VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 6

с сь + /)с ((, (о)-с~(с,р(о))л!< сь с ( )Уо — хо) + ЬЬ+ Ь )х(() — Р(()) Щ . со Если теперь применить интегральное неравенство (2.4) Гронуолла при и(Ф) = )х($)-р(Ф)! >О, и(Ф) =ь) О и А= )хв — уо)+ 2.3. Оценка разности решений двух уравнений 39 + ЬЬ ) )О, то будем иметь ]х(а)-У(е)[ < ([хо-Уо[+ЬЬ)е 1 ' < [[хо — уо[+Ькз) е~". (2.14) Это неравенство позволяет сформулировать важные следствия, но предварительно дадим ряд определений.

Определение 2.2. Реизеяне ОДУ(2.1) непрерывно зависит от начальных условий, если для любого е > О существует такое б(е) > О, что при [хо — уо[ < Ю для любого 2 Е [Фо — Ь,йо+Ь] будет выполнено неравенство ]х(с) — у(с)] < е, где х(с) и у(с)— решения задач (2.13) Коши в случае 11 = зз =з. Определение 2.3.

Решение задачи Коши (2.1), (2.2) непрерывно зависит от правой части ОДУ (2.1), если для любого е > О существует такое д(е) > О, что при Ь < 6(е) для любого 1Е [Фо — Ь,1о+Ь] будет выполнено неравенство [х(Ф) — у(Ф)[ < е (здесь х(с) и у(й) — решения задач (2.13) Коши в случае хо = Уо).

Предположим, что правая часть ОДУ зависит от паралепзра Л Е Л (Л вЂ” некоторый отрезок числовой прямой а1): — =у(с,х, Л), сЬ (2.15) а х($, Л) — решение (2.15), удовлетворяющее начальному усло- вию х(го, Л) = хо. (2.16) Определение 2.4. Решение х(й, Л) задачи (2.15), (2.16) Коши непрерывно зависит от параметра Л, если для любого е >О существует 4(е) > О, такое, что при всех [ЬЛ[<о(е) для любого 2 Е [2о — Ь,1о+ Ь] будет выполнено неравенство [х(а, Л+ сзЛ) — х(а, Л)] < е, где х(с, Л+ О Л) — решение задачи (2.15), (2.16), соответствующее у(й, х, Л+ ЬЛ) в правой части (2.15). Применим (2.14) к исследованию свойств решений ОДУ, удовлетворяющего условиям теоремы 2.2 Коши. 40 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ОДУ Следствие 2.1.

Решение ОДУ (2.1) непрерывно зависит от начальных условий, если правая часть (2.1) удовлетворяет условиям теоремы Коши. ~ Пусть в (2.13) функции у1 и уз совпадают с функцией у(Ф, х) в правой части (2.1). Тогда в прямоугольнике Ю1 имеем Ь = 0 и с учетом (2.14) получаем !х(1) — у(1)~ <!хо — уо~е И Е (1о — /ь, 1о+Ц. Если для любого е > 0 выбрать 6(е) = ее ~а, то при условии (хс — ре~ < д(е) будем иметь ~х(8) — р(8)! < е, т.е. в силу определения 2.2 решение ОДУ (2.1) непрерывно зависит от начальных условий.

в Следствие 2.2. Решение задачи Коши (2.1), (2.2) непрерывно зависит от правой части ОДУ (2.1), если она удовлетворяет условиям теоремы Коши. ~ Пусть в (2.13) хе = ро. Тогда из (2.14) имеем /х(1) — у(1)$ < йЬеьь. Если для любого е > 0 выбрать 6(е) = ее ь" /Ь, то при условии Ь < 6(е) получаем ~х(8) — у(8)~ < е, т.е., согласно определению 2.3, решение задачи Коши (2.1), (2.2) непрерывно зависит от правой части ОДУ (2.1). > Следствие 2.3. Решение х(Ф, Л) задачи Коши (2.15), (2.16) непрерывно зависит от параметра Л, если при Л Е Л правая часть у(8, х, Л) ОДУ (2.15) удовлетворяет условиям теоремы Коши и д~/дЛ(Ф,х,Л) непрерывна в О.

