Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004), страница 21

й (3.12) Считая поток вероятности П распределенным по всей поверхности 5, введем вектор плотности потока вероятности 7', который определим интегральным соотношением (3.13) 127 Здесь Ж =сюй, где й — единичный вектор внешней нормали. Знак минус в правой части (3.13) соответствует естественному предположению о росте вероятности Р при поступлении в объем г извне потока вероятности и убывании Р при изменении направления вектора 7' на поверхности 5.

Из (3.12) и (3.13) получаем для скорости изменения вероятности интегральное соотношение С помощью теоремы Остроградского Я~Б = ~)о(ч 7ЙУ соотношение (3.14) можно преобразовать к виду ~ — +йч7' НУ =О. а~ч !' дг (3.15) — +о1ч7' =О. а!ч!2 а1 (3.16) Первое слагаемое в (3.16) можно представить в виде — = — ~ч' Ч') =Ч' — +'Р—.

(3.17) а)ч~' а . ° ач' .ач дт д~ аг аг Так как волновая функция Ч' является решением уравнения Шредингера ,г й — = — Лч'+ Уч', дг 2то (3.18) то комплексно сопряженная функция Ч' удовлетворяет уравне- нию аЧ' а -й — = — Ьч' +Уч' . аг 2то (3.19) 128 Отсюда в силу произвольности объема ч'следует уравнение не- прерывности для поля вероятности в дифференциальной форме . Г .ач ач'1 ! = — (Ч~ггч' — Ч~ Ьч~). (3.20) дг дг ! 2то ~ Подставив (3.20) в правую часть формулы (3.17), получим — = — (ч'лч *-ч'*лч ). а!Ч 12 (а, дг 2то (3.21) Теперь, используя известные формулы векторного анализа, запишем два следующих равенства: йч(ч'8гадч' ) = раг1Ч'*8гж)Ч'+ Ч'Лч'* г(1ч(ЧФ 8гад ЧФ) = 8гж1 Ч/8гай ЧФ* + ЧУ*ЛЯ.

Отсюда получаем соотношение о)ч(ч'рж1Ч' -Ч' раг)ч')=Ч'Ьч' -Ч' Ьч', с помощью которого преобразуем (3.21) к виду —:-в ~ — ~ч раат'-ч'а 1ч )]=о. (згг~ а]ч'!' Г 18 аг ~г, Сравнив (3.22) с (3.1б), запишем выражение для плотности потока вероятности: У вЂ” '" (Ч раг(Ч" -Ч'"райЧ'). г, (3.23) 129 5 — Ю329 После умножения (3.18) на Ч', а (3.19) на Ч' вычтем из первого соотношения второе. Тогда Учитывая, что ягж1Ч'мУЧ', представим (3.23) в более компактной форме: 1 = ~~ ~Ч'чч' -Ч' УЧ').

г, (3.24) Отметим, что в задачах квантовой механики с ненулевым значением плотности потока вероятности можно считать, что рассматриваемая частица движется в потоке таких же частиц, которые независимо друг от друга взаимодействуют с силовым полем. В такой интерпретации задачи следует принять, что модуль вектора 1 характеризует число частиц, пересекающих единичную поверхность, перпендикулярную направлению вектора ~', за единицу времени. В этом случае соотношения (3.14) и (3.16) можно рассматривать как законы сохранения числа частиц, записанные в интегральной и дифференциальной формах.

Если уравнение (3.16) умножить на массу частицы то, то вег личины р,„= во ~Ч'~ и д,„= то) приобретают смысл плотности и потока массы вещества, движущегося в пространстве, а само уравнение (3.16) переходит в известное в механике сплошных сред уравнение непрерывности (3.25) ар, — +йч1 =О. дг (3.26) 130 Аналогично, если движущиеся частицы несут заряд с, то ве- 2 личины Рч — — д~Ч'~ и У, =п( можно тРактовать как объемнУю плотность заряда и плотность электрического тока.

Тогда после умножения на д уравнение (3.16) преобразуется в известный в электродинамике закон сохранения заряда в дифференциальной форме: Задача 3,3. Рассчитайте плотность потока веРоЯтности в задаче о бедно движущейся частице, квантовое состояние которой описывается плоской волной де Бройля 1 Ч'(х, г)=Аехр — (Ег-рх) . реюиеиие.

Записав комплексно сопряженную волновую функцию Ч'"(х, г) = Аехр +-(Ег — рх), найдем отличные от нуля компоненты градиентов: (йгабЧ') = — = — Ч', аЧ р ах й * (йгабЧ' ) =~ = — )Ч'*. ах л Теперь по формуле (3.23) определим составляющую вектора плотно- сти потока вероятности вдоль оси х: ,1,= — Ч'Ч' = — А = — А. Р * Р г кл г ио гле глс Здесь к = — = — — волновое число. р 2н )~в Таким образом, для движущейся свободной частицы плотность потока вероятности пропорциональна квадрату амплитуды волны де Бройля.

