III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 7

Аналогично, элемент 61 (с1) умножается на определитель второго порядка, который можно получить из вычисляемого определителя вычеркиванием в нем 1-й строки и 2-го (3-го) столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Отметим, что знаки слагаемых в правой части (2.4) чередуются начинал со знака плюс. 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 48 Исключив аналогичным приемом из уравнений системы (2.5) неизвестное у, найдем (агЬз — азЬ|)х = стЬз — сзЬт.

Если определитель который называют определитпелем систпемы втпороео по- рлдка (2.5), не равен нулю, то единственное решение этой системы имеет вид Дв и — — у=— Д 1 Д ! (2.6) где определители с! Ьт ат ст а! х+ 6|у+ стл = дм азх + Ьзу+ сто = аз, азх + 6зу+ сзл = дз (2.7) относительно неизвестных х, у, з. Формулы Крамера в этом случае имеют вид Д' Д' (2.8) получаются из определителя Д заменой столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец правых частей системы (2.5). Решение системы (2.5) в виде (2.6) называют утормулами льрамера (Г. Крамер (1704 — 1752) — швейцарский математик).

Они выражают при Д;6 0 единственное решение системы (2.5) через ее коэффициенты. Аналогичным образом может быть записано решение системы тпрех лииебиых уравнеииб 49 г.г. Сквллрное произведение где И, Ьт с, ттг Ьг сг «3 ЬЗ сз и позволяют нанти единственное решение системы при условии, что оттределитель 9 системы третьеео порлдма не ра- вен нулю. Пример 2,3. Система трех линейных уравнений 2х-Зу-42=6, Зх+ 5у+ 23 = 1, 5х+2у — 33=8 имеет единственное решение, так как ее определитель не равен нулю. Вычисляя еще три определителя 2 6 -4 3 1 2 5 8 -3 =-19, Ьт= =О, =19, по формулам Крамера (2.8) находим, что единственным реше- нием рассматриваемой системы является х =1, у= О, х=-1. 2,2.

Скалярное произведение Есть несколько операций умножения вектиоров. В результате первой из них мы получаем действительное число, т.е. скалярную величину. ат Ьт ст аг Ьг сг аз Ьз сз 6 — 3 -4 1 5 2 8 2 — 3 ат 4 и, аз ИЗ пз 2 — 3 — 4 3 5 2 5 2 -3 ст С2 СЗ ат Ьт т12 аг Ьг т12 аз Ьз ~13 2-36 3 5 1 5 2 8 50 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ Определение 2.1.

Скаллрнььи произведением двух векторов а и Ь называют число, равное )а~ ~Ь|сов~р — произведению длин )а~ и ~Ь| этих векторов на косинус уела у между ними. Скалярное произведение векторов а и Ь далее будем обозначать аЬ, хотя в литературе встречается и обозначение (а, Ь). Используя теорему 1.1, можно выразить скалярное произведение двух векторов через ортогональную проекцию на направление.

Если вектор а ненулевой, то скалярное произведение аЬ векторов а и Ь получается перемножением длины вектора а и ортогональной проекции вектора Ь на направление вектора а: аЬ = )а~праЬ. Аналогично при Ь ф 0 имеем равенство аЬ= ~Ь|прьа. Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой (т.е. равен 90'), то такие векторы называют ар|конопельными. Если хотя бы один иэ двух векторов является нулевы.н, то их скалярное произведение будет равно нулю независимо от того, какое значение выбрано в качестве угла между векторами.

Нулевой вектор считают ортогональным любому другому вектору. Теорема 2.1. Для того чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю. й Согласно определению 2.1, скалярное произведение ненулевых векторов а и Ь равно ~а~ )Ь|сов~р.

Поэтому его знак определяется углом у между векторами а и Ь: — угол ~р острый: аЬ > 0; — угол у тупой: аЬ(0; — угол у прямой: аЬ= О. Мы видим, что два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда угол между ними прямой. Если один из векторов является нулевым, то скалярное произведение также равно нулю. При этом угол между векторами не определен, 51 2.2. Скалярное пронэяеденне но, как уже было отмечено, считают, что нулевой вектор ортогонален любому другому.

> Скалярное произведение имеет следующие свойства. 1'. Скалярное произведение коммутативно: аЬ = Ьа. ~ Свойство непосредственно вытекает из определения 2.1, так как скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей. ~ 2'. Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна: (Ла)Ь = Л(аЬ). ~ Если Ь = Π— нулевой вектор, то обе части доказываемого равенства равны нулю. Если же Ь ф О, то, используя выражение скалярного произведения через ортогональную проекцию вектора на направление вектора Ь и утверждение теоремы 1.2, получаем (Ла)Ь = Ь(Ла) = /Ь! прь(Ла) = Л ~Ь| прьа = Л(аЬ).

3'. Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности: (а+ Ь)с= ас+ Ьс. я Доказательство аналогично предыдущему. При с=О обе части доказываемого равенства равны нулю. Если же с ф О, то удобно выразить скалярное произведение через ортогональные проекции векторов на направление вектора с.

