Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004), страница 20

Согласно принципу суперпозиции состояний, микрочастица может находиться и в состоянии, которое является суперпозицией первого и второго состояний и описывается волновой функцией (3.7) Тот факт, что частица в таком состоянии с равной вероятностью может быть обнаружена либо в первом состоянии, либо во втором возражений не вызывает. Однако, естественно, возникает коварный вопрос. Жива или мертва кошка в состоянии микрочастицы, описываемом волновой функцией (3.7)? Ведь кошка не может находиться в состоянии, которое является суперпозицией жизни и смерти, т. е.

не может быть ни живой, ни мертвой. Так жива или мертва кошка? Ведь если мы откроем ящик, то однозначно увидим, что кошка или жива, или мертва. И если она мертва, то когда это произошло? Ведь до открытия ящика однозначного ответа, что кошка мертва, не могло быть. Неужели мы убили кошку тем, что открыли ящик? На все поставленные вопросы нет ответов только потому, что была рассмотрена некорректная система, которая формально объединяла классические и квантовые объекты. Задача 3.1.

Волновая функция, описывающая состояние микрочастипы, движущейся в сферически симметричном силовом поле с расстоянием г от центра, имеет вид Ч'(г, т) = Аекр — 1 екр — — Ет а л Здесь г — расстояние от силового центра; а — известная постоянная; Š— полная энергия частицы, не зависящая от времени т. Определите: а) значение постоянного множителя А; б) наиболее вероятное расстояние частицы от силового центра.

121 Решение. а. Значение постоянной А найдем из условия нормировки волновой функции (3.4), выбирая в качестве элементарного объема объем шарового слоя радиусов от г до г+сЬ . Объем такого слоя ИУ = 4ш ~й . Условие нормировки приводит к соотношению Вычисляя интеграл 1 = ) ехр ~ — ~ г Й' = —, 4 из условия нормировки находим б. Наиболее вероятное расстояние часпщы от силового центра найдем, записав вероятность нахождения частицы на расстоянии г от центра, точнее, в выделенном шаровом слое. Эта вероятность равна йР=~Ч'~ 4яг~йг=у'1г)юг, где 4г~ ( 2г1 у'(г) = — ехр~ — ).

аз а Приравняв производную — нулю, найдем экстремальную точку су Нг г = а, где функция у достигает максимума. Именно на расстоянии г = а от силового центра в заданном квантовом состоянии наиболее вероятно обнаружить частицу. Это расстояние со временем не изменяется. Задача 3.2. В момент времени г = 0 волновая функция, описывающая квантовое состояние частицы, движущейся вдоль оси х, имеет вид Х Ч'(х, О) = Аехр — — +1Ьх, 122 где А, а и Ь вЂ” известные действительные константы.

Определите зависимости от координаты х: а) действительной части волновой функции; б) квадрата модуля волновой функции. Рещение. а. Найдем действительную часть волновой функции: КеЧ' = Ке Аехр~ — )ехр()Ьх) = Аехр~ — Ке1ехр(1Ьх)). Но формуле Эйлера, согласно теории комплексных чисел, получаем (,' ') КеЧ' = Аехр~ — ~созЬх. а б. Определим квадрат модуля волновой функции: ~Ч'~ =Ч'"Ч'=Аехр — — )Ьх Аехр — +гЬх .

Отсюда ~Ч'~ =А ехр — . 2 з 2х оз Качественный внд найденных зависимостей представлен на рис. 3.3. рис. ЗЗ. Координатные зависимости действительной части волновой фуиклии ° (а) н квадрата сс модуля ® 123 3.2. Уравнение Шредингера . Как, зная структуру силового поля, в котором движется частица, определить волновую функцию, описывакяцую квантовомеханическое состояние этой частицы? Как, зная волновую функцию в начальный момент времени, описать эволюцию волновой функции во времени? Ответы на этн вопросы дает основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, сформулированное Э. Шредингером в 1926 г. Общее временнде уравнение Шредингера позволяет определить в любой момент времени волновую функцию Ч' для частицы массой во, движУщейсЯ в силовом поле Р =-йгайУ, описываемом скалярной потенциальной функцией У(х,у,~,г).

Это уравенние имеет вид д1, вг )й — = — ДЧ'+ УЧ'. дг 2то (3.8) Здесь 1= / — 1 — мнимая единица, а й — рационализированная постоянная Планка. Стандартным символом Д в (3.8) обозначен дифференциальный оператор Лапласа, который в декартовой прямоугольной системе координат определяется следующим образом: д д д Дж72- + + дх~ ду2 д~2 (3.9) 124 В общем случае в задачах квантовой механики дифференциальное уравнение в частных производных (3.8) должно решаться с учетом определенных начальных и граничных условий на волновую функцию.

