Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа, страница 5

Проверить, что если ь уравнении х'+рх'+дх+з=О положить хе=у, то это уравнение заменится системой х' = у, (у — у,)'+ (х — хх)' = гх, Где уз = — 1 «а= и г = ух+ хх ! Р Ф з в 1 гл. ь еннкпия Пользуясь этим приемом, решить графически уравнение х'— — Зх' — 8х — 29= О. Погрешность вычислений 0,1. 172*. Используя прием, указанный в задаче 171, доказать, что о помощью дополнительной замены переменной х =х' +са действительные корни уравнения 4-й степени ха+аха+Ьха+сх+ +6=0 могут быть найдены графически путем отыскания точек пересечения некоторой окружности и параболы у=ха. Пользуясь этим приемом, решить графически уравнение х'+ + 1,2х'-22х' — 39х+31=0. Погрешность вычислений 0,1.

173. Графически найти корни уравнения е'з(их = 1, е:ьа 2,718, заключенные между 0 и 10; указать приближенную общую формулу значений остальных корней. Погрешность вычислений 0,01. 174. Графически решить систему х+уа=1, 1бха+д=4, Погрешность вычислений 0,0!. 175. Построить график функции (в полярной системе координат) по значениям полярного угла ~р через и!12 а): 1) р = ач~ (спираль Архимеда); 2) р = п7~р (гиперболическая спираль); 3) р=е'е (с=2,718) (логарифмическая спираль); 4) р=аа)п З~р (трехлепестковая роза); 5) ре асоз2<р (двулепестковая роза); 6) р = а(1 — сотар) (кардиоида). Вычисления вести с точностью до 0,01.

Постоянную а 0 выбрать произвольно, ') Здесь принято, что если р(е).СО, то на соответствующем дуче точки срафика пет, ГЛАВА П ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ $1. Основные определения Функцпи целочисленного аргумента 176. Функция целочисленного аргумента принимает значения Найти !!щи,. Каково должно быть п,для того чтобы разность О СО между и„и ее пределом была меньше заданного положительного числа е? 178.

Доказать, что и„= ", стремится к 1 при неограниченном возрастании и. Начиная с какого и абсолютная величина разности между и„ и 1 не превосходит 10-4? 179. Функция о„ принимает значения Я Зл СОС -— 2 СО5— 2 о 1 о 1 з '''! СОЯ Л О1 =— 2 и,=0,9; и1=0,99; и,=0,999; ...; и„=0,999 ... 9; ... л раз Чему равен 1!т и„? Каково должно быть п, для того чтобы Л О1 абсолютная величина разности между и, и ее пределом была не больше 0,0001? 177. Функция и, принимает значения ! ! ! И1=1; п1=-4! яр=-д! Найти 1пп о„. Каково должно быть и, для того чтобы абсо- О Ю лютная величина разности между и и ее пределом не превосходила 0,001? Принимает ли п„значение своего предела? ! 5 7 180.

Общий член и, последовательности и,=- —, ие=--, аа= —, !7 2О 2О ! ! и1 — — -; —, ... имеет вид — „, если п — нечетное число, и если и — четное число. ГЛ. П. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВ1ЮСТЬ Найти ! !Пз и,. Каково должно быть а, для того чтобы разность между ил и ее пределом по абсолютной величине не превосходи. ла !О-', данного положительного числа е? 4лл -1-1 !81. Доказать, что последовательность ил= —. при неограЗлп+ 2 4 ннчепном возрастании а стремится к пределу, равному —, моио- 4 тонно возрастая. Начиная о какого а величина — — ил не превосходит данного положительного числа е? у лл+аа 182. Доказать, что и = при неограниченном возрастании л имеет пределом 1. Начиная в какого а величина ~ 1 — и„! не превосходит данного положительного числа е? Какой характер имеет предельное изменение переменной пл? 188.

Функция ол принимает значения биномиальных коэффициентов: т (т — 1) (т — 2) 1 ° 2 3 ° ° з л ° ° ° Р т (т — 1) (т — 2)... К1л — (л — 1) ! !.2 ° З...л т (т — 1) ох= 12 1 где т — целое положительное число. Найти 1!п! ол. л лл 184. Доказать, что последовательность ил = 1+( — 1)л не имеет предела при неограниченном возрастании а. 185, Доказать, что прн неограниченном возрастании а после2л+( 2)л довательность и = л не имеет предела, а последователь2л+ ( 2)л ность о„= „имеет предел. Чему он равен? 186. Имеет ли предел последовательностьл лл 51П— 1) ил=аз(п — 2 — ', 2) и,= (а) 1)? 187.

