Frol_126-262 (Фролов К.В. - Теория механизмов и машин), страница 22

е. д„'=гр,ь; ф,=ф,; ф,= ф . Тогда уравнения (10.1), (10.2) и (10.9) потеряли бы силу. При постановке второго условия все кинематическве, инерционные и силовые характеристики рабочей машины надо было бы пересчитать к входному сечению А передачи. К этому сечению 238 нужно было бы привести коэффициенты жесткости с и сопротивления Й, а именно: е.,=си4», й,»=йь,иагл. Отметим, что в дальнейшем изложении будут использоваться первое условие и связанные с ним уравнения (10.1), (10.2) н (10.9). $10Л.

УСТАНОШНШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ МАШИННОИ УСТАНОВКИ Рассмотрим устаноеи4пиеесл движение машинной установки, щюнсходящее с малым коэффициентом неравномерности. Возьмем типичный пример, когда двнгатель установки — роторная машина, передаточный механизм — зубчатый с передаточным отношением 軻— - нзг =гггфгзг») (рис. 10.1), а рабочая машина имеет рычажный механизм — допустим, кривошипно-ползунный. Пересчитаем по уравнениям (102) и (10.9) все кннематнческне, инерцнониые н силовые характеристики двигателя к выходному сечению В передачи.

К этому же сечению приведем коэффициенты жесткости с=с», и сопротивления к=йы. Пусть двигатель имеет абсолютно жесткую характеристику (рис. 10.2, а); его момент не зависит от угла поворота М,= штаг (~р»), а момент инерции его ротора — постоянный: У,= сопзц Как и ранее (см. $5.11), момент сопротивления рабочей машины примем не зависящим от скорости вращения: М„=штаг (ф„). Но а) Н» ьж 4» г) 4йГ Г У = — ~ Х„(гр„) 61р„=сопя!; 2л о У =оаг, У (гр„)йд„=О. о Нетрудно заметить, что .аг,~ =У.; У (гр„) игр„=О.

дом 4о„ о С учетом этого зашппем уравнения движения машвнного агрегата (10.8) и (10.10) в таком виде: 1 ,Р Ф„+.Р Ф„+,Р Ф„'=м +м,( „! й(Р„Ф1; (10.11) 2 Х,Ф,=М,— с(гр — Р ) — л(ФД вЂ” Ф„). (1ОЛ2) Представим уравнение (10.11) следующим образом ! 2 Ф„=м +м + м + —,р Ф„--з' Ф* 2 где М вЂ” момент, приложенный к рабочей машине ат передачи н определяемый по уравнению (10.7). Напомним, что М =сопя! (рис. 10.2, б), Члены, заключенные в квадратные скобки, зависят явно от угловой координаты д„(рис.

10.2, б, в, г) и изменяюта~ периодически. Объединвм их одним обозначением (р )=м' + —.р Ф вЂ” 1з' Ф„' . 2 (10ЛЗ) момент М„существенно зависит от угла поворота гр„(рве. 10.2, б). Представим момент М„как сумму двух слагаемых: М„=м +М„„, в которой 2л 2п Г М = ~ М„(гр„) игр„=сопз1; М =оаг, причем М (гр„) йф„=О. 2л ~ о о Приведенный к валу рабочей машины момент инерции У„ее механизма и его производны ЙУ„/огр„представлены на ряс.

102, в, г. Примем, что У„=У +У; при этом Теперь уравнение (10.11) при- 7 =сапы д мет вид +7 (14")' м (10.14) Аналогычыо запишем уравнеыие (10.12): х Ь м с Щ р Ь .7,фр,=М,+М (10.15) где М =М +М вЂ” момент, приложенный к двигателю от Р .юз передачи [см. уравнения (10.4) н (10.6)1. Динамическая модель исследуемой машинной установки, построенная по уравнениям (10.14) и (10.15), изображена на рис.

