Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы), страница 12

Проводник в электростатическом псле Из рис. 2.16, на котором показаны графики зависимостей потенциалов ср, и ф от положительно и отрицательно заряженных проводов, нетрудно понять, что искомая разность потенциалов (2) Напряженность электрического поля, создаваемого одним иэ проводов на расстоянии х от его оси, можно легко найти с по- мощью теоремы Гаусса: Е = Х/2яэ,х. Тогда Х Ь вЂ” а ~йср+~= ( Ебл= — 1п —, 2нзэ а (2) где а — радиус сечения провода„Ь вЂ” расстояние между осями проводов. Иэ (1), (2) и (3) следует, что Се ™Фп ч» здесь учтено, что Ь и а. В Рве.

2.16 Решение. Сообщим пластинам 1 и Л соответственно заряды ес н -де Под действием возникшего меэкду этими пластинами поля рассеяния (краевой эффект) произойдет перемещение заряда в замыкающем проводнике, после чего пластина А эарядится отрицательно, а пластина  — положительно. В пространстве между всеми пластинами возникает электрическое поле и соотзет- 2.9. Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на одинаковом расстоянии Ь друг от друга, причем наружные пластины соединены между собой проводником. Площадь каждой пластины Я. Найти емкость этой системы (между точками 1 и 2, рис.

2.17). Глава 2 ствующее распределение потенциала 9 (рис. 2.18). Заметны, что из симметрии системы следует, что потенциалы в ее середине, а также на наружных пластинах равны нулю. По определению емкость системы в данном случае где У вЂ” разность потенциалов между точками 1 н 2, ее и надо яайти. Из рис.

2.18 видно, что разность потенциалов неладу средними пластинами, т. е. К вдвое больше разности потенциалов между крайной парой пластин (как слева, так и справа). Это же относится н к напряженности поля: (2) А так как Е о, то мы можем утверждать, что в соответствии с (2) заряд а), на пластине 1 делится на две части: да/3 — на левой стороне пластины 1 и 2а1а/3 — на правой стороне. Поэтому (1 = Е)а = пйуэа = 2((аЧ3са8 ~ и емкость системы (между точками 1 и 2) равна ЗсаБ С= а 2Ь Рнс. 2Л9 Рнс.

2.18 2.10. Распределение мндуцированного заряда. Точечный заряд ц находится между двумя большими параллельными проводящими пластинами 1 и 2, отстоящими друг от друга на расстоянии 1. Найти полные ааРЯды а), и рн наведенные на каждой из пластин, если пластины соединены проводом и заряд 9 расположен на расстоянии 1, от левой пластины 1 (рис. 2.19. а). Проводник в электростатическом поле Решение. Воспользуемся принципом суперпозиции. Поместим мысленно на плоскости Р где-то еще такой же заряд д.

Ясно, что это удвоит поверхностный заряд на каждой пластине. Если же на поверхности Р равномерно распределить некоторый заряд с поверхностной плотностью а, то электрическое поле станет простым для.расчета (рис. 2.19, б). Пластины соединены проводом, поэтому разность, потенциалов между ними равна нулю. Отсюда Е,.), +Е,„(1-(„) = О, где Е,„и Е, — проекции вектора Е на ось Х слева и справа от плоскости Р (рис. 2.19, б). С другой стороны, очевидно, что о = -(и, + о ), где согласно (2.2) о, = еоЕ,е = зеЕи и аз = ееЕэч = -е,Ем(знак минус, так как нормаль и, противоположна орту оси Х).

Исключив Е,„, и Ем из этих уравнений, получим а, = — о(1 — «)Д, о, = — о(УП Аналогичный вид имеют и формулы для искомых зарядов д, н 92 через заряд д. Решение же этой задачи с помощью метода изображений весьма затруднительно: необходим бесконечный ряд Фиктивных зарядов, располагающихся по обе стороны от нашего заряда ~у, и нахождение поля такой системы оказывается сложной задачей. Глава 3 Электрическое поле в диэлектрике 5 3.1.

Поляризация диэлектрика Диэлектрики. Диэлектлриками (или изоляторами) называют вещества, практически не проводящие электрического тока. Это значит, что в диэлектриках в отличие, например, от проводников нет зарядов, способных перемещаться на значительные расстояния, создавая ток. При внесении даже нейтрального диэлектрика во внешнее электрическое поле обнаруживаются существенные изменения как в поле, так и в самом диэлектрике; последнее следует хотя бы из того, что на диэлектрик начинает действовать сила, увеличивается емкость конденсатора при заполнении его диэлектриком и др. Чтобы понять, почему это происходит, надо прежде всего учесть, что диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул, либо из заряженных ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки (ионные кристаллы, например, типа МаС)). Сами же молекулы могут быть лоляриыми и яелоляряыми У полярных молекул центр «тяжести» отрицательного заряда сдвинут относительно центра тяжести положительных зарядов, в реаультате чего они обладают собственным дипольным моментом р.

Неполярные же молекулы собственным дипольным моментом не обладают: у них центры тяжести положительного и отрицательного зарядов совпадают. Поляризация. Под действием внешнего электрического поля происходит поляризация диэлектрика. Это явление заключается в следующем.

Если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то в пределах каждой молекулы происходит смещение зарядов — положительных по полю, отрицательных против поля. Если же диэлектрик состоит из полярных моле- Электрическое поле в лиэлектрмке кул, то прн отсутствии внешнего поля их дипольные моменты ориентированы совершенно хаотически (из-за теплового движения). Под действием же внешнего поля дипольные моменты ориентируются преимущественно в направлении внешнего поля.