Начальное условие задает значение волновой функции в начальный момент времени г = О. Граничные условия являются следствием регулярности волновой функции, обеспечивая, в частности, ее непрерывность. Эти условия формулируются на границах областей, где потенциальная функция 0 терпит разрывы первого или второго рода. К граничным условиям относятся также условия на волновую функцию в бесконечно удаленных точках пространства, которые обеспечивают выполнение условия нормировки (3.4). Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения электродинамики Максвелла и другие основные физические уравнения, не может быть выведено.

Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого подтверждается данными экспериментов. Такое согласие теории с опытом установлено для большого числа явлений в атомной и ядерной физике. Квантовые эффекты, предсказанные с помощью уравнения Шредингера, лежат в основе работы многих технических устройств н приборов, а также широко используются в современных технологиях. Уравнение Шредингера тесно связано с гипотезой де Бройля и вытекающим из нее корпускулярно-волновым дуализмом материи. Действительно, легко убедиться, что для свободной частицы, с г кинетической энергий Е= —, движущейся в отсутствие сило2о' вых полей (У =О, У =0) в направлении оси х, решением соответствующего уравнения Шредингера дЧ' л д Ч' Й вЂ” — —— (3.10) дг 2гло дхг является волновая функция Ч'(хд) = Аехр — — (Ег — рх), л (3.11) 125 соответствующая плоской волне де Бройля.

Этот факт позволяет утверждать, что и в общем случае уравнение Шредингера, описывающее движение микрочастицы, имеет волновые решения. Линейность этого уравнения обусловливает принцип суперпозиции квантовых состояний, физическое содержание которого обсуждалось в 3.1. Уже указывалось, что квантовая механика содержит в себе классическую механику как некоторый предельный случай. Значит, соответствующий предельный переход можно осуществить и в основном уравнении квантовой механики.

Уравнение Шредингера после такого предельного преобразования должно перейти в основное уравнение классической механики. Связь между квантовой и классической механикой аналогична связи между волновой и геометрической оптикой. В обоих случаях переход от одной теории к другой соответствует переходу от относительно больших длин волн (частицы или излучения) к малым длинам волн, если их сравнивать с характерным размером Е области неоднородности силового поля или оптических свойств среды. Проиллюстрируем это следующим образом: Волновая оптика Х>Е Квантовая механика ЛБ аЕ Классическая механика Зв ~~ь Геометрическая оптика Х << А В таком сравнении теорий траектория движения классической частицы является аналогом светового луча в геометрической оптике.

Формально малость длины волны де Бройля для частицы можно обеспечить, считая квант действия л некоторым параметром задачи и осуществляя предельный переход л ~ О по этому параметру. Действительно, по формуле де Бройля 12.2) при л -э О длина волны де Бройля также стремится к нулю. Поэтому переход от квантовой теории к классической в уравнении Шредингера (3.8) можно осуществить, выполняя в нем предельный переход й-+О. В курсах теоретической физики анализируются результаты такого предельного перехода и доказывается, что и Ь -+ О общее в еменнбе авнение Ш 3.8 п о ит в уравнение Га- 126 мильтона †Якоби~дссщеСКайывдани.

Следует отметить, что с помощью волновых функций, найденных из решений уравнения Шредингера, можно описывать квантовые состояния только нерелятивистских частиц, которые движутся со скоростями, намного меньшими скорости света в вакууме. Переход к релятивистским скоростям частиц в квантовой механике был впервые осуществлен для электрона П. Дираком в 1928 г. При этом были использованы принципиально новые физические идеи для описания квантовых состояний релятивистских частиц, что привело к созданию релятивистской квантовой механики.

В основе этой теории лежит уравнение Дирака, которое обобщает уравнение Шредингера и в настоящее время широко используется в квантовой электродинамике и теории элементарных частиц. 3.3. Вектор плотности потока вероятности уравнение Шредингера учитывает свойства симметрии пространства и времени. Поэтому из основного уравнения квантовой механики могут быть получены такие общие законы, как закон сохранения массы, закон сохранения заряда и другие законы сохранения. Чтобы показать это, выделим в пространстве некоторый объем У, ограниченный замкнутой поверхностью 5. В квантовом состоянии с заданной волновой функцией Ч' вероятность Р нахождения частицы в рассматриваемом объеме определяется как Если эта вероятность изменяется со временем, то следует предположить наличие потока вероятности П через поверхность 5, который и приводит к изменению вероятности Р: АР— =П.