Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа, страница 3

Исходя из закона Ньютона, написать функцию, выражающую зависимость между силой Е и ускорением ю, если известно, что если тело движется с ускорением 12 м/с', то на пути а=15 м производится работа А =32 Дж. 68. Определить линейную функцию у= ах+8 по следующим з з, пгоствпшнв фзнкцнн 69. Некоторое количество газа занимало прн 20 'С объем 107 ем', прн 40'С объем стал равным 114 см'. а) Составить, исходя нз закона Гей-Люссака, функцию, выра. жающую завнснмость объема У газа от температуры !. б) Каков будет объем прн 0'Ср 70. Равномерно движущаяся по прямой точка через 12 с ноэле начала движения находилась на расстоянии + 32,7 см от некоторой точки этой прямой; через 20 с после начала движения расстояние стало равным +43,4 см.

Выразить расстояние з как функцню вре- менн !. 7!. Накряженне в некоторой цепи падает равномерно (по линей- ному закону). В начале опыта напряжение было равно 12 В, а по окончании опыта, длившегося 8 с, напряжение упало до 6,4 В. Выразить напряжение У как функцию времени ! н построить график втой функцнн. 72. Найти приращение линейной функции у =2х — 7 прн пере. коде независимой переменной х от значения х, = 3 к значению х, =6. 73. Найти приращение линейной функции у= — Эх+1, соот- ветствующее приращению независимой переменной Ах=2. 74. Функцня у=2,5х+4 получила приращение Ьу=!0.

Найти приращение аргумента. 75, Даны функция у= —,а, н начальное значение незавнсн- мой переменной хт=а-Ь. Прн каком конечном значении ха не! завнснмой переменной х приращение Ьр= — ? а — Ь 76. Функцня ф(х) задана так: ф(х)=х!2+2 прн — со х~2; ф(х) =5 — х прн 2~х +со. Найти корни уравнения ф(х) 2х-4 аналитически н графически, 77, Построить график функции: 1) у=)х+1~+1х — 1~; 2) р=)х+11 — 1х — 1~; 3) у=~х — З~ — 2(х+1~+2~х( — х+1.

78". Для каких значений х справедливо неравенство 1«(х)+ф(х)~(~«(х) ~+/ф(х) ~, если «(х)=х — 3, а ф(х)=4 — х. 79. Для каких значений х справедливо неравенство 1«(х) — ф (х) ~) !«(х) / — ~ф (х) ~, если «(х) = х, а ф (х) = х — 2. 89. Функция «(х) определена так: в каждом нз ннтервалов л~х<л+1, где а — целое положительное число, «(х) меняется линейно, причем «(л) = — 1, «(л+ — 1=0. Построить график этой функцнн.

гл. ь Функция Квадратичная функция 8!. Построить график и указать интервалы возрастания и убы. ваппя данной функции: 1 1) у= — х"-; 2) у=хв — 1; 3) у=!х' — 1!, "4) у= 1 — х~; 5) д = х' — х+ 4; 6) д = х — х', 7) у = ~ х — хт ~; 8) у=2х'+3; 9) у=2х' — бх+4; 10) д= — Зх'+бх — 1; 11) у=! — Зхе+бх — ! (; 12) у= — х(х!. 82. Написать аналитическое выражение однозначной функции, определенной иа полуинтервале ( — со, 6], если известно, что график ее состоит из точек оси Ох о абсциссами, меньшими числа — 3, из точек параболы, симметричной относительно оси Оу и проходящей через тачки А( — 3, О), В(0> 5), и из точек отрезка СР с' концами С(3, О) и 0(6, 2).

83. Найти наибольшее значение функции: 1) у = — 2х'+х — 1; 2) у= — х' — Зх+2; 3) у=5-х', 4) у= — 2х'+ах — а"! 5) у=а'х-Ьех'. 84. Найти наименьшее значение функции: 1) д=х'+4х — 2; 2) у=2х' — 1,5х+0,6; 3) у=1 — Зх+бх'1 4) у=а'х'+а4; 5) у=(ах+Ь)(ах-2Ь). 85. Представить число а в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим. 86. Представить число а в виде суммы двух чисел так, чтобы сумма квадратов зтих чисел была наименьшей.