Наконец, в диэлектрических кристаллах типа МаС1 при включении внешнего поля все положительные ионы смещаются по полю, отрицательные — против поля . Таким образом, механизм поляризации связан с конкретным строением диэлектрика. Однако для дальнейшего существенно лишь то, что независимо от механизма поляризации в этом процессе все положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные — против поля. Заметим, что смещения зарядов в обычных условиях весьма малы даже по сравнению с размерами молекул, это связано с тем, что напряженность внешнего поля, действующего на диэлектрик, значительно меньше напряженности внутренних электрических полей в молекулах.

Объемные и поверхностные связанные заряды. В результате поляризации на поверхности диэлектрика, а также, вообще говоря, и в его объеме появляются нескомпенсированные заряды. Чтобы понять, каким образом возникают зти заряды (особенно объемные), обратимся к следующей модели. Пусть имеется пластина из нейтрального неоднородного диэлектрика (рис. 3.1, а), у которого, например, плотность как-то увеличивается с ростом координаты х. Обозначим р', и р' — модули объемной плотности положительного и отрицательного зарядов в веществе (зти заряды связаны с ядрами и электронами).

Прн отсутствии внешнего поля в каждой точке диэлектрика р' = р', ибо диэлектрик электрически нейтрален, но в силу неоднородности диэлектрика как р'„так и р' увеличиваются с ростом х (рис. 3.1, б). Из этого рисунка видно, что если внешнего поля нет, то оба распределения в точности накладываются друг на друга (распределение р',(х) показано сплошной линией, а распределение р' (х) — пунктирной). Сущеетвуют ионные кристаллы, поляризованные даше при отсутствии внешнего поля. Этим же свойством обладают диэлектрики, называемые элевтрепшмп (они подобны шктоянным магнитам).

Глава 3 Включение внешнего поля Е приведет к смещению положительных зарядов по полю, отрицательных — против поля, и оба распределения сдвинутся относительно друг друга (рис. 3.1, в). В итоге появятся нескомпенснрованньте заряды на поверхности диэлектрика и в его объеме (на нашем рисунке в объеме появился отрицательный нескомпенсированный заряд). Заметим, что изменение направления поля на обратное приведет к изменению знака всех этих зарядов. Нетрудно также видеть, что в случае пластины из однородного диэлектрика каждое распределение р' (х) и р' (х) имело бы П-образную форму, и при их относительном смещении в поле Е возникли бы только поверхностные нескомпенснрованные заряды.

а) в) ри.зл Нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называют ноляризационнылзи или связанными. Последним термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения таких зарядов ограничена. Они могут смещаться лишь внутри электрически нейтральных молекул. Связанные заряды мы будем отмечать штрихом (у', р', о'). Итак„при поляризации диэлектрика в нем могут возникать в общем случае и объемные и поверхностные связанные заряды. Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика, называют свзоронними .

Эти заряды могут находиться как внутри, так и вне диэлектрика. * Сторонние заряды часто называют свободными, но последнее название для ряда случаев является неудачным: сторонние заряды бывают и не свободным н. Злектзкчеалее поле в диэлектрике Поле в диэлектрике. Полем Е в диэлектрике мы будем называть величину, являющуюся суперпозицией поля Е, сторонних зарядов и поля Е' связанных зарядов: (3.1) Е=Е,+Е', где Е, и Е' представляют собой мзкрополя, т.

е. усредненные по физически бесконечно малому объему микрополя соответственно сторонних и связанных зарядов. Ясно, что определенное таким образом поле Е в диэлектрике является также макрополем. 5 3.2. Полярнзовннность Р Определение. Для количественного описания поляризации диэлектрика естественно взять дипольный момент единицы объема. Если внешнее поле или диэлектрик (или то и другое) неоднородны, степень поляризации оказывается различной в разных точках диэлектрика. Чтобы охарактерирозовать поляризацию в данной точке, мысленно выделяют физически бесконечно малый объем Лк; содержащий эту точку, затем находят векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме н составляют отношение (3.2) Определенный таким образом вектор Р называют поляризованностью диэлектрика. Этот вектор равен дипольному моменту единицы объема вещества. Есть еще два полезных представления вектора Р.

Пусть в объеме ЛУ содержится ЛЮ диполей. Умножим и разделим правую часть выражения (3.2) на ЛФ. Тогда можно записать (З.З) Р = п(р), где л = ЛМ/Лк' — концентрация молекул (их число в единице объема); (р) = (,'~"р,)/ЛХ вЂ” средний дипольный момент одной молекулы. Другое выражение для Р соответствует модели диэлектрика как совокупности положительной и отрицательной «жидкос- Глава 3 тей». Выделим очень малый объем Ь»" внутри диэлектрика. При возникновении поляризации входящий в этот объем положительный заряд р',ЬЪ' сместится относительно отрицательного заряда на величину 1, и эти заряды приобретут дипольный момент Лр = р',Ь~'1.

Разделив обе части этого равенства на М; получим выражение для дипольного момента единицы объема, т. е. вектор Р: (3.4) Р = р', 1. Единицей поляризованности Р является купон на квадрат- ный метр (Кл/м'). Связь между Р и Е. Как показывает опыт, для обширного класса диэлектриков и широкого круга явлений паляризованность Р зависит линейно от напряженности Е поля в диэлектрике. Если диэлектрик изатрапный и Е не слишком велико, та (3. 5) Р= же»Е, где ~ — безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от Е, она характеризует свойстве самого диэлектрика.