XVII Математическая статистика (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 5

Функцию ( Х ) и ( х Х ) (1.3) где и — объем случайной выборки, будем называть выбороч- ной функцией распределения. Согласно определению 1.4, при любом фиксированном х функция г (х; Х ) есть случайная величина, которая принимает одно из значений 1 2 и — 1 и 0 — —, ... — — =1 1 п и' и и ЬЗ.

Предеаряттльнел обработка реэультетое эксперименте 33 и имеет биномиальное распределение с параметром р, равным значению функции распределения генеральной совокупности Х в точке х, т.е. р = Р(х). Теорема 1.1. Для любого фиксированного х последовательность случайных величин (г (х;Х„)) сходится по вероятности при н — у со к значению Р(х) функции распределения генеральной совокупности Х в точке х. Р(х; Х„) — + Р(Х < х) = Р(х). Для каждой реализации х„функцию и(х,х„) аргумента х в дальнейшем будем обозначать н(х). Определение 1.5.

Эмпирической яерккцмеб распределения называют скалярную функцию Е„(х), которая определена для любого х Е Й следующим образом: т' (х) = —, а(х) (1.4) где и — объем выборки. Функция Е„(х) обладает всеми свойствами функции распределения. При зтом она кусочно постоянна и изменяется скачками в каждой точке хб1 (хб1 — 1-й член вариационного ряда). Если все выборочные значения хм...,х„различны, то функцию г„(х) можно записать в следующем виде: 0> х< х01, $ п — хб1 < х < хб+ь1, 1 = 1, н — 1; х ~ х(е]~ Р„(х) = ч При любом фиксированном х выборочная функция распределения г'(х; Х„) есть относительная частота события (Х < х).

В соотнетствии с законом больших чисел в форме Бернулли, относительная частота при и -+ оо сходится по вероятности к вероятности события (Х < х). Следовательно, 34 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОЙ ТЕОРИИ т.е. в каждой точке х01 функция г (х) имеет скачок величиной 1/п. График функции г„(х) изображен на рис. 1.1. Рис. 1.1 Замечание 1.2. Функция г'„(х) позволяет любую выборку (хм ..., х„) интерпретировать как генеральную сонокупность Х, все значения которой равновероятны, т.е.

Р(Х=х;) = —, 1= 1,п. 1 и Такая интерпретация позволит в дальнейшем рассматривать числовые характеристики случайной неличины Х как приближенные значения соответствующих числовых характеристик исходной генеральной совокупности Х. Из сказанного выше следует, что функция К,(х) является статистическим аналогом функции распределения г(х) генеральной совокупности Х. Функцию распределения г'(х) генеральной совокупности Х в математической статистике называют иногда теоретической функцией распределения.

В случае непрерывной статистической модели и большого объема выборки (свыше 50) экспериментальные данные удобнее представлять в виде интервального статистического ряда ЬЗ. Предаарительиал обработка реэультатоа эксперимента 35 (см. табл. 1.2). Разделив частоты и;/и = р; на длину о интер- валов 4 получим значения и;/(пЬ), 1 = 1, т.

и« вЂ” х Е ,У;; р„(х) — пЛ' О, хфА (1.5) График функции р„(х), представляющий собой кусочно посто- янную функцию на промежутке 1 = (гН1, х( 1), называют еис- тоероммой (рис. 1.2). Рис. 1.2 Часто гистограммой называют диаграмму, составленную из прямоугольников с основанием Ь и высотами н;/(пЬ), а = 1, т. Нетрудно увидеть, что суммарная площадь всех прямоугольников, образующих такую диаграмму, равна 1, так как о««а ~~) — = — ~~> п; = 1.

и и «=1 Определение 1.6. Эмпирической плотностью распределения, соответствующей реализации х„случайной выборки Х„из генеральной совокупности Х, называют функцию р„(х), которая во всех точках интервала,7;, 1 = 1, т, принимает и, значение — ', а вне интервала .7 равна нулю, т.е. п«а 36 ь ООИОВные пОИЯтиЯ ВыБОРОчнОЙ теОРии Кроме того, площадь каждого прямоугольника и;/и есть частота попадания элементов выборки в соответствующий интервал ,у( статистического ряда. Рассмотрим случайную величину и;(Х„)/и, которам для каждой реализации х случайной выборки Х„равна частоте и;/и.

В соотнетствни с законом больших чисел в форме Бернулли и;(Х„)/и при и -+ оо будет сходитьсм по вероятности к нероятности попадания случайной величины Х в промежуток 4, 1 = 1, т, т.е. р р(хрр(=/р(,(р*, где р(х) — плотность распределения генеральной совокупности Х. Если длина Ь промежутков достаточно мала и объем выборки и велик, то с вероятностью, близкой к 1, можно утверждать, что — ~ р(х;)Ь, и или — ж р(х;), ирл где х; — середина промежутка 4, 1= 1,т. Таким образом, при большом объеме выборки и и достаточно малом Ь с вероятностью, близкой к 1, можно считать, что р„(х) р(х). Иными словами, функция р„(х) является статистическим аналогом плотности распределения р(х), наблюдаемой в эксперименте случайной величины Х. Наряду с гистограммой часто используют другое графическое представление для приближенного описания функции р(х), которое называют полиаоном частиоти. По определению полигон частот — зто ломаная, отрезки которой соединяют середины горизонтальных отрезков, образующих прямоугольвики в гистограмме (рис.

