X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 4

Пусть з = 1+11/3. Найдем г12. для этого запишем комплексное число з в тригонометрической форме, вычислив предварительно ф и агяг. Имеем (з! = 1/1+3 = 2, агяв = агс161/3= — и в =2~сов — +гв1п-11. 3 ~ 3 3/ Тогда, согласно (1.24), г =2 ~сов — +гзш — ) =2 (соз4я+гвш4я) =2 12я . 12я~ 12 3 3 ) б. Пусть в = — 1. Найдем 4/г. Запишем з в тригонометрической форме: з = — 1 = сов(я+ 2Ьг) + 1зш(х+ 2й1г). В силу (1.26) запишем 2г+ 2йя .. я+ 2йя 4 +1шп 4 КЗ.

Бескояечяо удалеяяак точка. Сфера Рямаяа 25 Полагая я = О, 1, 2, 3, выпишем все четыре значения корня: я, . я ~/2 24 =сов — +ззш — = — (1+з), 4 4 2 зг+2я, . 2+22 за 22 = СОЗ +ЗВ1п = — ( — 1+3), 4 4 2 зг+4я . к+4к ~Г2 22 = СОВ 4 +звш 4 2 = — ( — 1 — з), я+62', . я+бя ~Г2 24 = Соз +ззш 4 2 = — (1 — 4). Точки, изображающие эти комплексные числа, являются вершинами квадрата и расположены на окружности радиуса 1 с центром в точке 2 = О (рис. 1.5). Г2 22= 2 ~Г2 2З= 2 Рис. 1.б 1.3.Бесконечно удаленнан точка.

Сфера Римана Выберем в пространстве прямоугольную систему координат О(щ~, оси О~ и Ог1 которой совпадают с осями Ох и Оу системы координат Оху комплексной плоскости (рис. 1.6), и рассмотрим сферу Я единичного диаметра с уравнением ( 2) 4' (1.28) касающуюся плоскости С в начале координат. 26 Ь КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ Каждому комплексному числу г = х+ ту, Х Жа; а' П изображаемому в плоскости С точкой (х; у), < поставим в соответствие точку Я((; 9; Х) 2 'Е пересечения со сферой з луча, соединя- ющего „северный полюс" Л(0; 0; 1) сферы О в с точкой г.

Точку в называют сферах т 4 ческим изображением комплексного числа г е С. При такой геометрической интерпретации „южному полюсу" сферы Ь' соответствует комплексное число г = О, ее „меридианам"— комплексные числа г с одинаковым главным значением арзуменпта атяг = сопа1 (лучи комплексной плоскости, исходящие из начала координат), а „параллелям" — комплексные числа г с одинаковым значением модуля )г~ = сопа$ (окружности плоскости С с центром в начале координат). Итак, если сферу рассматривать как множество о точек г,, то можно говорить о взаимно однозначном соответствии между точками множеств С и о"1 (М1, поскольку точке Дт не соответствует ни одна точка г Е С Условимся считать, что точка М соответствует бесконечно удаленной тпочке г = со.

Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между сферой о и расширенной комттлексной плоскостпью С, которая получается добавлением к комплексной плоскости С бесконечно удаленной гочки оо. Далее будем отождествлять расширенную комплексную плоскость С со сферой о', называемой сферой комплексных чисел, или сферой Римана. Тогда плоскости С будет соответствовать множество з '1 (Ф)— сфера с выколотым „северным полюсом" (точкой Л). Чтобы установить формулы связи между декартовыми координатами х и у точки, изображающей комплексное число г = х+ ту, и координатами (, т1 и К ее сферического изображения о, составим параметрические уравнения прямой Мг (см. рис. 1.6), проходящей через точку Ф(0; 0; 1) и имеющей КЗ.

Бесконечно удалеянан точка. Сфера Римана 27 направляющий вектор (х; у; — Ц: ( = $х, и = 1у, Х = 1- Ф. (1.29) Подставляя (1.29) в (1.28) в точке Е пересечения луча 1ч'я с поверхностью сферы получаем 1 1 1+ ха+ уз 1+ !я!з' Отсюда с учетом (1.29) находим координаты точки Я стерео- графической проекции комплексного числа ач х у !я! 4=1+!,!з> 0=1+!,р Х=1+!,р.

(1.30) Последнее из равенств (1.30) позволяет написать ! !'= Тогда из первых двух равенств (1.30) получаем формулы обрат- ного преобразования". 0 х= у= Х 1 Х (1.31) Замечание 1.1. Сфера Римана Я, будучи ограниченным и замкнутым множеством, является компактным .нножестволе В соответствии с введенным понятием бесконечно удаленной точки полагают, что такая точка одна на комплексной плоскости,тогдакак,например,при рассмотрении пополненного леножества действительных чисел и соответствующей ему расширенной числовой прямой были введены две бесконечные точки: +со и — оо [1-1.3].

В отличие от конечных точек комплексной плоскости бесконечно удаленная точка не участвует в алгебраических операциях: она введена лишь для удобства геометрических представлений. 28 ь комплккснля плоскость [1-5.5). Поэтому добавление к множеству С комплексных чисел бесконечно удаленной точки называют часто компактификацией этого множества, а полученную в результате этого расширенную плоскость С вЂ” компактифицированной комплексной плоскостью.

