Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа, страница 2

Каков геометрический смысл отношения $(ь) — ! (а) Ь вЂ” а 21. Показать, что если любая хорда графика функции у = ~ (х) лежит выше стягиваемой ею дуги, то для всех хтчьхь имеет место неравенство а 1(хй+/ (х,) ~ /к~+ ьЯ Рас„в 22. Дано: 1(х) =х' — 2х+3. Найти вое корни уравнения: а) Дх)= ° .~(0); б)1(х)=~( 1). 23 Дано: 1(х) =2х' — 5х' — 23х. Найти все корни уравнения 1(х) =1( — 2). 24. Дана функция 1(х). Указать хотя бы один корень урав. пения ~ (х) = ) (а), 26. Указать два корпя уравнения ~(х) =~~ —,), если известно, гх+а~ что функция 1(х) определена на отрезке [ — 5, 5!. Найти все корни данного уравнения для случая, когда ((х)=х' — 12х+3.

26, Р(х) =х'+6; 6(х) =5х. Найти все корин уравнения Р(х) =~ <р (х) !. 27. ~(х)=х+1; ф(х)=х — 2. Решить уравнение У(х)+ф(х) ~ = )7(х) )+ ! ~р(х) !. 28. Найти значения а и Ь в выражении функции г(х) =ахг+ +Ьх+5, для которых справедливо тождество 1(х+1) — 1(х) = иабх+3. 29. Пусть г(х)=асоз(Ьх+с). При каких значениях постоянных а, Ь и с выполняется тождество 1(х+1) — ~(х) = — з!пх.

Сложные функции 30. Дана: у=г', г=-х+1. Выразить у как функцию х. 31. Данаи у=у'г-)-1, г=!8гх. Выразить у как функцию х. 32. Дано: у=г"-, г=-ь'х-1-1,х=а'. Выразить у как фуикцию1. гл, ь Функция =)(х), у= р(х). Из точки А графика функции ч>(х) (рис. 4), соответствующей данному значению независимой переменной х, проводится прямая, параллельная оси Ох, до пересечения в точке В с биссектрисой первого и третьего координатных углов; из точки В проводится пря.

мая, параллельная оси Оу, до пересечения с г а иком икции х рф фу П) в точке С. Если из точки С про. вести прямую, параллельную оси Ох, то точка Р ее пересечения с прямой ММ' будет точкой графика функции Р(х), соответствующей взятому значению х. Неявные функции 38. Написать в явном виде функцию у, неявно заданную следующим уравнением: 1) х'+ у' = 1; 2) —; — "—., = 1; 3) хз+ уз = а' ав ег 4) ху=С; 5) 2'з=5; б) 1йх+1й(у+1) =4; ?) 2"зз(хз — 2) =хз+7; 8) (! -1-х) соху — хз=О.

39'. Показать, что при х ) О уравнение у+ ~ д ! — х — 1 х ! = О определяет функцию, графиком которой является биссектриса первого координатного угла, а при х~О данному уравнению удовлетворяют координаты всех точек третьего координатного угла [включая и его граничные точки). ЗЗ. Дано: у=з)пх; т=1йу; и=~/1+~'. Выразить и как функцию х. 34. Дано: у=1+х; г=созу; п=)г1 — г'. Выразить и как функцию х. 35. Следующие сложные функции представить с помощью цепочек, составленных из основных элементарных функции: ц р = ь*д з~ „=,' з зв; з> „-1зч*; 4) д=а!пз(2т-1- Ц' 5) у =5<з"ы' 36.

>'(х) =хз — х; ~р (х) =з(п2х. Найти: а) Г")Ч> (;")1; б) ср(Г(1)1; в) ~р(Г(2)1; г) 7!ср(х)1> д) 1!> (х)1; е) 7(1(1(1)1); ж) ср(ср(х)). 37. Доказать справедливость следующего способа построения графика, сложной функции у=)~гр(х)1=г (х) по известным гра. фикам составляющих функций: у Х >р' 1 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЯ й 2. Простейшие свойства функций Область определения функции аг 40. Составить таблицу значений функции целочисленного аргумента у= — для 1(х-=б. 1 х1 41.

