Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике, страница 2

Автор будет благодарен всем приславшим свои замечания о комплексе РЕШЕБНИК "Теоретическая механика" и предложения по адресу: 111250 Москва, ул. Красноказарменная, д. 17, Московский энергетический институт (ТУ), кафедра теоретической механики. Е-ша11: Кпвапогмфсегшес1ьшре1.ас.гп.

хХаСть | СТАТИКА В статике изучается равновесие тел под действием свл и свойства систем сил,необязательно находящихся в равновесии. Задачи статики можно условно разделить на три типа: задачи на равновесие системы сходящихся сил,т.е, сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (глава 1), задачи произвольной плоской системы снл (главы 2,3) и задачи пространственной системы сил (глава 4). Нахождение координат центра тяжести (глава 5) тоже считается задачей статики.

Хотя силы в этой задаче явно не присутствуют, основные формулы задачи следуют из уравнений равновесия системы параллельных сил. Искомыми величинами в задачах статики могут быть реакции опор, усилия в элементах конструкций, геометрические (размеры, углы) и материальные (вес, коэффициент трения) характеристики систем. В статически определимых задачах число уравнений равновесия совпадает с числом неизвестных. Именно такие задачи и будут рассмотрены в этой части. Для решения задач статики потребуются понятия проекции силы на ось и момента силы относительно точки и оси.

Напомним, что проекция вектора силы Р на ось х определяется по формуле Г, = усово, где а — угол между положительным направлением оси и вектором силы, отсчитываемый против часовой стрелки. Если угол острый, то проекция положительная, если тупой — отрицательная. Общее определение момента ЛХо силы Е относительно точки О дается векторным произведением ЛХ (Е) = гв х Е, где ге — радиус-вектор точки приложения вектора силы относительно точки О. Модуль момента вычисляем по формуле ЛХ, (Р) = г Рвш у, 12 где 3 — угол между векторами го и Ф. Направление вектора момента вычисляется по правилу векторного произведения. Плечо 6 силы относительно точки О -- это кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы; 6 = г в1п у. Вектор момента перпендикулярен плоскости, в которой располагаются силы.

Поэтому в задачах статики плоской системы сил момент можно рассматривать как скалярную величину — величину проекции вектора момента на нормаль к плоскости (ось г). Индекс х для сокращения записи часто опускают и отождествляют момент силы ЛХо относительно точки на плоскости со скалярной величиной — Мо,. Отсюда вытекает практическое правило определения момента силы относительно точки в плоских задачах статики.

Для вычисления момента силы относительно точки О (рис. 1) сначала находим проекции силы на оси, а затем момент вычисляем по формуле Мо (Е"') = — Р до + Е„. то. Другой способ вычисления момента; М,,(Е) = +г'6, где 6 -- плечо силы относительно точки О. о х Рис. 2 Рис. 1 Рис. 3 Знак определяется по правилу векторного произведения. Если сила поворачивает тело относительно центра по часовой стрелке — момент отрицательный, против часовой стрелки положительный.

На рис. 2 момент силы Е относительно точки О отрицательный. Если сила или линия ее действия пересекает точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю. Прн решении задач пространственной статики Я 4.3 — з 4.6) требуется вычислять момент силы относительно оси, или, что то же, проекцию момента силы относительно точки (1) на ось, проходятцую через нее. Иногда зту величину удобнее искать как момент проекции Е„ силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис.

3). Знак определяем по направлению вращения вокруг оси с точки зрения наблюдателя,находящегося на конце оси. Если вращение происходит по часовой стрелке, то момент отрицательный, против часовой стрелки — положительный. Момент силы относительно осн равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее, т.е., если сила и ось лежат в одной плоскости. Кроме сил в статике рассматриваются и пары сил. Пара — это совокупность двух равных параллельных противоположно направленных сил. Пара характеризуется моментом — суммой моментов ее сил относительно некоторой точки.

Легко показать, что положение точки не существенно и на величину момента не влияет, поэтому момент пары является свободным вектором. Напомним, что вектор силы является вектором скользящим. В зависимости от знака момента пары на плоскости изображать пару будем изогнутой стрелкой 1 ~ или 1. Не путать эту стрелку с вектором пары! Вектор пары перпендикулярен ее плоскости.

Решение двух задач статики в системе Мар1е У приведено в з 15.1, 15.2. Большинство задач статики сводится к решению систем линейных уравнений. Рутинную часть работы по составлению и решению уравнений можно поручить Мар1е Ч. Простейшая программа может выглядеть, например,так: Записывая уравнение на компьютере, а не на бумаге, вы достигаете сразу же нескольких целей.

Во-первых, компьютер выполняет математические действия, часто весьма громоздкие. Во-вторых, уравнение легко поправить и сразу же пересчитать, если вы ошиблись при составлении уравнения и ответ не сходится. В-третьих, решение удобно оформить, распечатав его на принтере. Можно вывести график, таблицу результатов и т.д. Все эти действия можно выполнить и в других системах, в частности, в пакете Асае1еппаХХ1, представленном на сайте яснчя.асас1еппаххйгп. Глава 1 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ При изучении темы ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ вы научитесь составлять уравнения проекций и решать задачи равновесия плоских стержневых систем методом вырезания узлов.