Отсюда следует, что волновую функцию свободной частицы можно нормировать, полагая г, =1. В этом случае амплитуда волны де Бройля А= ° где р — импульс; о — скорость движущейся частицы, 131 3.4. Представление физических величин операторами Как, зная волновую функцию, предсказать результат измерения какой-либо физической величины у частицы, находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии? Для получения информации о физических величинах, связанных с движущейся частицей, в квантовой механике разработан специальный математический аппарат, в котором используют операторы физических величин и результаты нх действия на волновые функции. В работах М. Бориа, П.

Дирака и других ученых был сформулирован второй постулат квантовой механики, утверждающий, что каждой физической величине соответствует определенный оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.

Для расшифровки этого постулата дадим некоторые пояснения. Оператор — это математическое правило, следуя которому мы можем преобразовать одну функцию в другую. Задать оператор — значит определить рецепт этого преобразования. Такое преобразование может быть простым умножением исходной функции на число или известную функцию, дифференцированием функции, перестановкой аргументов функции и др. В квантовой механике в качестве символа соответствующего оператора используется классическое обозначение физической величины со "шляпкой" над буквой в виде значка " л". Например, х — это оператор координаты х, р„— оператор проекции нмпульса на ось х, У вЂ” оператор потенциальной энергии и т. д.

Оператор предполагается действующим на написанную за ним функцию. В качестве таких функций в квантовой механике выступают волновые функции. При этом равенство двух функций АЧ' = ВЧ' в операторной форме будет записываться как равенство операторов: А = В. Определим операторы основных физических величин в квантовой механике. 1. Оператор коордииаты. Действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению ее на соответствующую координату, т. е: хЧ~ = ХЧ~, 7Ч~ = уЧ~, гЧ~ = гЧ . (3.27) 132 В символической операторной форме записи этих операций имеют вид (3.28) х=х, У=У* 2=2 Объединяя эти формулы, можно ввести векторный оператор р, соответствующий радиус-вектору г в классической механике. Такой оператор формально рассматривается как некоторый вектор, имеющий в качестве компонент в декартовой прямоугольной системе координат операторы х, у, 8 .

Поэтому г =ехх+е у+с,2. (3.29) .д ..д .,д Р =-18 —, Р =-1й —, Р =-1й —. (3.30) х= д„' У= Все эти три формулы можно объединить в одну, введя векторный опеРатоР импУльса Р=е,р„+еуру+е,р,, котоРый с Учетом (3.30) запишем как Р = — 1а7. (3.31) Здесь д д д Ч=е„— +е — +е,—. " дх У ду ' д2 Используя соотношение классической механики 2 2 2 2 Р Рх + Ру + Ре РхРх + Руру + Рера ~ 133 Здесь ех, е, е — единичные орты координатных осей. 2. Оператор импульса. С помощью операций дифференцирования по координатам определим операторы проекций импульса, записав эти определения в символической операторной форме: определим оператор квадрата импульса р =(р„) +')р ) +'1,рх) =-й — + — + — .

13.32) 2 . г 2(д д д ) у ' ~дхг д г дгг~' Используя символ оператора Лапласа, представим 13.32) в более компактном виде: 2 )22 хх (3.33) ух=УРх тру ту =грх хрх ~х =хРу Урх Эти соотношения превратим в операторные, определяющие операторы проекций момента импульса: .( д д1 х = УР— 2Р = -й~У вЂ” — 2 — ), х х У ~ д д .( д д) Е.

2Рх хР, Й 2 х '1, дх дД ,( д д) Х =хр -ур =-1й х — -у — . ~ д дх,)' 13.34) Оператор квадрата момента импульса можно построить по правилу Е -АхЬх+Ьуъу+1А. (3.35) Отметим, что задачи квантовой механики, описывающие системы со сферической симметрией, удобнее решать не в декартовой 134 3. Оператор момента импульса. Согласно формуле классической механики, определяющей момент импульса частицы как вектор Е, = гх р, запишем выражения для его проекций на координатные оси: д д ) Х, =-й~апср — +с186соад — ), дО дф д .

д) ,(", = — й~сощ — — с186а1пр — ), дО д(р! (3.3б) — Е =-"пв, . д др Здесь д(. д1 1 д' Ьв е = — — вшΠ— )+ ' зшОдО~ дО! з1п'Од,' угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат. 4. Операторы энергий. Классическая формула связи кинетической энергии частицы с квадратом ее импульса Е„= р /(2то) позволяет записать аналогичное соотношение между соответствующими операторами. Поэтому -г йг Е„= — = — А 2то 2то (3.37) Если частица движется в стационарном силовом поле и ее потенциальная энергия у =У(х, у, г) определена в любой точке пространства, то оператор потенциальной энергии у определяется как оператор умножения на функцию у, т. е. О Ч'=У Ч' или О=У. (3.38) 135 прямоугольной, а в сферической системе координат (г, О, д).