Значение функции целочисленного аргумента и = ср (а) равно количеству простых чисел, не превосходящих и. Составить таблицу значений и для 1( а:=-20. 42. Значение функции целочисленного аргумента и=((п) равно количеству целых делителей аргумента, отличных от 1 и самого п. Составить таблицу значений и для 1~а~20. 43. Из трех материальных отрезков, длины которых равны 1; 2; 1 единицам длины, а массы соответственно равны 2 3; 1 единйцам массы, составлен брус (рис.

5). Масса переменного отрезка АМ длины х есть функция от х. При каких значениях х определена зта функцияу Соетавить ее аналитическое вы- А ражение и построить график. 44. Башня имеет следующую форму: на прямой круглый усеченный конус с ради- Рис. з усами оснований 2(т (нижнего) и 1с (верхнего) и высотой )т поставлен цилиндр радиуса )с и выеоты 211; яа цилиндре — полусфера радиуса 1с. Выразить площадь 8 поперечного сечения башни как функцию расстояния х сечения от нижнего основания конуса. Построить график функции 8 =1'(х).

45. В шар радиуса )т вписывается цилиндр. Найти функциональную зависимость объема у' цилиндра от его высоты х. Укавать область Определения этой функции. 46. В шар радиуса )т' вписывается прямой конус. Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности 3 конуса от его образующей х. Указать область определения этой функции. В задачах 47 — 48 найти области определения данных функций: 47. 1) у=1 — 1ах; 2) у=1д(х+3); 3) у=)~5 — 2к, 4) у=)/ — рх(р': О); 5) у= —,; 6) у=, 1 2х 7) У= —; 8) У=х, ах+2,1 9) У=1 — ) 1 — х'; 10) у= .

1; П) у=1 х' — 4х+3; 12) у= ~;113) у=агсз(о —; )/ хи — Зх+ 2 4 14) у=агсмп(х — 2); 15) у=агссоз(1 — 2х); !г ° 12 ГЛ. 1. ФУНКЦИЯ 62. 7(«)= —; указать область определения функции 1(х) и 1+ж~ ' убедиться, что эта функция неотрнцательна. 16) у=агссоз 4, 17) у=агсз!и! 2х, 1 — 2к !8) у )/1 — (х!; 19) у==;У20) у== г' 1х ~ — х 1' х — ! а ! 2!) у = )/ 1д ( — ); 22) у =16 з!пх; 23) у= агссоз —.; 24) У=!оп„2. 2 2+впх ' 48. 1) у- 1, „1+)Г»+2; ° 2) д=)УЗ-х+агсз!и — "; 3) д=агсз!и —" — 1й(4 — х); '4) У=) х-)- ~/' — 2 — 1Я(2» — 3); б) у=)/» — 1+2)/1 — х+ф~ха-(-1; 6) У= 4 „,-+ !К (х~ — х)1 7) У=!баси (х 3)+ д'Т6 — ха) 3 8) У=У'з1пх+У!6 — х'; 9) у= ! -).,'~з!пх; Уып« «+2 Р'!+к' и) ~-Уи — з~<.п<.

3-~-,2 1В) 9 (* ~' "~ 1) ~ И) у=м$ — 4.~-)'6 — )~ 16) у 1И(1 — 1й(х'-5»+16)). 49, Тождественны ли функции: 1) ~(х) =-- и гр(х) = —; 2) ~(х) = — н <Р(х) «! 3) ~(х)=» н ~Р(х)=)/ха; 4) ~(х)=12»' и «Р(х)=2!2»Р 60. Придумать пример аналитически заданной функции: 1) определенной только в интервале — 2(»=2; 2) определенной только в интервале — 2(х(2 н не определенной прн х=О; 3) определенной для всех действительных значений х, за исключением х=2, х=3, х=4.