Этот метод лежит в основе компьютерной программы расчета ферм 1З15.1). 1.1. Простая стержневая система ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Плоская шарнирно-стерлснсвал конструкция закреплена на неподвижном основании и нагружена в шарнирах силами. Найти уси ия в сгпержнлх. ПЛАН РЕШЕНИЯ Рассматриваем равновесие внутренних шарниров системы, не соединенных с неподвижным основанием. Такие шарниры будем называть узлами. Действие каждого стержня заменяем его реакцией —. силой, направленной из узла к стержню.

Усилие — - это проекция реакции стержня на внешнюю нормаль к сечению. Если в результате решения задачи реакция стержня, приложенная таким образом к узлу, оказывается отрицательной, то стержень сжат, в противном случае стержень растянут. 1. Вырезаем узел, соединенный только с двумя стержнями. Действие стержней заменяем их реакциями. 2. Для полученной системы сходящихся сил составляем уравнения равновесия в проекциях на выбранные для этого узла оси. 3. Решаем систему двух линейных уравнений и находим искомые усилия. 4.

Вырезаем очередной узел системы, тот, к которому подходят не более двух стержней с неизвестными усилиями. Составляем и решаем уравнения равновесия в проекциях на оси, выбранные для этого 1.1. Простая етержнееая система 15 узла. Этот пункт плана выполняем несколько раз для всех узлов до нахождения всех усилий. 5. Для проверки решения мысленно отделяем конструкцию от основания, заменяя действие рассеченных стержней найденными реакциями. Проверяем выполнение условий равновесия полученной системы сил.

Зямнчянин 1. Существуют фермы *), у которых к каждому узлу присоединены более двух стержней. Например, на рис. 4 изображена конструкция (сетчатая ферма В.Г.Шухова), к каждому узлу которой подходит по три стержня. Диагональные стержни расположены в разных плоскостях и не пересекаются. Здесь нельзя определять усилия по предложенной схеме, переходя от одного узла к другому, так как нет узла, с которого можно начать расчет.

В этом случае сначала составляются уравнения равновесия отдельных узлов, а потом совместно решается система полученных уравнений. Систему можно решать любым известным способом (Решебнин ВМ, 32.1). Рис. 4 Рис. 5 Зямнчяпин 2. Для упрощения уравнений равновесия одну из осей координат можно направить вдоль стержня с неизвестным усилием. Для каждого узла можно выбрать свою систему координат. Злмнчапин 3. Углы между осями и векторами усилий легче определять, если проводить через узлы вспомогательные вертикальные или горизонтальные прямые. Зямнчяпиг.

4. Усилия в стержнях можно найти с помощью системы Мар1е Ъ' (Программа 1, с. 350). О 1Парнирно-стержневая конструкция, нагруженная в шарнирах силами, называется фермой, Весом стержней фермы и трением в шарнирах пренебрегают. Гл. 1. Плоская система сходли~ хся сил 16 Пеиыее. Плоская шарнирно-стержневая конструкция закреплена на неподвижном основании шарнирами Е, Р, С и нагружена в шарнире А горизонтальной силой Р = 100 кН (рис. 5). Даны углы: ЕВРА = 135', САВВ = 60', ~ВСВ = 60', ОВВС = 30', ~ВЕЕ = 30'. Найти усилия в стержнях. РЕШЕНИЕ Конструкция состоит из шести стержней, соединенных тремя шарнирами (узлами). Узлы фермы находятся в равновесии.

Для каждого узла А, В, Е составляем по два уравнения равновесия в проекциях на выбранные оси. Из шести уравнений находим шесть искомых усилий. 1. Решение задачи начинаем с рассмотрения узла А, так как этот узел соединен только с двумя стержнями АВ и АЕ. При вырезании узла действие каждого стержня заменяем силой, направленной из шарнира к стержню (рис.

6). 2. Составляем уравнения равновесия. Для упрощения уравнений ось у направляем по стержню АВ. Получаем ~ Х, = Ял,сов15' — Рв1п30' = О, 2,'У = — Ялесцп15'+ Ялв + Р сов 30' = О. где Х, — проекции силы г на ось т, а У, — проекции силы 1 на ось р 3. Решаем уравнения. Из первого уравнения сис гемы находим усилие Зле — — 51.76 кН, из второго — усилие Ялн — — — 73.21 кН. 4. Рассматриваем узел Е. К нему подходят три стержня (рис. 7). Рис. 7 Рис. 6 Усилие в одном из них уже известно Ял — — 51.76 кН. Усилия в двух других находим из уравнений для проекций: 1.1, ??растая стержневая система 17 2„Х, = — $,,яп30'+ $ сое45' = О, 1; = — $рк сое 30' — $рр + $др а1п 45' = О.

Находим $рн — — 73.21 кН, $ = — 26.79 кН. Составляем уравнения равновесия узла В в проекциях на оси, направленные по стержням ВС и ВВ (рис. 8): д Х = $ов+ $дввш30' = О, ~ 1; = $вп — $дв сов 30' = О. Решая уравнения, получаем: $пв — — — $дн яп30' = 73.21 0.5 = 36.6 кН, $вн — — $дн сов 30' = — 73.21 . 0.866 = — 63.4 кН.

5. Проверка. Рассматриваем равновесие конструкции в целом. $дв С и 30' $ев Рис. 8 1'ис. 9 Горизонтальным сечением отсекаем ферму от основания. Действия стержней заменяем силами, которые направляем, как и раньше, по внешним нормалям к сечениям стержней, т.е. вниз (рис. 9). Система сил, действующих на ферму, не является сходящейся. Для такой системы справедливы три уравнения равновесия, одно из которых . уравнение моментов.