87. Около каменной стенки нужно сделать деревянный забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли. Общая длина забора равна 8 и. Какова должна быть длина части забора, параллельной стенке, для того чтобы забор охватил наибольшую площадь? 88. В треугольнике сумма сторон, заключающих данный угол, равна 030 см. Чему должны быть равны зги стороны, чтобы площадь треугольника была наибольшей? 89. Какой из цилиндров с данным периметром осевого сечения Р = !00 см имеет наибольшую боковую поверхность? 90. Какой из конусов, периметр осевого сечения которых равен Р, имеет наибольшую боковую поверхность? 91.

Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, на который поставлен конус (с тем же основанием). Угол при вершние конуса 60'. Периметр осевого сечения тела 100 см. Каков должен быть радиус цилиндра, для того чтобы боковая поверхность тела была наибольшей? 92. В равнобедренный треугольник с основанием а и высотой й вписан прямоугольник, как показано на рис. 8. Какова должна быть высота прямоугольника, для того чтобы он имел наибольшую площадь? 93. В данный прямой конус вписан цилиндр так, что плоскости и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают.

При $ Э. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ каком отношении радиусов оснований цилиндра и конуса цилиндр будет иметь наибольшую боковую поверхность? 94. Дан прямой круговой конус, радиув основания которого равен РР, а высота Н. В конуе вписан цилиндр так, что плоскости и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают. Каким должен быть радиуа цилиндра, для того чтобы полная поверхность цилиндра имела наибольшую величину? Рассмотреть случаи Н)2Н и Н(2К 95. Каков должен быть радиуе круга, для того чтобы сектор, периметр которого равен данному числу Р, имел наибольшую площадьР 96.

Окно имеет форму прямоугольника, который сверху заканчивается правильным треугольником. Периметр окна Р. Каково должно быть основание о прямоугольника, для того чтобы окно имело наибольшую площадьР Рис. 9 рис. а 97. Окно имеет форму прямоугольника, который сверху заканчивается полукругом. Каково должно быть основание прямоугольника, для того чтобы при периметре, равном 2 м, окно имела наибольшую площадьР 96. Излиета картона прямоугольной формы размером 30хббсм' нужно вырезать уголки так, чтобы, согнув лиет по пунктирным линиям (рио. 9), получить коробку наибольшей боковой поверхности. Найти сторону вырезаемых квадратов. 99.

Из проволоки длиной 120 см нужно сделать модель прямоугольного параллелепипеда а квадратным основанием. Какова должна быть сторона основания, для того чтобы полная поверхность параллелепипеда была наибольшейР 100, Кусок проволоки длиной а нужно разрезать на две части; нз одной сделать квадрат, из другой — правильный треугольник. Как нужно разрезать проволоку, чтобы сумма площадей полученных таким образом фигур была йаименьшейР 1О!. Найти на прямой у х точку, аумма квадратов расстояний которой от точек ( — а, О), (а, О) н (О, Ь) была бы наименьшей. 102. Найти на прямой у=х+2 точку, сумма квадратов раостояний которой до прямых Эх-4у+8=0 и Зх-у-1=0 была бы наименьшей. ГЛ. 1. ЭГНКЦИЯ 103.

Электрический ток 1 распределяется по двум ветвям э сопротивлениями г4 и гз (рнс. 10). Показать, что наименьшие потери энергии, идущей на нагревание проводника в единицу времени, соответствуют распределению токов, обратно пропорциональному сопротивлениям ветвей. (Исходить из закона: количество вщделившегося тепла Я = 0,24 14Й.) 104. Построить параболу у=х' и использовать ее для графического решения еледующих уравнений: !) хз-х — 2,25=0; 2) 2х' — Зх-5=0; 3) 3,1хз — 14х+ 5,8=0; 4) 4хз — 12х+9=0"! 5) Зх' — 8х+7=0.