61. Найти области определения однозначных ветвей функции у = <Р(»), заданной уравнением: 1) УЯ вЂ” 1+!ойя(х — 1) =О; 2) д' — 2хуа+ха — х= О. Элементы поведения функции з а пгостгпшиа свопстал етнкцип 1в 53. Найти интервалы зиакояостояиства и корни функцин1 1) у=Зх — 6; 2) д=ха — 5х+6; 3) д=2"-' 4) д = ха — Зха+ 2х; 5) д = ) х ~.

54. Какие из указанных ниже функций четны, какие нсчетны, какие не являются ни четными, ни нечетными: 1) д=х'-2х', 2) д=х — х'; 3) д=созх; 4) д=2"; х' И 5) д=х — — + —; 6) д=з1пх; 7) д=з(пх — созх; 8) д=1 — х', 9) д=18х; 10) д=2 — '*. Ц) д='+2' 1 12) д=,; 13) д= „" 14) д=„— „ а~+ 1 15) д=х — „. ах 1б) д=2' — "'; 17) д=!п —,? 55. Каждую из следующих функций представить в виде суммы четной и нечетной функций: 1) д=хз+Зх+2; 2) д=1 — х' — х4 — 2х'; 3) д=з1п2х+соз — +1йх.

2 56, Доказать, что 1(х)+1( — х) — четная функция, а г(х)— — 1( — х) — нечетная функция. 57. Представить ',в виде суммы четной и нечетной функций еледующие функции: 1) д=а"; 2) д=(1-)-х)'аа (см. задачу 56). 58. Доказать, что произведение двух четных функций есть четная функция, произведение двух нечетных функций — четная функция, произведение четной и нечетной функции — нечетная функция. 59. Какие из нижеследующих функций будут периодическими: 1 1) д=з(п'х; 2) д=з(пха; 3) д=х созх; 4) д=з)и —; х' 5) д=1+18х; 6) д=б; 7) д=[х]; 8) д=х — [х]? (Функция [х] определяется так: если х — целое число, то [х]=х. Если х не есть целое число, то [х] равно наибольшему целому числу, меньшему х.

Так, [2]=2; [3,25]=3; [ — 1,37]= — 2.) 60. Построить график такой периодической функции с периодом Т= 1, которая на полуиптервале [О, 1) задана формулой: 1) д=х; 2) д=х'. 61. Указать интервалы возрастания н убывания и интервалы постоянства функций: 1) д=(х(; 2) д=(х( — х. 62. Указать наибольшее и наименьшее значения функций: 1) д=з(п'х; 2) д=созх' 3) д=1-з(пх; 4) д=2"'.

гл. ь егнкция 63. С помощью графического сложения построить график функции у=7(х)+<Р(х): 1) для графиков, изображенных на рис. 6; 2) для графиков, изображенных на рис. 7. Рис. 7 Рис, а 64. Зная график функции д=7(х), построить график функции! 1) д=)~(х)~; 2) д= — И(х))+~(х)1; 3) д= — ~Ц/(х)~ — 7(х)1. данным 3) х!д 2,517,2 3,2 16,8 2) х~д 4 2 ~43 6 — 1,610 1) х)д з! $3. Простейшие функции Линейная функции 65. Дано, что при напряжении Е =*2,4 В сила тока 7 =0,8 А.

Выразить аналитически, используя закон Ома, зависимость между силой тока и напряжением; построить график найденной функции. 66. В сосуд произвольной формы налита жидкость. На глубине 8=25,3 см давление атой жидкости р = 1,84.10' Па. а) Составить функцию, выражающую зависимость давления от глубины. б) Определить давление на глубине 8 =14,5 см. в) На какой глубине давление станет равным 2,65 10и Па? 67. Тело движется прямолинейно под действием силы г".