Доказать теорему: если последовательности и1, ит ... ..., и„, ... н си о.„..., ол, ... стремятся к общему пределу и, то к тому же пределу стремится н последовательность и1„о„ит их . 1 ил ил~ ° 188. Доказать теорему: если последовательность ип им ... ..., и„... стремится к пределу а, то к тому же пределу стремится любая ее бесконечная подпоследовательность (например, ии ит 11т ' ' ')' 189. Последовательность и„и....., ил, ... имеет предел алые.

Доказать, что 1пп — "" =1. Что можно сказать об этом пределе, л со если а=О? (Привести примеры.) 29 4 х вссконечныа Вал!!Чиг!ы Функции непрерывного аргумента 190. Дано у = х'. Когда х-! 2, то у-~ 4. Каково должно быль В, чтобы из 1х — 2)(6 следовало (у — 4)(е=0,00!? хх — 1 3 191. Пусть у= —,. При х-ь2 имеем д . —. Каково должно быть 6, чтобы из' )х — 2)(6 следовало ~р — — ~(0,1? 3 192. Пусть у= +,„. При х-~3 имеем у-~-4-.

Каководолж« вЂ” 1 1 2(х+1)' яо быть 6, чтобы из )х-3)(6 следовало ~ — — у~(0.01? 1 4 193. Доказать, что е3пх стремится к единице при х-+и/2. Каким условиям должен удовлетворять х в окрестности точки х=п/2, чтобы имело место неравенство 1 — гбпх -0,01? .

194. При неограниченном возрастании х функция у= — „ х"-+ 1 1 стремится к нулю: !пп —,=О. Каково должно быть М, чтобы х'+! из ) х ( ) ))( следовало р ( е? хх — 1 195. Если х-~+со, то 9=-,,+ -4-1. Каково должно быть М, чтобы из (х) )Ж следовало (9 — 1((а? $2. Бесконечные величины. Признаки существования предела Бесконечные величины 196. Функция и„принимает значения и,=3, их=5, и,=7, ... ..., их = 2а+1,...Доказать, что их — бесконечно большая величина при л-~со. Начиная с какого а величина и„становится больше М? 197. Доказать, что общий член и, любой арифметической прогрессии есть величина бесконечно большая при и-эсо.

(Когда она будет положительной и когда отрицательной?) Справедливо ли зто утвермгдение для произвольной геометрической прогрессии? 198. При х-~0 имеем р= — „-эоо. Каким условиямдолжеи 1+ 2х удовлетворять х, чтобы имело место неравенство )9~~109 х 199. Доказать, что функция у= — бесконечно велика при х-ь3. Каким должен быть х, чтобы величина ~((~ была больше 1000? 1 200. Когда х стремится к 1, функцкя 9= — неограпичен(х — 1)2 ио возрастает. Каково должно быть 6, чтобы из )х-!)(6 следовало - г! = 104? 1 (х — 1)х Гл. и. пРедел. непРеРыаность ! 201. Функция у= —,, бесконечно велика при х-РО. Каким неравенствам должен удовлетворять х, чтобы ) у ~ было больше 100? 202.

При х-л-+Со имеем: у=12х-~-+оо. Какою должно быть М, чтобы из х>М следовало у> )У = 100? 203. Какие из основных элементарных функций являются оераниченными во всей области их определения? хх 204. Доказать, что функция у= — ограничена на всей числовой оси. хх 205. Будет ли функция у= —... ограничена на всей числовой оси? Будет ли она ограничена в интервале (О, +Со)? 200. Является ли функция у=12з!пх ограниченной во всей области ее существования? Тот же вопрос относительно функции у=1ясозх.

207. 1) Доказать, что функции у=ха(пх и у=хсозх не ограничены при х-Р оо (указать для каждой из них хотя бы по одной такой последовательности х„, для которой у,-л-оо). 2) Будут ли указанные функции бесконечно большими? 3) Построить графики этих функций.