~ Рассмотрим два различных значения параметра Л = Л1 и Л = Лз. Оценим разность ~У(е,х,Лз) — у(й,х,Л1)~, используя теорему Лагранжа о конечных приращениях функции, справедливой в силу непрерывной дифференцируемости функции ~(й,х,Л) по Л: !~(й,х,Лз) — Я,х,Л1)~ = — (1,х,Л1+6(Лз — Л1)) ~Лз — Л1~, дУ 2.3. Оценка рввноетн решений двух уревненнй 41 где О < 9 < 1. Поскольку переменные Ф и х принадлежат замкнутой области .О, то существует постоянная А > О, для которой )д//дЛ(й, х, Л1+ 9(Лг — Л1)) ~ < А.

Поэтому справедлива оценка фй, х, Лз) — /(С,, х, Л1) ~ ( А~ Лз — Л1/. В силу выполнения условия Липшица по х существует Ь > О, такое, что !/(~ х«,Л,),Л,)-У(С,х(~,Л,),Л,)~ < ! (~,Л,)- (~,Л,)~. Из этих неравенств, согласно (2.14), следует, что ! х(й, Лг ) — х(й, Л1) ~ < А ! Лг — Л1 ! йе~~. Если для любого е > О выбрать 6(е) = ее ~"(АЬ) 1, то при условии ~Лз — Л1~ < 6(е) получим /х(й, Лз) — х(Ф, Л1) ~ < е, т.е. в силу определения 2.4 решение задачи Коши (2.15), (2.1б) непрерывно зависит от параметра Л Е Л.

В начальном усяовии (2.15) параметр Л принимает значения Л1 и Лг. ~в Пример. Рассмотрим задачу Коши для ОДУ Их/еМ = -х+ + Лхз с начальным условием х(О) = 1. Правая часть ОДУ непрерывно зависит от параметра Л Е К. Поэтому, согласно следствию 2.3, решение этой задачи Коши должно непрерывно зависеть от Л. В частности, это решение при Л -+ О должно стремиться к решению х(8) = е ' задачи Коши с тем же начальным условием, но для ОДУ дх/еМ = -х, которое следует из исходного ОДУ при значении Л = О. Действительно, непосредственной подстановкой можно проверить, что решением исходной задачи Коши будет 2 ей Л+(2 — Л)ел' причем 11шх(Ф,Л) =е '.

Ф х-+О 42 я. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ОДУ Выполнение условий теоремы Коши гарантирует существование и единственность решения задачи Коши (2.1), (2.2), называемого также часгпным решением ОДУ (2.1) первого порядка, удовлетворяющим начальному условию (2.2). Зафиксируем 1в и будем считать начальное значение хв переменным параметром, принимающим различные числовые значения, не выходящие за область В (2.6), в которой выполнены условия теоремы Коши, т.е. условия, накладываемые на правую часть ОДУ (2.1). Обозначим хв — — С, где С вЂ” некоторая постоянная.

Определение 2.5. Решение ОДУ (2.1) вида х = х(1, С) называют общим решением этого ОДЗ' первого порядка в области О, если для любой точки (Ф„х,) Е Х) существует значение параметра С = С„которое удовлетворяет равенству х, = х(Ф„С,), и х = х(1,С,) — частное решение ОДУ (2.1) с начальным условием (2.2) в виде х($,) = х„. Если общее решение не разрешено явно относительно х, т.е. имеет вид соотношения Ф(8, х, С) = О, обращаемого в тождество в любой точке (х„,$„) Е В выбором некоторого значения параметра С = С„то такое соотношение называют общим ингпегралом ОДУ(2.1) первого пор*дна в области Р.

Пример 2.1. Рассмотрим ОДУ сЬ/Ж = 1+ х~. Его правая часть зависит только от х. Она определена, непрерывна и имеет непрерывную производную по х при всех значениях хай, т.е., согласно теореме 2.2 Коши (с учетом замечания 2.1), через любую точку плоскости ФОх проходит единственная иншегральная кривая этого ОДУ. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что функция х($,С) = Фб(3+ С) при любом значении произвольной постоянной С удовлетворяет этому ОДУ, т.е. является его решением.

