета распределения потенциа- ла надо проинтегрировать выражения для его градиента, т. е. (2.18) и (2.19). Тогда Полученные выражения (2.18) — (2.21) содержат пока не известные значения границ р-и-перехода. Воспользовавшись условием электрической нейтральности (2.13), для резкого р-л-перехода получим т. е. металлургический контакт делит резкий р-п-переход иа части, толщины которых обратно пропорциональны концентрациям примесей в соответствующих областях.

Следовательно, при несимметричном легиравании областей (что чаще всего и бывает) р-п-переход расположен преимущественно в области с меньшей концентрацией примесей. Для определении границ резкого р-и-перехода целесообразно ввести полную толщину перехода: Полную толщину р-п-перехода можно выразить через толщину одной его части, учитывая (2.22): Найдя полную толщину р-п-перехода, можно с помощью соотношений (2.23) определить координаты его границ. Для получения выражения полной толщины р-л-перехода запишем полное падение потенциала после интегрирования (2.!6) с учетом условий (2.1 7); Подставив в (2.24) соотношения (2.23), получим Отсюда полная толщина резкого р-и-перехода (2.26) Реальные резкие р-и-переходы (например, сплавные) обычно бывают несимметричными, т.

е. )))чр )) )))рп иди )))хч )) )з)ар ° Поэтому толщина резкого несимметричного р-и-перехода ~/2еве Хч „— и (2.27) Влияние носителей заряда интрннндго- нн дадены гпннй анар леннарт РР м л' ~. ) чч — — ат Подвижные носители заряда могут оказывать влияние на распределение градиента потенциала и потенциала в резком р-л-переходе вблизи его границ н вблизи металлургического контакта. Вблизи границ р-и-перехода с учетом предположений, принятых для расчетов, плотность объемного заряда нескомпенсированных примесей изменяется скачком от нуля за пределами р-л-перехода до значения, отличающегося только множителем д от й)(х), т. е.