Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике, страница 4

Плоскол система сходят хся сил 1.3. Теорема о трех силах Постановка задачи. Тело находится в равновесии под действием трех сил, одна из которых известна, у другой известно только направление, а у трегпьей не известны ни величина, ни направление. Используя теорему о трех силах, найти неизвестные силы. ПЛАН РКШЕНИЯ В теореме о трех силах утверждается, что если на тело, находящееся в равновесии, действуют три непараллельные силы (включая реакции опор), то они лежат в одной плоскости, и линии их дейс гвия пересекаются в одной точке. 1.

Найдем точку пересечения линий действия двух сил, направления которых известны. т1ерез зту точку должна пройти и линия действия третьей силы. 2. Имея направления векторов грех сил, строим из них силовой треугольник. Начало одного вектора является концом другого. Коли тело находится в равновесии, то сумма векторов сил, действующих на него, равна нулин Следовательно, треугольник сил должен быть замкнут. 3. Из условия замкнутости треугольника по направлению заданной силы определяем направление обхода треугольника и, следовательно, направления искомых сил.

4. Находим стороны силового треугольника — искомые силы. ПРИМЕР . Горизонтальный невесомый стержень АВ находится в равновесии под действием трех сил, одна из которых вертикальная сила Г = 5 кН (рис. 14), другая — реакция опорного стержня СВ, а третья — реакция неподвижного шарнира А. Используя теорему о трех силах, найти неизвестные реакции опор.

Рис. 14 П Задача 2.29 из сборника И.В. Мещерского. 27 1.3. Теорема о трех силах Рншннин 1. Найдем точку пересечения линий действия двух сил, направления которых известны. Определим направление линии действия третьей силы. На стержень АВ действуют три силы: задашхая сила Г, реакция Л, шарнира А и реакция Л, стержня СР. При этом линия действия вектора Л известна. Она совпадает со стержнем СР, так как стержень нагружен только двумя силами в точках С и В (вес стержня не учитывается). Согласно аксиоме статики эти силы равны по величине и направлены вдоль СХ1 в разные стороны. Направление реакции шарнира А определяем по теореме о трех силах.

Линии действия сил Г, Л и Л пересекаются в точке О (рис. 15). Следовательно, АΠ— линия действия силы Л . Известны только линии действия сил Ло и Лл, поэтому векторы на рис. 15 не изображаем, пока из силового треугольника не узнаем их направления. Рис. 15 2. Строим силовой треугольник. Сумма векторов сил, находя- Шихся в равновесии, равна нулю, следовательно, треугольник, составленный из Г, Лн и Лл, должен быть замкнут.

Рис. 18 Рис. 17 Рис. 16 Треугольник строим, начиная с известной силы Г (рис. 16). Через начало и конец вектора Г проводим прямые, параллельные направлениям Ло и Лл Гл. 1. Плоском система сходят хея сил 28 3. Из условия замкнутости треугольника по направлению внешней силы Р определяем направление обхода треугольника и, следовательно, направления реакций опор. Замкнутость треугольника сил означает,что начало одной силы совпадает с концом другой. Отсюда определяем направление обхода треугольника, которос может быть различным в зависимости от способа построения силового треугольника (рис. 17 — против часовой стрелки, рис.

18 — по часовой стрелке). Направления и величины сил в обоих случаях одни и те же. Изобразим реакции с учетом найденных направлений (рис. 19). 4. Определяем длины сторон силового треугольника — величины реакций опор. Найти стороны треугольника сил означает решить задачу. В нашем случае известны углы (по построению) и сторона Е треугольника.

Две другие стороны находятся по теореме синусов. Рис. 19 Можно поступить иначе, используя свойства подобия. На рис. 15 найдем треугольник подобный силовому. В ряде случаев этот треугольник очевиден. В общем же, для получения такого треугольника надо выполнить дополнительные построения: провести линии,проходящие через характерные точки (шарниры, точки приложения сил и т.п.), параллельно сторонам сюювого треугольника. Проведем, например, вертикаль СС . Образуется треугольник СС О, подобный силовому (рис. 15, 17). Подобие следует из условия параллельности сторон треугольников.

Найдем стороны треугольника СС О; ОВ = СВ = 1 м, ОС = ъ2СВ = ъ2 = 1414 м. Из подобия ЬАОВ и езАСС имеем соотношения АС,)АО = АС/АВ = СС,/ОВ. о, м... „. ли =,яВ + ее = 'Ге,лез= 2ЛО/е, С,О = ЧГР03/3 = 1.054 м, СС, = (2~3) ОВ = 0.667 м. 29 ВЗ. Теорема о трех силах Иэ усяовия подобия треугольника сил и ЛСС О следует, что Г/СС, = Лл/С,О = Лп/СО. Иэ этих пропорций находим искомые величины: Л„= Р С,О,,'СС> — — 7.901 кН, Лр — — Р СО,'СС, = 10.607 кН.

