XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 6

Доказанное свойство задачи Коши (1.7), (1.8) позволяет утверждать, что если во второй задаче (1. 20) начальные данные продолжить нечетным образом на область х < 0 и рассмотреть получившуюся для функции н(х, 1) задачу Коши на неограниченной прямой с начальными данными 42 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА для всех 1 > 0 и х > 0 является также решением второй задачи (1.20).

Действительно, зта функция, являющаяся решением волнового уравнения, равна нулю в точке х = 0 в любой момент времени б > 0 из-за нечеткости начальных данных (1.26), а при 1 = 0 и х > 0 удовлетворяет начальным условиям второй задачи (1.20) п(х, 0) = ср'(х > 0) = (о(х), х > 0; п~(х, 0) = Ф*(х > 0) = чз(х), х > О. Таким образом, с учетом начальных данных (1.26) решение (1.27) второй задачи (1.20) можно окончательно записать в виде х+ас (о(х — а$) + у(х + а1) 1 /' 2 2а ./ х-ое х>0, 1<х/а; а$+х сз(х + а1) — ~р(а1 — х) 1 2 2а ./ аг — х х > О, 1 > х/а.

п(х, 1) = (1.28) Проанализируем полученное решение. В области х > а$ влияние границы не сказывается и решение (1.28) здесь полностью совпадает с решением для бесконечной струны (1.13). В области х < а2 волна, пришедшая из вспомогательной области х < О, реально описывает воздействие волны, отраженной от закрепленного конца х = О. Из решения (1.28) следует, что при отражении волны от закрепленного конца знак отклонения струны изменяется на противоположный. Замечание 1.3. Вторую задачу (1.20) можно решить и для случая свободного (незакрепленного) конца, когда граничное условие имеет вид о,(0, О = О. При решении такой задачи начальные данные следует продолжить в область х < 0 четным образом.

В такой задаче отражение волны от свободного конца будет происходить без изменения знака отклонения. 4Р 1.5. Краевые задачи дви гииерооличееиого урввиеиии 43 Как уже указывалось, решение задачи (1.19) можно записать в виде суммы решений (1.25) и (1.28) вспомогательных задач (1.20): х+ое р(* — а1)+р(я+ 1) ' Г В В 2 2а;/ х — о1 х>0, 1(х/а; р 1 /+ с х 1 у(х+ аФ) — у(а1 — х) + а/ а1+х 1 Г + — / ф(д)ад, х > О, 1> х/а. 2а,/ и(х,1) = (1.29) 1.5. Краевые задачи для гиперболического уравнения (1.30) В частности, однородное условие (р(1) = 0) задают в случае жесткого закрепления конца струны или стержня. Если задан закон изменения силы У(1), приложенной к концу стержня х = 1, то эта сила вызовет упругие напряжения в Математическое описание процессов поперечных колебаний струны нли продольных колебаний стержня конечной длины должно быть дополнено помимо начальных условий также граничными условиями.

Эти условия показывают, что происходит на концах струны или стержня в любой момент времени, Опишем задание различных граничных режимов на концах струны или стержня, расположенных в точках х = 0 и х = 1. При этом для описания выделим один из концов, например х = 1. Если задан закон движения р(1) этого конца, то решение задачи о колебаниях должно удовлетворять при х = 1 граничному условию первого рода 44 Б УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА стержне, причем по закону Гука упругая сила на конце стержня с площадью поперечного сечения д пропорциональна отноди сительному удлинению ди/дх и равна Ед —, где Š— модуль дх' Юнга материала. Следовательно, на конце стержня х = 1 должно выполняться граничное условие второго рода ди — = у(1), дх (1.31) ди Гд. — = — Ьи(1, й), или ~ — + Ьи~ = О, (1.32) дх, ~ где 6 = Ц(ЕБ) — некоторая постоянная. Естественным обобщением (1.32) является условие — + Ьи = д(1).

(1.33) Задачи отыскания решений уравнений колебаний с учетом начальных и граничных условий будем называть начально- краевыми, или просто краевыми, задачами для волнового уравнения. Краевые задачи, когда в граничных точках заданы условия первого, второго или третьего рода, назовем соответственно первой, второй или третьей краевыми задачами. Можно рассматривать и смешанные краевые задачи, если в граничных точках заданы условия различного типа. где у(~) = 3(4) )(ЕЯ). Если у(г) = О, то конец стержня является свободным. Пусть теперь к концу стержня при х = 1 прикреплена пружина, действующая на стержень с силой, пропорциональной смещению стержня и(х, 1) при х = 1. Эта упругая сила 3 = -к и(1, 4), где я — коэффициент жесткости пружины, будет играть роль внешней силы. Поэтому в таком случае на конце стержня должно выполняться граничное условие третьего рода ЬБ.

