Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа, страница 4

Найти оЫасть определения данной функции и записать функцию, обратную данной. 123. функция у от х задана уравнением у'+ип'х †у+2. Найти функцию, обратную данной. 6тепенная функция 124. Построить график функции: !) У= З х'! 2) У= — 2 х'; 3) д=х'+Зх'; 1 1 4) д=хз-х+1; 5) у= — х'+2х-2; 6) у=йхз>', 7) у= — хм>; 8) у=хе а; 9) у=хе >; 10) у=х»'з; 1 11) У= 1 - 3; 12) 9=5 -; 13) У=1-йх~. 125. Графически найти приближенные значения действительных корней уравнения х+ 3 = 4)>/хз.

126*. Начертить кубическую параболу у=хз и использовать ее для графического решения уравнения: 1) х>+ х — 4 = 0; 2) хз — Зхз — х+ 3 = 0; 3) хз — бх>-)- 9х — 4 = 0; 4) хз+ Зхз+ бх + 4 = О. 127. По данному условию составить уравнение и решить его графически: 1) Квадрат какого числа равен самому числу, сложенному с его обратной величиной? 2) Деревянный шар с радиусом, равным 10 см, и плотностью, равной 0,8 г(см', плавает на поверхности воды. Найти высоту сегмента, погруженного в воду. 3) Общая масса деревянного куба и пирамиды с квадратным основанием равна 0,8 кг.

Ребро куба разно стороне основания пирамиды, высота пирамиды 45 см. Найти ребро куба. Плотность дерева 0,8 г(см'. ! 4, ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ !28. Дана функция д=к", х = О. При каких значениях х эта функция Имеет значения, ббльшие значений обратной функции, н при каких — меньшие? Показательная н гиперболические функции Логарифмическая функция график функции: 10 аХ' 5) д=!+16(х+2); 8) д=!о6,2. 138. Построить 1) д = — !одах; 4) д=!од,)х(; 7) д =о~ока».

3) д=()2х~; 6) д=1одз)1 — х~; !29. Построить график функции: 1) д= — 2'; 2) д — 2»~». 3) д,З». 1 3 4) д=! — 3'-ь, 5) д=Я; 6) д=2-". 130. Используя график функции д=2, постропть без дальнейших вычислений график функции: 1) д 2к ь 2) д .2»пь 3) д= —,2(.кл)/»+1 1 1 1а 3 131. Показать, что графиком функция д й а»(й) 0) является та же линия, что и для функции д=ак, только сдвинутая параллельно оси ординат. 132.

С помощью графического сложении построить графнк функции: 1) д=хз+2»; 2) д =ха — 2». 133. Графически решить уравнение 2» — 2х= О. !34, Построить фигуру, ограниченную линиями д=2*, д = — и х=З. По графику найти пряближенно координаты !+к точек пересечения данных линий. 135. Найти наибольшее возможное значение и, прн котором 2»)ха для всех х)100 (л целое). 136. Доказать, что д=зйх н д=!пх — нечетные функции, а д=спх — четная функция. Являются ли зтн функция периодическими? 137.

Доказать справедливость следующих равенстж 1) сйах — зп»х=1; 2) сйзх+з!тах=сй2х; 3) 2 Бп х сп х = Б!т 2х; 4) зп (а.+. р) = Бп а сп 1) -+. Бп !) с и а; 5) сп(а.+ р)=спасй(1.+ зпазй$$; 6) 1 — !п»х= — „, ! ! 7) 1 — с!11'х= — —,„.,„. гл, ь екнкция $5. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции Тригонометрические функции 143.