Условии влдлч. Тело и ходится в раоновесии под действием трех сил, одна из которых и вестный вес тела С или внешняя нагрузка Р, другая — реакция опорьл в точке В (гладкая опора или опорный стержень ~ с известным направлением, а третья — реакция неподвижного шарнира А. Используя теорему о трех сил х, найти неизвестные реакции опор (в кН~. Размеры указаны в см.

:ло Р = 20 кН, АВ=ВВ=СВ Р =- 10 кН, АС = 60 см зо' Р=40 кН, АВ=-АВ, АС=ВС Р= 30 кН, АВ=ВС А С В яь ~р . езоо' Р .= 35 кН, АВ=ВС=-СА Р =- 25 кН, ЗАС = АСВ Гл. 1. Плоскал система сходят хея сил 30 Р С С = 45 кН, 2АВ = ВС Р=10 кН, ВР=ЗАР=ЗРС. Р = 70 кН Р = 90 кН Ответы Предупреждение типичных ошибок 1. Размеры на чертеже сил, приложенных к телу (рис.15), измеряются в единицах длины (м, см), а на силовом треугольнике (рис.

17, 18) в единицах сил (Н, кН). Не надо принимать линейные рассгояния АО, СО и ВО за величины соответствующих сил. 2. Реакция гладкого основания перпендикулярна поверхности основания. Реакция гладкой поверхности тела о неподвижную опору перпендикулярна поверхности тела. 3. В данной задаче должно быть только три силы. Лишние силы возникают, если прикладывать вес тела там, где его нет, или если реакцию в шарнире А раскладывать на составляющие. Глава 2 ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ Изучив в предыдущем разделе систему сходящихся сил и уравнения проекций, в разделе ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ вы научитесь составлять уравнения моментов, более эффективно находигь усилия в стержнях фермы и определять реакции опор составных конструкций.

Почти все задачи этого раздела заканчиваются решением системы линейных уравнений. Простейший способ выполнения этой трудоемкой процедуры с помощью Мар1е ь' приведен на с. 13. 2.1. Равновесие тяжелой рамы ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Тяжелая однородная рама расположена в вертикальной 'плоское!пи и опирается на нет!одвижный шарнир а наклонныи, невесомый спьержень. К раме приложены внешние сосредоточенные силы и моменты. Учитывая погонный вес рамы, найти реакции опор. ПЛАН РЕШЕНИЯ 1. Согласно аксиоме о связях, освобождаем раму от связей.

Действие опор заменяем их реакциями. Выбираем систему координат. В неподвижном шарнире имеются две неизвестные составляющие реакции 1горизонтзльнвя и вертикальная), а в невесомом опорном стержне — одна неизвестная реакция, направленная вдоль стержня. Все наклонные силы раскладываем на составляющие вдоль осей координат. 2. К центру каждого участка рамы прикладываем его вес, вычисленный по формуле С = 1яр, где 1 -- длина участка, р — — погонный вес рамы !вес единицы длины стержня, из которого составлена рама).

3. Составляем уравнение моментов всех сил, действующих на раму, относительно неподвижного шарнира. Определяем из этого уравнения реакцию опорного стержня. Гл.2. Произвольная плоская система сил 32 4. Составляем уравнения проекций всех сил на оси л и у. Из этих уравнений определяем составляющие реакции неподвижного шарнира (горизонтальную и вертикальную). 5. Выполняем проверку решения, составляя уравнение моментов относительно какой-либо точки, не лежащей на линиях действия искомых реакций. Пример.

Тяжелая однородная рама расположена в вертикальной плоскости и опирается на неподвижный шарнир А и наклонный невесомый стержень Н. К раме приложены внешние сосредоточенные силы Р = 20 кН, Се = 10 кН и момент ЛХ = 100 кНм. Дано: у = 60', а = 60', Д = 50', АВ = 2 м, ВС = 4м, СР = 6 м, РН = 4 м, КС = 2 м (рис. 20). Учитывая погонный вес рамы р = 4 кН/м, найти реакции опор. Рис.

20 11ешенне 1. Освобождаем раму от связей. Действие опор заменяем их реакциями (рис. 21). Выбираем систему координат с началом в точке А. В неподвижном шарнире А реакция Нл имеет две неизвестные компоненты Х и ул. Невесомый опорный стержень в шарнире Н заменяем на его реакцию, направленную по стержню (т.е. под углом у к горизонту). 2. К центру каждого участка рамы (всего четыре прямолинейных участка) прикладываем его вес, вычисленный по формуле С„= 1 р, где — 1ю й = 1, ..., 4 — длины отрезков рамы АВ, ВС, СР и РН, р — погонный вес рамы. 2. К Равновесие яяселой рамы 33 5.19 '3.464 В Сдв 2 2 2 Рис. 21 3. Составляем уравнение моментов относительно шарнира А, выделяя в нем для удобства счета отдельные слагаемые; ЛХ„= М (Н ) +М„(Р)+М Я) +М„(С„)+ЛХ = О.