105. Функция ~р(х) задана так: ~р(х)= — х — --при — оо(х -" 1 1 и 11 ~ 31 <р(х)=1+х при — ч=х(+со. Найти аналитически и графически все действительные корни уравнения (~р (х))' = 7х+ 25. 106. Указать область определения Ф функции р = 13 (ах'+ Ьх+ с). 107. Найти р(х+1), если дано, что г (х — 1) = 2х' — Зх + 1. Рис.

10 108ь. Показать, что функция Г(х)=. О+эх+с ,+4 + принимает любое действительное значение, если О~с ~1. Дробнолинейная функция 109. Исходя из закона Бойля — Мариотта, найти функцию, выражающую зависимость объема газа от давления при 1=сонэ!, если известно, что при давлении 104 Па объем газа равен 2,3 л. Построить график втой функции. 110. Переменная х обратно пропорциональна д, у обратно пропорциональна х, а в свою очередь обратно пропорциональна и.

В какой зависимости находятся х и о? 111. Переменная х обратно пропорциональна р, у прямо пропорциональна г, х прямо пропорциональна и, и обратно пропорциональна о. В какой зависимости находятся х и о? 112. При электролизе количество выделяющегося иа электроде вещества пропорционально чиле тока, сила тока пропорциональна проиодимостиэлектролита, проводимость пропорциональна концентрации электролита, концентрация при данном количестве вещества обратно пропорциональна объему растворителя. Как количество выделяющегося на электроде вещества зависит от объема растворителя? $ К ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 12 113. Построить график дробно-лннейной функцнн! х — ! 2х 2Х вЂ” а =х 2, 2) у=з-х' 3) у=ц:75! Х 4 — Зх 4) у= —; 5) у=— ! ' 3 — 225х' 2 114.

Найти по графику наибольшее н наименьшее значения дробно-линейной функции на данном отрезке: 1) у = — „(1, 51; 2) д= — ~ — 1, 2]; 3) у=: (04 4). !!б. Доказать: 1) если абсциссы четырех точек М,(х,; ух)4 Мз(хх! ди), Мх(хх! у,), М4(х4! у,) граФика функции д а (рнс. 1!) составляют пропорцию — = —, то прямолицейные трах! хз Х4 Х4 пецпп М,МТЛ!.,!у', н МБМХУ4!Ух равновелики; Рис, !2 рис. !! А 2) если точки Мт н Мх лежат на графике функции у (рнс.

12), то площади фнгур А,МХМХАБ н ВТМТМТВХ равны. 116. С помощью графического сложения построить график Х4+ ! функцнн д = — „ $4. Обратная функцня. Степенная, показательная н логарифмическая функции Обратная функ цня !17. Найти функцию, обратную данной: 1) у=х; 2) у=2х; 3) у 1 — Зх; 4) у=х'+1; ! ! 4 5) у= — „; 6) у= —,„; 7) д=х'-2х; 8) д=у'хи+1; 9) у= 10'4'; 10) д= !+!3(х+2); 11) у=!од.2; гл.

ь фтнкция 12) У= 1 1> зх> !3) У= 1о> 1о->.+1; 14) У=2з!пЗх> 2> 1О> — 1а-> 15) у = 1+ 2 з)п „+ ! 18) у = 4 агсз)п д' 1 — х'. 118. Доказать, что функция, обратная к дробно-линейной функ- ах+ Ь ции д=,„+д (считаем, что Ы вЂ” Ьачь0), также дробно-линейная.

119. При каком условии дробно-линейная функпия задачи 118 совпадает со своей обратной? 120. Показать, что если )(х)=!~а — х", х~О> то Ц~(х))=х. Найти функцию, обратную 1(х). 121 ° Какова особенность графика функции> тождественной со своей обратной? !22. Функция у отх задана уравнением уз — 1+1ой>(х — 1)=0.