Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей, страница 9

Введение). Пусть произведено и повторений опыта, причем в пл из них появилось событие А. Обозначим г,4 = пл(п наблюденную частоту события А. Практика показывает, что в тех экспериментах, для которых применимы методы теории вероятностей, частота события А с увеличением числа опытов и стабилизируется, т.е. стремится к некоторому пределу (допуская некоторую вольность речи). Определение 2.6. Вероятпносгпью собыптя А называют (эмпирический) предел Р(А), к которому стремится частота гл события А при неограниченном увеличении числа и опытов. Данное определение вероятности события принято называть стпотписгпическим опредеяениела еероятпноспт.

Можно показать, что при статистическом определении вероятности события сохраняются свойства вероятности события, справедливые в условиях классической схемы, т.е. 1) Р(А) >0; 2) Р(й) =1; 3) Р(А+ В) = Р(А) + Р(В), если АВ = Э. С практической точки зрения статистическое определение вероятности является наиболее разумным. Однако с позиции теории вероятностей как раздела современной математики недостаток статистического определения очевиден: нельзя провести бесконечное число повторений опыта, а при конечном числе в.б.

Авсвометвческое овреяелевве вереетвоств 59 повторений наблюденная частота, естественно, будет разной при различном числе повторений. Заметим,что связь между классическим и статистическим определениями была выявлена еще в период становления теории вероятностей как теории азартных игр. Было установлено, что при корректном использовании классического определения вероятность событий практически совпадает с их частотами при большом числе повторений эксперимента. И хотя игроков интересовала частота определенных событий, решение задач, полученное на основе классического определения вероятности, их вполне устраивало.

Иными словами, даже игроки азартных игр знали о совпадении статистического определения с другими (классическим и его обобщением— геометрическим). Собственно говоря, задача определения связи вероятности с частотой не потеряла актуальности и в наши дни, когда в теории вероятностей повсеместно используется аксиоматическое определение вероятностей Колмогорова (см. 2.5).

Это привело к появлению и широкому внедрению в практику обширного раздела теории вероятностей — математической статистики. 2.5. Аксиоматическое определение вероятности Для того чтобы понять смысл аксиоматпического определения вероятпносттти, рассмотрим классическую схему. В этом случае вероятность любого элелтентпарного исхода ьт;, т = 1, М, Р(атт) = 1/Ж.

Всроятпностпь любого событпия А при этом равна Р(А) = = МА/И, где ФА — число исходов, благоприятпстпвуютцих собышию А. Вероятность Р(А) можно записать также в следующем виде Р(А) = ~~» Р(ю;), ьвЕА 60 2.ВЕРОЯТНОСТЬ где суммирование ведется по всем значениям индекса т', при которых элементарные исходы и; образуют событие А. Однако задать вероятность события по такому принципу уже в случае геометрической схемы нельзя, так как при этом вероятность любого элементарного события равна нулю. Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных исходов й, не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства вероятностей событий, которые имеют место для всех предыдущих определений (классического, геометпрического, ставтаисшического).

Напомним, что этими свойствами являются следующие: 1) Р(А) >0; 2) Р(й) =1; 3) Р(А1+ ... + А,„) = Р(А1) + ... + Р(А ), если события Аы ..., А попарно несовместпны. Именно эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3 постулируется для суммы счетного множества попарно несовместных событий. Определение 2.7. Пусть каждому событию А (т.е.

подмножеству А пространства элементарных исходов й, принадлежащему о-алгебре х1) поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р (заданную на о-алгебре хт) называют веролтпностпъю (иливеролтпностпнот1 мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам: Аксиома 1 (аксиома неотприиатпельностпи): Р(А) > 0; Аксиома 2 (аксиома нормированностпи): Р(й) = 1; Аксиома 3 (расширенном аксиома сложения): для любых попарно несовместных событий Аы ..., А„, ... справедливо равенство Р(А1 +... + А„+...) = Р(А1) +... + Р(А„) +... Значение Р(А) называлот веролтпностпью событпил А. 61 2.5.

Акскоматкческое окредеаекке аереаткостк Замечание 2.6. Если пространство элементарных исходов Й является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу ьл Е Й, 1 = 1,2,..., можно поставить в соответствие число Р(ы;) = р; > О так, что Р(и;) =~~~' р; =1. ма ей а=1 Тогда для любого события А С Й в силу аксиомы 3 вероятность Р(А) равна сумме вероятностей Р(ел) всех тех элементарных исходов, которые входят в событие А, т.е.

Р(А) = у Р(ы;). и;еА Таким образом, мы определили вероятность любого события, используя вероятности элементарных исходов. Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать совершенно произвольно, лишь бы они были неотрицательными и в сумме составляли единицу. Именно в этом и состоит идея аксиоматического определения вероятности. ф В следующей теореме докажем утверждения, описывающие ряд полезных свойств вероятности. Теорема 2.8. Вероятность удовлетворяет следующим свойствам. 1.