Используя теорему 1.2, находим (а+ Ь)с = ~с~ про(а+ Ь) = ~с~ (прса+ прсЬ) = = )с) прса+ ~с~ пр Ь = ас+ Ьс. Величину аа называют сяаллряым явадраязом веяязора а и обозначают аз. 4'. Свойство скалярного квадрата: аз ) О, причем аз = О только при а = О. 52 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ М Действительно, а = аа= )аЙа)соеО = )а) . Поскольку квадрат длины вектора — всегда неотрицательное число, то неравенство а~ > 0 выполнено всегда. Равенство аз = 0 эквивалентно соотношению ~а~ = О, т.е. тому, что а— нулевой вектор.

° Замечание 2.1. Свойства 2'-3' часто объединяют в свойство лннейностпи сналлрноео проиэееоеннл относительно первого сомножителя, Благодаря коммутативности скалярного произведения (свойству 1') скалярное произведение линейно и по второму сомножителю. Действительно, а(ЛЬ) = (ЛЬ)а = Л(Ьа) = Л(аЬ), а(Ь+ с) = (Ь + с) а = Ьа + са = аЬ + ас. Свойства скалярного произведения часто используют при решении задач. Пример 2.4. Найдем длину нектора а = Зс — 2с1 при условии, что ~с~ = 5, ф = 4, а угол ~Р между векторами с и д равен 60'. Поскольку ~а~ = ~/оаа, то, вычисляя скалярный квадрат вектора а, находим, что аа = (Зс — 2(1)(Зс — 2с1) = = 9сс — 12Ы+ 4сЫ = 9 (с~~ — 12)с~ф соь~р + 4 ф = 9 ° 25 — 12 5 .

4 0,5+ 4 - 16 = 225 — 120 + 64 = 169. Следовательно, ~а~ =,/аа = 13. Пример 2.5. В треугольнике АВС угол при вершине А равен 120', а длина стороны АС в три раза больше расстояния между вершинами А и В. Найдем острый угол у между стороной ВС и медианой АМ треугольника. 53 2.2.

Скверное произведение Угол у между стороной в ВС и медианой АМ (рис. 2.1) М равен углу между векторами ыо' ВС и АЛг. Согласно опреде- л с нению 2.1 скалярного произРис. 2.1 ведения, косинус угла выражается через скалярное произведение этих векторов и их длины с помощью формулы АМ. ВС Пусть (АВ~ = а. Тогда )АС) = За, и поскольку В7.' = АС вЂ” АМ, то Л$ = АВ+ ВЬ~ = ЛЯ+0,5ВС = 0,5(Ж~+ Лй) и поэтому АМ ВС= 0,5(АВ+АС)(АС-АВ) = 0 5(~Щг ~АЯ~г) 0 5(даг аг) лаг Вычислив длины векторов Айг и ВС: )АЮ)= еАн Ап=0,5 = 0,5 = 0,5в~/7, = 0,5 = ~/0аг — 6агсоа120е+ аг = в~/ГЗ, 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ найдем, что 4вэ 8 О,бв~/7в~/ГЗ ~Г7~/Б и поскольку <р б (О, я /2), то Ьь = агссое(8/~/91). № Пусть векторы а и Ь из Ъэ заданы своими «оордпиатвами в ортонорльироеаниоль бпвосе ь, у, Й: и = (ха, 'уа; га)~ = (хЬ; УЬ; гь).

Это означает, что имеются разложения а=х,4+у,у'+г,й, Ь=хьь+уьу+гьй, Используя их и свойства 1' — 4' скалярного произведения, вычислим аЬ= (х 4+у,у+ г~й)(хьь+ уьу+ гьй) = Хяхььг+ ХауьЬУ + ХагЬФЙ+ + УОХЬуь+ УОУЬЙ+ Уа гЬ3 Й+ + г хьйй+ гауьйу + гагьйй = =х хьь +у,уьу +г,гьй =х хь+у уь+гвгь. 2 2 2 Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса ь, у, Й означает выполнение равенств ьу = ъй = уй = О, ьь =,уу = йй = 1.

Таким образом, (2.9) аЬ = х,хь+ у уь+ г,гь~ т.е. скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений одноименных координат. Из теоремы 2.1 и формулы (2.9) получаем следующий «ригпериб ортпогомоль«остпи ее«пьорое а и Ь: (2.10) хахь + Уауь + галь — О Вспомним, что, согласно определению 2.1 скалярного произведения, аЬ = |а| |Ь! сезар, 2.2. Смаляриое произаеление где у = (о,Ь) — угол между векторами а и Ь. Зная, как выражается скалярное произведение и длины векторов через их координаты в ортонормированном базисе, можно вычислить и косинус угла между ненулевыми векторами. Действительно, исходя иэ формулы аЬ сову = —, 1ььИЬ! ' получаем ха*ь + Уауь + 4вхь сов ~рв (2.11) Рзр +рРзР +э' В случае, когда а,Ь Е $"2 и известны координаты этих векторов в ортонормированном базисе ь, 2: ьь = хай+ уа3 Ь = *ьй+ уьу справедливы формулы, аналогичные (2.9) — (2.11): для вычисле- ния скалярного произведения аЬ = х,хь+ у,уь, (2.12) для критерия ортогональности хахь + уауь 0 и для косинуса угла между ненулевыми векторами а, Ь Ь(1+ 1) + 2(1 — Ь) — 14 = О относительно параметра 2.