10.3. Решим уравнения (10.14) и (10.15) относительно искомых функций ср„(1) и ср,(1). Так как характеристика двигателя абсолютно жесткая (т. е. вертикаль, рис. 10.2, а), то решение для 1р,(1) и ее производных получаем сразу: Уд Ум ф„=со =сопв1; ср =со,.Г, ф =О. (10.16) В уравнении (10.17) У„„М, к, с — ые изменяющиеся в процессе 241 Таким образом, вращение вала двигателя равномерное, с угловой скоростью со =ш /из, =сопяп Движущий момент М„пересчитанный к выходному сечению передачи, а следовательно, и фактический момент двигателя М =М,и,х будут иметь переменную величину. Момент М,(г) определяют из уравнения (10.12) после того, как будет найдена ср„(г). Получив решеыия (10.16), замечаем, что уравнение (10 11), являющееся развернутой формой уравнения (10.14), содержит только одну неизвестыую функцию д„(г), которую и определим из этого уравнения. Как видно, оно является ыелинеыным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами.

Для решения таких уравнений в нелинейной механике используется метод последовательных приближений. Применительно к задачам динамикы машин этот метод был впервые разработан и эффективно применен М. 3. Коловским [1з1. Оставим в правой часты уравнения (10.14) только член 2 (ср„), зависящий явью от угловой координаты <р„, а остальные слагаемые ю перенесем в левую часть и запишем ее с учетом уравнения (10.7): У <р„+7сср„+сср„— Якр„+сер,+М )=1 (ср„). (10.17) движения величины.

В то же время член 1 „(гр„), стоящий в правой части уравнения (10.17), периодически изменяется. Он математически представляет воздействие, вынуждающее колебательный ирояесс. Это воздействие 1см. уравнение (10.13)] проистекает со стороны рабочей машины и порождено, во-первых„ее технологическим процессом — слагаемое М и, во-вторых, кривошипно-ползунным механизмом рабочей машины — слагаемое ( —,7 ф„— У ф~/2). В дальнейшем многочлен 1 (<р„) будем называть вынуждающим момен- том. Искомый закон движения гр„(г) определим в процессе последовательных приближений.

Начальное (нулевое) приближение. Так как заведомо извество, что неравномерность вращения вала рабочей мшпииы мала, то вначале положим, что момент 1 (гр„), вызывающий эту неравномерность, примерно равен нулю. С учетом этого запишем уравнение (10.17), подставив в него решение (10.1б). Тогда Х 9„+/с(ф„— а> )+с(ср„— ш г) — кМ =О. Решение этого дифференцйального уравнения для установивпжтося режима имеет такой вид: гр„=ю г — Ь; ф„=ю =сопац ф„=О, где Ь= — М /с.

(10.18) Такам образом, в начальном приближении вал рабочей машины вращается равномерно; его угловая скорость ф„= щ„= ш =ш иэ =сопа1. Координаты выходного сечения В передачи и ее входного сечения А (рис. 10.1, б) связаны соотношением гу„=р иээ — Ь, где Ь=сопа1 — статическая деформация передачи, приведенная к ее выходному сечению.

Первое приближение. Теперь учтем вливние вынуждающего момента 1 (гр„), подставив в его выражение 1см. уравнение (10.13)] результаты начального приближения. Тогда получим =М вЂ” У ге~„/2, где М и Г периодически зависят от взятого из начального приближения угла ср„=со г — Л, т. е. от времени я Поэтому 1 = 1~.

(г) есть периодическая функция времени. Решение еь = р„(г) уравнения (!0.17) для первого приближения будем искать в виде гр„=в г — А+в, (10.19) Разложим 'вынуждающий момент Х (г) в ряд Фурье: (г)=Х,соя(со г-б — Й,)+Х ~,сов(2со„,~ — 26 — ~з)+...= = Х Х. „;соя(ко„,) — тЬ вЂ” р;)' ! 1 амплитуды Е ~, и фазы )у, определяются по формулам Эйлера— Фурье. Теперь для решения уравнения (10.20) мояшо использовать принцип суперпозиции: 6 61+62+- Х 6! (10.21) ю ! Первое слагаемое с), определим из дифференциального уравнения (10.20), в правую часть которого подставим первую гармонику из разложения в ряд Фурье: Х„А+)о),+се,=Х.„с,сон(го г — Л вЂ” Р,). Для устаиовившегося режима необходимо найти только частное решение этого уравнения, хорошо известное из курса теоретической механики: 2 с 2 Д(с —.ы,*у )~+(Ьси )с =с),осоя(со ~-и-р1 71) (10.22) где 1йу, =Ьи„Яс — го„* 7,„).