Вероятность противоположного события Р(А) = 1 — Р(А). 2. Вероятность иевозлсожиого событпил Р(И) = О. 3. Если А С В, то Р(А) < Р(В) („большему" события соответствует ббльшая вероятность). 62 2. ВНРОА'гнОсть 4. Вероятность заключена между О и 1: О < Р(А) < 1. 5. Вероятность объединения двух событий Р(АОВ) = Р(А)+Р(В) — Р(АВ). 6. Вероятность объединения любого конечного числа событий Р(аз 0... 0 А„) = Р(Аз) +...

+ Р(А„)— — Р(АзАг)-Р(АзАз) — "-Р(А -зА )+ +Р(АзАзАз)+" +(-1)"~~Р(А~Аз".А~) м Поскольку 0=А+А, то, согласно расширенной аксиоме сложения, Р(й) = Р(А) + Р(А), откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утверждение 1. Утверждение 2 вытекает из равенства А=А+и и расширенной аксиомы сложения. Пусть А с В. Тогда В = А+ (В 1 А).

В соответствии с расширенной аксиомой сложения Р(В) = Р(А) +Р(В 1А). 2.о. Аиеиометичееиое опредеееиие ееролтиоети 63 Отсюда и из аксиомы неотрицательности приходим к утверждению 3. В частности, так как всегда А С й, то с учетом аксиомы неотрицательности получаем утверждение 4.

Поскольку А 0 В = А+ (В ~ А), В = (В ~ А) + АВ, то, используя расширенную аксиому сложения, находим Р(А и В) = Р(А) + Р(В ~ А) Р(В) =Р(В~А)+Р(АВ). Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность Р(В ~ А), выраженную из второго равенства, приходим к утверждению 5. Утверждение 6 можно доказать с помощью метода матема тической индукции по п. Так, для трех событий А, В и С Р(АОВОС) =Р(А)+Р(ВОС)-Р(А(ВОС)) = = Р(А)+Р(В)+Р(С) — Р(ВС) — Р(АВ 0АС) = = Р(А) + Р(В) + Р(С) — Р(ВС) — Р(АВ) — Р(АС) + Р(АВС).

Для четырех и более событий это утверждение проверьте самостоятельно. в Замечание 2.7. Утверждения 5 и 6 называют теоремами сложения веролепееосепей для двух и для и событий соответственно. Приведем пример, показывающий, что без учета того, что собышил сов.иестиые, можно прийти к неправильному результату. 64 2. ВЕРОЯТНОСТЬ Пример 2.10. Опыт состоит в двукратном подбрасывании симметричной монеты. Найдем вероятность события А, означающего появление „герба" хотя бы один раз. Обозначим А; появление „герба" при 1-м подбрасывании, 1 = 1, 2.

Ясно, что А =А1 ОАг, и в соответствии с классической схемой вероятности Р(А1) = Р(Аз) = —. 1 2 Если не учитывать, что А1 и Аз — совместные события, то можно получить „результат" Р(А) = Р(А1) + Р(Аг) = — + — = 1, 1 1 2 2 противоречащий здравому смыслу, поскольку ясно, что собы1пие А не является достоверным. Применяя теорему сложения для двух совместных событий и учитывая равенство Р(А1А2) = —, 1 4' находим 1 1 1 3 Р(А) = Р(А1)+Р(А2) -Р(А1Аз) = — + — — — = —. Ф 2 2 4 4 Иногда вместо аксиомы 3 удобно использовать две другие аксиомы.

Аксиома 3' (аксиома с,аожени.в): для любых попарно непересекающиеся собмп1нб А1, ..., А справедливо равенство Р(А1 +... + Ап) ж 1'(А1) +" + Р(А~). Аксиома 4 (аксиома непрерывности): если последовательность событий А1, ..., А„, ... такова, что А„С А„+1, п ЕМ, и А10...0А„0... =А, 65 2.0. Аксиоматическое опреденение неронтности то 1пп Р(А„) = Р(А).

Можно доказать, что аксиомы 3' и 4 в совокупности равносильны аксиоме 3. Покажем, как конструктивно можно задать вероятность для некоторых наиболее часто встречающихся на практике пространств элементарных исходов, содержащих бесконечное число элементарных исходов. Пусть й содержит счетное множество элементарных исходов 011, ..., м„, ... В этом случае любую вероятностную меру Р можно получить, задав вероятности р1 =Р( Л1), ..., р„=Р(01 ), элементарных исходов, где последовательность р1, ..., р„, должна удовлетворять только условиям неотрицательности р;~)0, 1ЕЯ, и нормированности р1 + " + рп + " ° = 1~ т.е.

~ р; является энакоположительным числовым рядом, сум1=1 ма которого равна единице. Вероятность любого события А равна сумме ~ р; вероятностей всех входящих в А элементар- НЫХ ИСХОДОВ 01;. Предположим теперь, что пространство элементарных исходов Й представляет собой числовую прямую (-оо, +со) с борелевскоб и-алгеброб на ней. Для задания вероятностной меры на числовой прямой можно взять произвольную неубывающую для любого х Е К непрерывную слева функцию Р(х), удовлетворяющую условиям Р(-оо) = 1пп Р(х) =О, Р(+ос) = 11ш Г(х) =1, к-+-00 е-++со 3 — 10047 66 г.