№ Отображение, ставящее каждому комплексному числу в соответствие его сферическое изображение, обладает важным свойством: при этом отображении окружности на комплексной плоскости переходят в окружности на сфере Римана и, наоборот, окружностям на сфере Римана, не проходящим через „северный полюс", соответствуют окружности на комплексной плоскости. Докажем это. Любую окружность на комплексной плоскости С можно задать уравнением (х — хс)г+ (у — у„)г дг где гс = хе+1ус — центр окружности, а  — ее радиус.

Заменяя в этом уравнении переменные х и у переменными (, ц, К в соответствии с формулами (1.31), находим ( -хс) +( ~ -ус) =Л . (1.32) Таким образом, кривы на сфере Римана, которой на комплексной плоскости соответствует рассматриваемая окружность, может быть задана системой уравнений < ~~+6~ — 2(~хо+ПУс)(1 Х)+ (хо+ Уо)(1 — Х)г = Лг(1 — Х)~, ~г+ Нг+ хг где первое уравнение получено простым преобразованием уравнения (1.32), а второе описывает сферу Римана. Заменяя в первом уравнении выражение ~~+ Н~ с помощью второго уравнения, а затем сокращая на 1 — к, получаем эквивалентную КЗ. Бесконечно удааеннан точка.

Сфера Рамена 29 систему < 2М+ 2уоу+ (хо+ Уо — гс — 1)Х+ Ф вЂ” хо — Уо) = О сг+ Ог+ ~г Легко заметить, что первое уравнение системы — это уравнение плоскости. Значит, искомая кривая является сечением сферы Римана плоскостью, т.е. окружностью. Рассмотрим на сфере Римана произвольную окружность, которую можно определить как сечение сферы некоторой плоскостью А( + Вп + С1с + Р = О. Окружность (а значит, и плоскость) не проходит через „северный полюс", если А О+ В.

О+ +С 1+Р у~ О, или С+Рф О. В уравнении плоскости заменим переменные (, и, 1с в соответствии с формулами (1.30): Ах Ву С(а)г 1+! Р 1+! Р 1+! Р + + +Р=О. Отсюда с учетом равенства ~н~~ = х + у находим (С+ Р)(хг + уг) + Ах+ Ву+ Р = О.

При С+ Р Ф 0 это алгебраическое уравнение второго порядка описывает в плоскости С окружность. Отметим особый случай, когда окружность на сфере Римана проходит через „северный полюс". В этом случае окружность получается сечением сферы Римана плоскостью А(+ + Вп+ С1с+ Р = О, для которой С+Р = О. Повторяя рассуждения, изложенные выше, приходим к выводу, что такой окружности на комплексной плоскости соответствует прямая Ах+Ву+Р=О. Несложно показать, что любой прямой Ах+ Ву+ Р = 0 на комплексной плоскости соответствует окружность сферы Римана, расположенная в плоскости А~ + Вп — Ру„+ .Р = 0 и проходящая через „северный полюс".

Таким образом, прямым комплексной плоскости на сфере Римана соответствуют окружности, проходящие через „северный полюс", и только они. 30 1. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ 1.4. Геометрия на комплексной плоскости Введем на множестве С обычную евклидову метрику, в которой под расстоянием между двумя точками г1 = х1+ 1у1 и гг = хг +1уг из С понимают д(з1> 22) = 122 е1~ = (1.33) ~гг — г1 ~ Р(гм гг)— >>> +1аР»с> Р Р' (1.34) Введение каждой из двух метрик (1.33) или (1.34) превращает множество С в метрическое пространство, так как при этом удовлетворяются обычные аксиомы расстояния [1-5.1]. В частности, неравенство тпреуеольнина для метрики (1.33) равносильно уже указанному ранее (см. 1.2) неравенству (г1+ ег~ ( (зц+ ~гг!.

(1.35) Отсюда, как следствие, получаем ()з1! — (гг(! ~( )г1 — гг). (1.36) Используя сферическую метрику (1.34), можно ввести расстояние между точкой х и бесконечно удаленной точной г = оо как евклидово расстояние между их сферическими изображениями е и Ж (см. рис. 1.6): 1 р(г, оо) = ,/1+ фг' (1.37) Имея в виду сг1еричесное изображение комплексного числа, можно ввести на комплексной плоскости и иную метрику. В этой метрике, называемой сферической мепьринои под расстоЯнием межДУ точками ем 22 Е С понимают РасстоЯние в евклидовом пространстве >аз между их сферическими изображениями е1 и Яг.

Используя (1.30) и проводя соответствующие алгебраические преобразования (или же обратившись к элементарной геометрии), можно показать, что это расстояние равно 31 1.4. Геометрия иа комплексной плоскости Нетрудно убедиться, что (1.37) в сочетании с (1.34) превращает множество С в метрическое пространство. Пусть е > 0 — произвольное число. Под е-онреспзмосшью [) (ге, е) гпочхп гс Е С в евклидовой метрике понимают открытый круг радиуса е с центром в этой точке, т.е. П(гс, е) = (г Е С: п(г, ге) < е1. (1.38) Под е-окрестностью точки ге Е С в сферической метрике пони- мают множество 1г Е С: р(г, гз) < е1. (1.39) Рассмотрим на плоскости С ограниченное множеспьео М=(гЕС ф <В), где 0 < В < со.