Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы), страница 11

Поэтому потенциал проводника, являющийся алгебраической суммой потенциала собственных зарядов и зарядов, индуцированных на других телах, уменьшится при приближении к нему других незаряженных тел. А значит, его емкость увеличится. Это позволило создать систему проводников, которая обладает емкостью, значительно большей, чем уединенный проводник, и притом не зависящей от окружающих тел.

Такую систему называют комдемсатпором. Простейший конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга, Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, его обкладки располагают так относительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливающимися на них зарядами, было сосредоточено практически полностью внутри конденсатора. Это означает, что линии вектора Е, начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, т. е.

заряды на обкладках должны быть одинаковы по модулю и противоположны по знаку (д и — д), Основной характеристикой конденсатора является его емкость. В отличие от емкости уединенного проводника под емкостью конденсатора понимают отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между обклцдками (эту разность называют напряясением): Глава 2 Под зарядом д конденсатора имеют в виду заряд, расположен- ный на положительно заряженной обкладке. Естественно, емкость конденсатора измеряют также в фарадах.

ЕЬ вЂ” чЬ/зо8. После подстановки этого выражения в (2.12) получим (2.13) Этот расчет был проведен без учета искажения поля у краев пластин (без учета краевых аффектов). Емкость реального плоского конденсатора определяется полученным выражением тем точнее, чем меньше зазор Ь по сравнению с линейными размерами пластин. Емкость сферического конденсатора. Пусть радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора равны соответственно а и Ь. Если заряд конденсатора д, то напряженность поля между обкладками определяется по теореме Гаусса: Ч 4хзо гь Напряжение на конденсаторе ь о=) о,о,= д ( — '- — '). о Отсюда легко видеть, что емкость сферического конденсатора аЬ С = 4лзо —. Ь вЂ” о (2. 14) Емкость конденсатора зависит от его геометрии (размеров и формы обкладок), от зазора между ними и от заполняющей конденсатор среды. Найдем выражения для емкости некоторых конденсаторов, считая, что между обкладками находится вакуум.

Емкость плоского конденсатора. Этот конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разделенных зазором шириной й. Если заряд конденсатора д, то согласно (1.11) напряженность полн между его обкладками Е = о/з„где а = д/Я, Я вЂ” площадь каждой пластины. Следовательно, напряжение между обкладками 63 Проводник э электростатическом поле Полезно убедиться, что в случае малого зазора между обклад- ками, т. е. при условии (Ь вЂ” а) <и а (или Ь), полученное выра- жение переходит в (2.13) — в выражение для емкости плоско- го конденсатора. Емкость цилиндрического конденсатора.

Рассуждая так же, как и в случае со сферическим конденсатором, получим 2язз( )п(Ь~а)' (2.15) Задачи 2.1. О кахождении потенциала. Точечный заряд о находится на расстоянии г от центра О незаряженного сферического проводящего слоя, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно а и Ь. Найти потенциал в точке О, если г < а. Решение. В результате электростатической индукции на внутренней поверхности слоя выступят, допустим, отрицательные заряды, а на наружной — положительные (рис.

2.9). Согласно принципу суперпозиции искомый потенциал в точке О можно представить как где первый интеграл берется по всем индуцировзнным зарядам на внутренней поверхности слоя, а второй интеграл — по всем зарядам на внешней поверхности слоя. Из этого выражения сле- дует: Заметим, что так просто потенциал в полости можно найти только в точке О. поскольку только от этой точки все индуциро- где ( — длина конденсатора; а и Ь вЂ” радиусы внутренней и наружной цилиндрической обкладок.

Здесь так же, как и в предыдущем случае, при малом зазоре между обкладками по- лученное выражение переходит в (2.13). Вопроса о влиянии среды на емкость конденсатора мы коснем- сявфЗЛ. Глава 2 ванные заряды одного анака находятея на одинаковом расстоя- нии и их распределение (нам не известное) не играет роли. О В, В, Рис. 2.10 Решение. Запишем выражения для потенциала вне системы (орз) и в области между сферами (ор,): орв = ) %+Юг 4пео ) % ор~ = — + оро 4пео г где оро — некоторая постоянная, Ее значение легко найти нз граничного условия: при г В,потенциал орз = орь Отсюда оРо = о)о/4псо1ч ° Из условия ор,(й,) = 0 находим е, = — д,В,/Вг Зависимость ор(г) бу- дет иметь вид (рис. 2.10): 2.3.

Сила, действукнцзя на поверхностный заряд. Незаряженный металлический шар радиусом В поместили во внешнее однородное электрическое поле„в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью а = а, соз 6, где ао — положительная постоянная„б — полярный 2.2. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причем на внутренней сфере радиусом В, находится заряд сг Какой заряд д, следует поместить на внешнюю сферу радиусом Ея чтобы потенциал внутренней сферы стал равным нулю? Как будет зависеть при этом потенциал ор от расстояния г до центра системы7 Изобразить примерный график этой зависимости, если е, с О. Проводник в электростатическом поле угол.