1.3). Полигон частот используют ЬЗ. Преяварвттлькаа обработка результатов аколерамевта 37 также в том случае, когда в эксперименте наблюдают дискретную случайную величину Х. В этом случае по оси абсцисс откладывают все возможные (различные) значения случайной величины Х, полученные в эксперименте, а по оси ординат— соответствующие частоты р; = и;/и, и соседние точки соединяют отрезками прямой.

Рнс. 1.3 Пример 1.5. Измерен рост в=500 студентов. Результаты измерений представлены в виде интервального статистического ряда (табл. 1.4). Таблице 14 Построим гистограмму — график эмпирической плотности распределения роста студентов. Для построения гистограммы (рис. 1.4) нужно найти вы- борочную плотность распределения, используя формулу (1.5) и 1.3.

Предваритезьиал обработка результатов зкелеримеита 39 Пример 1.6. В условиях примера 1.4 построим полигон частот. Для этого найдем относительные частоты каждого из элементов выборки и представим результаты в виде таблицы (табл. 1.5). Таблица 1.б Построим точки с координатами (гб1,.и1/и), 1 = 1, 8, соединим их отрезками прямых (рис. 1.5).

О, 106 107 108 109 110 111 112 113 х Рис. 1.5 Выборочные числовые моменты. Пусть Х вЂ” случайная выборка иэ генеральной совокупности Х с функцией распределения г'(х) (и плотностью распределения р(х) в случае непрерывной статистической модели). Напомним (ХЧЦ, что, зная р(х) или г'(х), можно записать математическое ожидание функции у(Х) в виде Му(Х) = у(х) р(х) ах Мд(Х) = у(х) аЕ(х), 40 П ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОЙ ТЕОРИИ где последний интеграл есть интеграл Римана — Стилтьеса [ХЦ. При д(Х) = ХЯ или д(Х) = (Х вЂ” МХ)Я, й > 1, получаем соответственно начальные моменты тпь и центральные моменты тпл х-го порядка случайной величины Х: тол =М(Х") = х~дг(х) = х~р(х)дх, тйу,=М(Х-МХ) = (х — МХ)~ИГ(х)= (х — МХ) р(х)Ых. В частности, при д(Х) = Х и д(Х) = (Х вЂ” МХ) получаем формулы соответственно для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.

Все эти числовые хараитперистпиии в математической статистике называют тпеоретпичесиилти (или ееиеральиььии чис аовылти хараитперистпииалти, т.е. относящимися к генеральной совокупности). Так же, как функциям г'(х) или р(х) мы сопоставили их статистические аналоги — змпирические функции г„'(х) и р„(х), построенные по выборке х„, можно каждой теоретической числовой характеристике сопоставить ее статистический аналог, если в соответствующих формулах, приведенных выше, заменить г(х) на г„'(х), а р(х) на р„(х). Статистические аналоги теоретических числовых характеристик можно получить из следующих соображений.

Как отмечалось в замечании 1.2, любую выборку х можно рассматривать в качестве генеральной совокупности дискретной случайной величины Х, все значения которой равновероятны, т.е. 1 Р(Х=хД=-, т'=1,п. и 1.3. Предварителькал обработка результатов зкелерикеита 41 По определению начальные и центральные моменты и-го поряд- ка такой генеральной совокупности соответственно равны Ис = ь —..1 1 йь = — ~1 (х; — х), где 1с Х=Р1 = — З и, (1.6) ва1 Числа йы йь есть значения выборочных характперистик (ста- шиетвик) ръ(Х ) = — ~1 Х1 и йь(Х„) = — ~(Х1 — Х)", 1ьа1 где Х =Р,(Х„) =-~Х;, (1.7) т.е. ръ=~ц,(х„) й =йя(х„).

Выборочную характеристику йь(Х„) = — ~~» Х,". (1.8) называют выборочным цектпраяъкым моменьпом й-ео иорядка. В частности, выборочный центральный момент 2-го порядка оз(Х„) = йз(Х„) называют выборочной дисиерсиеб. называют выборочным начальным момеитиом Й-ео иорядка. В частности, выборочный начальный момент первого порядка Х = й1 (Х„) называют выборочкым средким. Выборочную характеристику 42 !.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОЙ ТЕОРИИ Выборочную характеристику о(Х„) = ф(Х„) называют выборочным средним квадрогпичным отклонением. Ве- личины з -з 1 гг =о~(х„) = — ~ (х; — х) и . г=! (1.9) 1 о' = о(х„) = — ~~! (х! — х) г=! (1.10) (1.12) где сг (Х„)= — ~~! (Х; — Х), с„(У„)=-~) (У;-Г), а=! ° =! называют выборочным коэффициентом корреляции.

являются статистическими аналогами соответственно дисперсии о~ = ОХ и среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности Х. Числа х, гг, сг, й», гг» будем называть соответственно средним эначением (или средним), дисперсиеб, средним квадрвгпичным отклонением, начальным моменпгом и центральным момен!ком 1с-го порядки выборки.

Выборочные характеристики можно ввести также и при рассмотрении выборок нз многомерных генеральных совокупностей. Так, например, рассмотрим случайную выборку (Х„, У„) объема и из двумерной генеральной совокупности (Х, У). Выборочную характеристику » К(Х„,У„) = - ~'(Х! - Х) (У; - У) (1.11) гъ»1 называют выборочным корреляционным момен!ком. Выборочную характеристику (Х У)- о (Х ) о (У ) !.3.