Краввмо эадачи лля гиоарболичеоиого уравиеаил 45 ди ди — =а —, 4)0, 0<х<1, (134) дР дх~' удовлетворяющее начальным условиям ди( иЬ=о='р(х) — ~ =Ф(х), О«1, 1=о (1.35) и однородным граничным условиям и! =о=О и! г — — О, 1эО, (1.36) Идея метода Фурье основана на линейности и однородности уравнения и граничных условий. В этом случае справедлив принцип суперпозиции для любых частных решений и1 и и2 уравнения (1.34), удовлетворяющих условиям (1.36), т.е.

функция и = С1и1 + Сои2, где С1 ч = сопя4, также удовлетворяет уравнению (1.34) и граничным условиям (1.36). Оказывается, что с помощью суперпознции линейно независимых частных решений можно выполнить также и начальные условия (1.35). Будем искать нетривиальное решение уравнения (1.34) в виде произведения двух функций (1.37) и(х, 4) = Х(х) Т(1), одна из которых зависит только от переменного х, а другая— только от 1. Дифференцируя дважды выражение (1.37) по х и по 4, после подстановки его в уравнение (1.34) получим Х(х) Т"(1) = а Хи(х) Т(4), Метод разделения переменных, или метод Фурье, является одним из основных методов решения задач математической физики в ограниченных областях. Изложим этот метод для задачи о свободных колебаниях ограниченной струны с закрепленными концами, которая формулируется следующим образом; найти решение однородного волнового уравнения 46 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА или 1 Т" (Ф) Х" (х) = -Л.

а~ Т(Ф) Х(х) (1.39) Отсюда следует, что функции Т(1) и Х(х) можно определить из решения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Т~~(1) + Л а~Т(1) = 0; Хл(х) + Л Х(х) = О. Чтобы такие частные решения вида (1.37) удовлетворяли граничным условиям (1.36) для любого 1 > О, необходимо потребовать выполнения условий Х(0) = 0 и Х(1) = О. Таким образом, для отыскания координатной функции Х(х) приходим к следующей задаче. Найти такие решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка Х"(х) + Л Х(х) = О, 0 < х < 1, (1.40) которые в граничных точках х = 0 и х = 1 удовлетворяют условиям Х(0) = О, Х(1) = О. (1.41) 1 Т"(4) Х" (х) (1.38) а2 Т(~) Х(х) Равенство (1.38) должно соблюдаться при всех значениях х Е (О, 1) и 1 > О.

Особенностью равенства (1.38) является разделение переменных в нем, т.е. его левая часть зависит только от ~, а правая — только от х. Поэтому, если, например, зафиксировать х, правая часть, а вместе с ней и левая должны сохранять постоянное значение при различных значениях ~. Аналогично левая часть, а следовательно, и правая часть равенства при фиксированном 1 не должны изменяться при изменении х. Но тогда однозначно вытекает вывод о том, что равенство (1.38) будет справедливо лишь в том случае, если обе его части вообще не зависят ни от х, ни от Ф, т.е. являются постоянной величиной.

Обозначив эту постоянную разделения буквой Л со знаком минус, запишем (1.38) в виде Ьб. Краевые задачи длл гиперболического урввиеиил 47 При любом Л = сопя~ эта задача имеет тривиальное решение Х(х) = О. Однако ниже будет показано, что при некоторых положительных значениях постоянной Л задача (1.40), (1.41) имеет и нетривиальные решения.

Такие "особенные" значения Л называют собсуаеенными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения Х(х) — собсгзвенными фуннцнлмн задачи (1.40), (1.41). Задачу отыскания собственных значений и собственных функций называют задачей Штпурма — Аиувиллл. Общая постановка такой задачи дана в Приложении 2. Возвращаясь к задаче (1.40) и (1.41), рассмотрим отдельно случаи, когда константа разделения Л равна нулю, отрицательна или положительна. При Л = 0 общее решение уравнения (1.40) есть линейная функция Х(х) = С1 + С2х, которая может удовлетворить обоим условиям (1.41) лишь при С1 = Со = О. Таким образом, при Л = 0 задача (1.40), (1.41) имеет только тривиальное решение Х(т) ьв О. Если Л < О, то общее решение уравнения (1.40) Х(х) = С1сЬ(ДЛ/ х) + СзяЬ(~//Л/ х) при подстановке в граничные условия (1.41) дает С1+С~ 0=0; С1сЬ(ДЛ/1) + СгвЬ(ДЛ/1) = О.

Так как определитель этой однородной системы к7 = вЬ(ДЛ~1) при любом значении Л < 0 не равен нулю, то единственным ее решением является решение С1 = Со = О. Следовательно, у задачи (1.40), (1,41) нет неположительных собственных значений. Остается рассмотреть случай Л > О, когда общее решение уравнения (1.40) Х(х) = С1 сов(~ГЛх) + Сч в1п(Лх) 48 Е УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА может удовлетворить граничным условиям Х(0) = С1 + С2 0 = 0; (1.42) Х(1) = С1 сов(~IЛ1) + С2 в1п(ъУЛ() = 0 при С1 = О, но С2 = С ~ О, если определитель системы (1.42) Ю = в1п(~/Л1) = О, что выполняется при ~/Л1= пя, и = 1, 2,...