Найти модуль результирующей электрической силы, которая действует на заряд одного знака. Рвс. 2.11 Решение. Согласно (2.5) на элементарную площадку 6Я действует электрическая сила с(Г= — пЕс1Я. 1 2 Из соображений симметрии ясно, что искомая результирующая сила Р направлена по оси 2 (рис. 2.11) и поэтому ее можно представить как сумму (интеграл) проекций элементарных сил (1) на ось 2: (2) В качестве площадки с)Я целесообразно сразу же взять элементарный пояс, для которого ЙЯ = 2кЯ е(п 6 Я 66. Учитывая, кроме того, что Е = а/ее преобразуем (2) к виду пг,' = (нпзй'/аз) в)п 0 сое 0 г)0 = — (нпзВ~гез) ось~0 г)(сов 6).

Проинтегрировав это выражение по полусфере (т. е. по сов 6 от 1 до О), получим Р = пп'В~!4зз. 2.4. Метод ивображеннй. Точечный заряд ц находится на расстоянии ( от безграничной проводящей плоскости. Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния г от основания перпендикуляра, опущенного из заряда д на плоскость. Глава 2 Решение. Согласно (2.2) поверхностная плотность зарядов на проводнике связана с электрическим полем вблизи проводника (в вакууме), как а = сэЕ„.

Следовательно, задача сводится к нахождению поля Е вблизи проводящей плоскости. Методом иэображений получаем„что в точке Р (рис. 2.12), находящейся на расстоянии г от точки О, поле вблизи плоскости: ((1 Ю = 2Е сова = 2 4яссх х Значит, ф 2п((э + гз)из где знак минус показывает, что индуцираванный заряд противоположен по знаку точечному заряду е. 1 1 -сс Ь Рнс.

2.13 2.5. Точечный заряд о находится на расстоянии 1 от безграничной проводящей плоскости. Найти работу, которую совершит электрическая сила, действующая на заряд с при его медленном удалении на очень большое расстояние от плоскости.

Решение. По определению работа этой силы при элементарном перемещении бх (рис. 2.13) оА = Г, бх = — бх, Д 4пе (2х) где выражение для силы получено с помощью метод» изображений. Проинтегрировав это уравнение по х от 1 до м, найдем Ч' Г )х о' )бизе х 1бнзо( ! Проводник в электростатическом ноле Замечание. Попытка решить зту задачу другим способом — через потенциал — приводит к неверному результату (он вдвое отличается от полученного нами). Это связано с тем, что соотношение А = д(<р, — ф,) справедливо только для потенциального поля. В системе же отсчета, связанной с проводящей плоскостью, электрическое поле индуцированных зарядов не потенциально: перемещение заряда д приводит к изменению распределения индуцированных зарядов, и их поле оказывается зависящим от времени.

2.6. Тонкое проводящее кольцо радиусом ))„имеющее заряд с, расположено параллельно проводящей безграничной плоскости на расстоянии 1 от нее. Найти: 1 ) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца; 2) потенциал электрического поля в центре кольца. Решение.

Легко догадаться, что в соответствии с методом изображений фиктивный заряд — д должен быть расположен на таком же кольце, но по другую сторону проводящей плоскости (рис. 2,14). Действительно, только в этом случае потенциал на средней плоскости между этими кольцами равен нулю, т. е. совпадает с потенциалом проводящей плоскости. Теперь воспользуемся иэвестнымн нам формулами. 1.

Для нахождения и в точке О необходимо согласно (2.2) найти напряженность Е поля в этой точке (рис. 2.14). Выражение для Е от одного кольца на оси было получено в примере 1 (см. с. 12). В нашем случае это выражение надо удвоить. В результате ((1 2п(В +( ) 1 2. Потенциал в центре кольца равен алгебраической сумме по- тенциелов в этой точке, создаваемых зарядами д и — д: () д 4псэ ~ В .~Я + 41' 2.7. Три разноименных точечных заряда расположены так, как показано на рис. 2.15, а„где АО — прямой угол, образованный двумя проводящими полуплоскостями. Модуль каждого заряда равен (д), расстояния между ними указаны на рисунке.

Найти: 1) суммарный заряд, индуцированный на проводящих полуплоскостях; 2) силу, действующую на заряд -с. Глава 2 з 9 г — — — — — ю-Ч ,а/2 О ~з 1 ' а/2 ' — —.4~~ в 1В б) Рис. 2.15 Решение. Полуплоскости, образующие угол АОВ, уходят в бесконечность, поэтому их потенциал ф = О. Нетрудно сообразить, что системой, у которой эквипотенциальные поверхности с р = О совпадают с проводящими полуплоскостями, является та, которая показана на рис. 2.1б, б. Поэтому действие зарядов, индуцированных на проводящих полуплоскостях, эквивалентно действию фиктивного точечного заряда — д, помещенного в нижний левый угол пунктирного квадрата.

1. Ответ на этот вопрос мы уже получили: -о. 2. Сведя систему к четырем точечным зарядам, легко найти и искомую силу как (см. рис. 2.1б, 6) Оз Г=г; — г, = 4яа, 2а' 2.8. Емкость параллельных проводов. Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между осями проводов в ц раз больше радиуса сечения каждого провода, Найти емкость проводов на единицу нх длины, при условии, что д в 1, Решение. Зарядим мысленно оба провода одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами так. чтобы на единицу длины приходился заряд 3 Тогда, по определению, искомая емкость С =1/У, н все дальнейшее сводится к нахоэкдению разности потенциалов между проводами.