Указать амплитуду и период гармоники: 1) д = з)п Зх; 2) д = 5 соз 2х; 3) д = 4 ейп пх; 4) д=2з!и —; 5) д=з)п —; 6) д=Зяп —. Х зпх зх 4 в 144. Указать амплитуду, период, частоту и начальную фазу аармоники: 1) д = 2 зш (Зх+ 5); 2) д = — соз —; щ+3 3) д= — з)п2и(а — — г 4) д=чп —. бя 145. Построить график функции: 1) д= — з)пх; 2) д=1 — з1пх; 3) д=! — созх; 4) д=з1п2х; 5) д=ип-"-; 6) д= — 2з!и —; 3' 7) д=созйх; 8) д=2з!п(х — --): 9) д=2щп(Зх+ — ); 1О) д= — ып(2пх — 1,2); Ь~! 1 11) д=2+2зш( ~ + е); 12) д=2соз 13) д=)з)пх!; 14) д=~созх!; 15) д=~1дх~; 16) д=!с1дх/; 17) д=зесх; 18) ц=созесх. — п~х==О, О~х(1, 1(х<2.

соз х для 1 для Цх для 19) д= 146. Стороны треугольника равны 1 см и 2 см. Построить график площади треугольника как функции угла х, заключенного 139. Используя график функции д=!бх, построить график функции: 2 1в!х+1); 2) д=215( 2 )' 1 140. Дана функция д=х+15 —. С помощью графического сло. жения построить график данной функции и по графику найти наименьшее значение этой функции в полуинтервале !О, 21. 141.

Показать, что график функции д = 1об, (х + )' х'+1) симметричен относительно начала координат. Найти обратную функцию. 142. Доказать, что ордината графика функции д = 1оЫ,х равна соответствующей ордииате графика функции д=1он,,х, умноженной на и., $ К ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ между данными сторонами. Найти область определения этой функции и то значение аргумента х, при котором площадь треугольника будет наибольшей. 147. Точка движется равномерно по окружности радиуса Й с центрам в начале координат против часовой стрелки с линейной скоростью п си~с.

В начальный момент времени абсцисса этой точки была а. Составить уравнение гармонического колебания абсциссы точки. 148. Точка равномерно движется по окружности х'+у' = 1. В момент 1, ее ордината была у„ в момент 1, ордината равнялась д,. Найти зависимость ординаты точки от времени, период и начальную фазу колебания. 149. На рис.

13 изображен кривошипный механизм. Радиуа маховика 1«, длина шатуна а. Маховик вращается равномерно по часовой стрелке, делая и Оборотов в секунду. В момент 1=0, когда шатун и кривошип составляли одну прямую («мертвоез положение), крейцкопф (А) находился в точке О. Найти зависимость смещения х крейцкопфа (А) от времени 1. Рзц ~з 150. С помощью графического сложения построить графин функции: 1) у = з(п х+ соз х; 2) у = з(п 2пх+ з(п Зпх; 3) у = 2 ей п ~ + 3 з (п а, 4) у = х + з(п х; 5) р=х — з(пх; 5) у= — 2" +созх. 15!. Графически решить уравнение: 1) х=2з(пх; 2) х=(йх; 3) х — созх=О; 4) 4«йпх=4 — х; 5) 2-"=созх.

152. Найги период сложной гармоники: 1) р = 2 з(п Зх+ 3 з(п 2х; 2) р = з(п1+ сок 21; яг . яГ 3) у=з(п — +зйп —; 3 ' 4 4) у = з (п (2п( + — ) + 2 з1п 13п1 + -'- ) + 3 з (п 5п1. 153. Представить одной простой гармоникой: 1) ук зшх+созх; 2) у=зшх+2зГп~х+ — ). гл, ь екнкция 154. Обосновать следующий графический прием сложения гармонических колебаний. Пусть даны гармоники А~з)п(ах+<р,) и Азз)п(ах+~рз). Построим векторы Ат и Аз длиной соответственно А, н А, под углами ~рт и Ч~з к горизонтальной оси (рис.