Аналогично получим частное решение 9, для слагаемого с иоме- Е а~ — — сох((ш г — й)-~),-у,)= „/[с-(1'о Ру дс+дсйи )с =л„, соЯш ( — Ж вЂ” Д-у;), где )йу;=усцо„дс-(ко ))я 1. Таким образом, 9 =я()) есть та динамичепсая де4ормация, кото- мз где 9 = 9 (г) — динамическая деформация. Из уравнения (10.19) определим ф„= со + я; ф„= )).

Подставим полученные выражения в урав' нение (10.17) и после несложных преобразований получим Х„,6+ Ь)+ сл = Х (г). (10.20) рая вызвана податливостью передаточного механизма н которая вместе со статической деформацией Л накладывается на основное движение машинной установки [см.

уравнение (10.19)1. Эта динамическая деформация выражается как сумма упругих гармонических колебаний (см. уравнение (10.21)], происходящих с частотами т,-оз„о т =2оз, тз=Зоз, ..., где оз — средняя угловая скорость рабочей машины. Как было отмечено ранее, со =со, =со ила=сонат. (10.23) Надо иметь в виду, что ряд (10.21) обычно быстро сходится, поскольку амплитудные значения 2 и, 1 «з, У«м~з, ... во многих случаях монотонно и быстро убывают при увеличении 1 — номера члена рядд (10.21).

Позтому прн приближенном решении задачи часто бывает достаточно рассматривать только функцию з)з(г), вызванную воздействием первой гармоники. 1 103. исслкдОВАние Влияния упРугОсги звеньев Определим частоту собственных колебаний агрегата. Для этого надо снять с механизма вынуждакнций момент (1 =0) и вязкое сопротивление (к=О). Тогда дифференциальное уравнение (10.20) будет описывать собственные (свободные) колебания и примет вид «т 9+се)=0.

Отсюда согласно положениям теоретической механики получим частоту собственных колебаний р=./с/У . (10.24) Подчеркнем, что р есть угловая частота, единица измерения которой рад~с, а не частота периодического процесса в Гц. Рассмотрим, как влияет упругость передачи на закон двюкения вала рабочей машины. Согласно уравнению (1022), амплитуда динамической деформации з),д при учете только первом гармоники возмущающего момента (10.25) Ю.н = -,((с — о~У,„)*.+О )' Функция з)„, = л„, (с) представлена на рнс.

10.4, а при неизменном значении средней угловой скорости оз рабочей машнные. «Очень малые звачеввв месткоств с ковструктвево нереализуемы; поэтому е оол«ютв очевз малых звачеввя (акл«очак с О) трафвк аи (с) показав штрвзамв. 2 ~/с вясг Р/г ~мп=Р д сз гс„, Ряс. 10.4 При статическом натруженны увеличение жесткости ведет к уменьшеыню деформации. Однако в условиях динамического колебательного процесса зависимость деформации от жесткости более сложнаЯ.

Если жесткость мала 1т. е. с(с, где сс,=в 7 — та 2 жесткость, при которой наступает максимум динамической деформации (рис. 10.4, а)1, то при периодической нагрузке увеличение жесткости вызывает увеличение (а ые уменьшение) деформации. Если жесткость велика (с~с ), то при ее увеличении деформация будет уменьшаться. Такое влияние жесткости коыструктор должен обязательно учитывать при проектыроваыиы передаточного механизма, чтобы избежать резонанса.

На рис. 10.4, 6 сплошной линией изображена зависимость сг„, = г/„, (в ) при заданном зыаченыи жесткости с передачи. Резонанс в системе наступает тогда, когда частота т первой гармоники совпадает с собственной частотой «, =р. Так как частота первой гармоникы равна средней угловой скоросты рабочей машныы т, =со то, следовательно, резонанс нытупает, когда сс =сг,=р, или согласно уравнению (10.24) щ„=ся,=.,/с/.с . Поэтому при резонансе г/„, =1 ~~/(/ср) 1см. уравнение.(10.25)1. Введем ювестный из курса теоретической механики коэффициент динамичности чж 4Ус = г, д~/с где У с«~/с — та статыческая деформация, которую мог бы вызвать момент, равный амплитудному значению г. „первой гармоники 245 выыуждающего момента.