208. ПОСтрОИтЬ ГрафИКИ фуНКцИй 7(Х) = 2" '" * И Г (Х) = 2-"!л . Для каждой из этих функций указать такие две последовательности х„и х„' значений х, что 1!и! 7(х,) =со, а 11т ! (хл)=О. л сО л ал 209. При иаких значениях а функция у=ахейпх будет не ограничена при х-~.+со(х-л.-са)? 2!О. Будет ли бесконечно большой неограниченная функция! 1) Дх)=-;соя — при х-РО; 2) 1(х)=хагс12х при х-~.оо; ! ! 3) 7(х) =2" агсз(п(з)пх) при х-л +со; 4) ~ (х) = (2 -1- з ш х) 12 х и ри х -~. + со! 5) 1(х)=(1+з(пх) 1дх при х-Р+оо? 21!. Функция и, принимает значения 3 4 л+! и!=2, ил=!, ил=э,..., и.= лл Доказать, что и„— бесконечно малая величина при п-Роо.

2!2. Функция ил принимает значения ! ! ! л~ — а и,= — 7, их= — —, из= —, ил= —, ..., и,= — „,. Доказать, что ил — бесконечно малая величина при л-~-оо. 213. Доказать, что р= — -«.О при х-~.О. Каким условиям х+! должен удовлетворять х, чтобы имело место неравенство ~ р ~ ( 10-л? 214. Показать, что при х-Р+со функция у=)/х+1 — 3/х стремится к нулю. Каким должно быть У, чтобы при х>1Ч было у<а? 4 а васконечныв величины 215.

Доказать, что если предел функции Г(х) при х-» оо равен а, то Г(х) можно представить в виде суммы Г(х) =а+!р(х)э где гр(х) бесконечно мала при х- со. Представить в виде такой суммы следующие функции! 1 — хг З)у=, „, хэ к' 1) у= — ", 2) у= —; хэ 1 2хг! 1 Признаки существования предела 216*. Функция и„ принимает значения 1 1 1 1 1 ! 4' г 4 10'' '' " 3+! 3»+! '''+Зи+1'"' Доказать, что и„стремится к некоторому пределу при л-»оо. 217. Функция и„принимает значения 1 Иг= 2-~ 1 1 1 Иэ= — + — + 2 24 246'"' 1 1 1 2 +2 ° 4+'''+2 4 °...

° 2л''" 1 1 2 2. 2 4' и, + ог и!+ 2ог и = — ог= —; 2 = 3 иэ+оо иэ+2оэ, и,= 2, ог= — — ', 3 вообще и. г+о. г и э.г+2оэ г Ии= 2 г Ол= ° 3 Доказать па основе теоремы, приведенной в предыдущей задаче, что обе последовательности и„и о, стремятся к одному и тому же пределу, заключенному между и, н о„. 220. Дана последовательность чисел и„: иг=1:б, иг=) б+и„..., и»=об+и„„ Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти его. Доказать, что и„стремится к некоторому пределу при л-» со, 218. Доказать теорему: Если разность между двумя функциями прн одном и том же изменении независимой переменной бесконечно мала, причем одна из функций возрастает, другая убывает, то обе стремятся к одному и тому же пределу. 219.

Даны два числа иэ и и, (иэ(оэ). Члены последовательностей и„и о„задаются формулами ГЛ. 11. ПРЕДЕЛ. Р!ЕПРЕРЫВНОСТЬ й 3. Непрерывные функцнн 221. Функция д определена следующим образот1: прн х<О; прн О~К<1; при 1(х(3; при К~З. д=О д=х д= — х'+4х — 2 д=4 — х х+1, если х~!", 3 — ах', если х= 1. Прн каком выборе числа а функция 1(х) будет непрерывной? (Построить ее график,) 224.

Пусть — 25!пк, ~(х)= Аз!пх+В, созх, Подобрать чнсла А и В так, чтобы функция !(К) была непрерывноп; построить ее график. 1 226. В каких точках терпят разрывы функции д = — „ ! н д= —,,? Построить графики обеих функцнй. Выяснить раз. (5+2)Р ницу в поведении этих функций вблизи точек разрыва. 226.