14). Сложна векторы А, и Ам получим вектор А длиной А, наклоненный к горизонтальной оси под углом 95 А и ф будут соответственно амплитудой и начальной фа« зой суммы А Атз(п (ах+~в,)+ +Аз з)п(ах+ яч) = А з(п (ах+ гр). 155*. Указать период функции и Р построить ее график: 1) у=)з!пх(+)созх); Ряс. 14 2)у + ) 1 /)зых! Мях 2 1 сшх (созх) 156. Найти область определения н выяснить внд графика функции: 1) 6=1дз(пх; 2) у=3/Т~з(пх; 3) у=~ 1д —.

Обратные тригонометрические функции 157. Построить график функции: 1) у=атосах; 2) у=2агсз(п —; 3) у=1+агс162х; к 1-к 4) у= —.— агссоз2х; 5) у=агсз(п —. 4 158. Круговой сектор с центральным углом и свертыеается в конус. Найти зависимость угла в при вершине конуса от угла а и построить график. 159. Картина высотой а висит на стене наклонно, образуя со стеной двугранный угол Ч~. Нижний край картины на Ь выше уровня глаз наблюдателя, который стоит на расстоянии 1 от стены.

Найти зависимость между углом у, под которым наблюдатель видят картину, и углом ф. 160. Для кривошиппого механизма (рис. 13, задача 149) указать зависимость угла и поворота кривошипа от смещения х крейцкопфа. 161. Выяснить, для какого интервала изменения х справедливо тождество: 11 агсгбп х+ агссозх = я(2; 2) агсгйп)Гх-)- агссоз)Гх = и/2; 3) агссоз)'1-хз=агсзгнх; 4) агссоз)Г1 — х'-'= — агсз!пх; х К ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ! ! 5) агс1йх=агсс15 —; Х ' 6) агс15 х = агсс16 — — и; х ! — Хх ! — Хх 7) агссоз =2агс18«! 8) агссоз = — 2агс18«1 !+кх !+х' 9) агс18 х+ агс16 1 = агс15 —; !+к 10) агс1ах+ агс16 1 = и+ а«с!5 —, !+к 162.

Пользуясь тождествами задачи 161, найпи область опре- деления и построить график функции: 1) у=агссоз'~ 1 — х'! 2) у=агсз!п)~ 1 !в х+агсз!п)Гх, ! — Хх ! 3) у = агссоз †; 4) у = агс!5« — агсс15 — . !+Хх ' Х 163". Построить график функции у=агсяп(з!пх). Доказать, что зта функция периодична и найти ее период.

164. Построить график функции у=агссоз(созх). 165. Построить график функции у=агс16(15«). 166. Построить график функции: !) у=х — агс1д(15«); 2) у=х — агсяп(япх); 3) у=хагсз!п(з!пх); 4) у=агссоз(сов «) — агсяп(япх). й 6. Вычислительные задачи !87. Построить графикфункции у=х'+2х' — 4х+7 на отрезке ! — 4, 2) по значениям х через 0,2; по оси ординат выбрать масштаб, в 20 раз меньший, чем по оси абсцисс. По графику найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 1 — 3, 2). В какой точке функция переходит от возрастания к убыванию? Найти корень функции на отрезке 1 — 4, 2). Погрешность вычислений 0,1. 168.

При изучении законов рассеивания шрапнели в теории стрельбы требуется построить график функции у=с"'"*", е ~2,7!8. Выполнить построение при А =2, давая а значения от 0 до 90' через каждые 5'. Вычисления вести с точностью до 0,01. 169, Даны три точки: М, (1, 8); М,(5, 6); Мх(9, 3). Провести через них параболу у=ах!+Ьх+с. Найти корни функции ах'+ +Ь«+с. Погрешность вычислений 0,01. 170. Из углов квадратного листа жести размером 30х30 счх нужно вырезазь одинаковые квадраты гак, чтобы из оставшейся части можно было согнуть коробку емкостью !500 см'. Какой длины должна быть сторона х каждого вырезаемого квадрата? Погрешность вычислений 0,01. 171.