Согласно определению 2.5, эта функция будет общим решением данного ОДУ, поскольку для любой точки (8„х„) Е е ж~ существует значение С, = агсФЕх, — Ф„такое, что х„= = х(Ф„С,) = 1я(Ф, + С,). Так как через эту точку проходит только одна интегральная кривая рассматриваемого ОДУ, то 2.3. Оценка рееноетн решений двух уревненнй 43 график функции х($) = 18(Г+ С,) и является именно этой интегральной кривой.

Следовательно, функция х(1, С) = 18(й+ С) представляет все решения данного ОДУ в области 1ез. Интегральные кривые в виде таигеисоид, сдвинутых вдоль оси ОФ иа произвольное расстояние С, заполняют всю плоскость $0х. Соотношение Ф(1, х, С) =агс$8х — 1-С=О является общим интегралом рассматриваемого ОДУ в области йз.

Действительно, из этого соотношения для любой точки (г„х,) Е Йз также можно найти значение С, = агс~бх, — 1„удовлетворяющее частному решению х(г, С,) = 18(г+ С,) данного ОДУ с начальным условием х(г.) = х,. Уравнение агс$8х — $ — С, = 0 в неявном виде задает функцию х(г), график которой является интегральной кривой этого ОДУ, проходящей через точку (е,„,х,) Е К . Пример 2.2. Правая часть ОДУ еЬ вЂ” =х — 1, сМ (2.17) как и в примере 2.1, ие зависит от $, определена, непрерывна и имеет непрерывную производную по х при всех значениях х Е И. В силу замечания 2.1 и теоремы 2.2 Коши через любую точку плоскости ФОх проходит едивствеииая интегральная кривая ОДУ (2.17).

Значения х = ~1 обращают правую часть ОДУ (2.17) в нуль. Поэтому х1(г) =1 и хз($) ш-1 являются его решениями. Кроме того, несложно проверить, что функция 1+ Сея~ х(г) = 1 — Се2$ (2.18) удовлетворяет ОДУ (2.17) при любом значении постоянной С, т.е. является решением этого ОДУ. При С= 0 из (2.18) следует решение хг(Г) ы 1. Интегральные кривые ОДУ (2.17), описываемые с помощью (2.18), при С < 0 заполняют в плоскости $0х полосу -1 < х < 1, а при С > Π— полуплоскости х > 1 и х <-1 (рис.

2.3). 44 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ОДУ Рис. 2.3 Действительно, если записать (2.18) в виде (х — 1)/(х+ 1) = = Сез', то в силу неотрицательности экспоненциальиой функции ез' равенство при С < О возможно лишь для значений х Е ( — 1, 1). Точкам в полуплоскости х > 1 отвечает условие Сея~ < 1, или С < е 2', а точкам в полуплоскости х < — 1 Сея' > 1, или С > е 2~.

Но не существует значения С Е К, которое, будучи подставленным в (2.18), соответствовало бы решению хз($) = — 1. Таким образом, (2.18) не является общим решением ОДУ (2.17) в области К2 в смысле определения 2.5, поскольку для любой точки ($„, — 1) Е К2 не существует такого значения параметра С, Е К,которое бы удовлетворяло равенству -1 = = (1+С,е~')/(1 — С,ез'*). Это равенство можно выполнить лишь в случае перехода в его правой части к пределу при 45 2.4. Изоклииьт и их использование С, -+ оо. Вместе с тем (2.18) является общим решением ОДУ (2.17) в области Р = Кг '1 (($, -1): $ Е $Ц, т.е. в плоскости $0х, из которой удалены точки прямой х = — 1.

Отметим, что фУнкциЯ х(ь) = (Ст + езт)/(Ст — ег') также удовлетворяет ОДУ (2.17) при любом значении постоянной Сы а при значении С1 = 0 включает и решение хг(Ф) = — 1, но не включает решения хт(1) ив в 1. Следовательно, эта функция также не является общим решением ОДУ (2.17) в области 22. 2.4. Изоклнны н нх использование для приближенного построения интегральных кривых Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) (2.1) первого порядка каждой точке (Ф, х) Е Р прямоугольной обласпти Р (2.6) ставит в соответствие определенное значение дх(й = у(ь',х) = $8ст, где ст — угол между касатпельной к интаегральной кривой и координатпной осью ОФ.