Frol_126-262 (Фролов К.В. - Теория механизмов и машин), страница 21

Рассмотрим составляющую Г, этой силы, касательную начальным окружностям, а также составляющую д, упругого перемещения зубьев по этому же напраалеюпо тг 1рис. 10.1, в). Сила и упругая деформация связаны соотношением Г; — сд„где с — линейная жесткость зубчатого зацепления. Линейная жесткость пропорциональна длине Ь зубьев: к=аЬ, где ив коэффициент, который для стальных колес принимают равным 15000 МПа. В дальнейшых расчетах удобнее пользоваться не линейной жесткостью, а угловой. Чтобы перейти к ыей, закрепим неподвижно ступицу в сечении 2 колеса г, а к валу большего колеса гз в сечении 3 приложим момент Мз. Под его действием зубья сдеформнруются н сечение 3 повернется на угол д . Очевидно, что б,=грзг„„ а Г,=М /г„,.

Подставам эти выражения в уравнение Г,= сд„после чег" полу™ Мз=ст3зЮз или окоычательно Мз=сззуз где сз =ст„*,. Величина сзз есть угловая жесткость зубчатого зацепления, приведенная к сечеывю 3 прн неподвижном сечении 2. Если же поступить наоборот, т. е. закрепить сечение 3, а к сечению 2 приложить момент Мз, то сеченые 2 повернется на угол грз. Проделав те же действняу что в ранее~ получнм Мз — сззч3з~ где с э=сто. Здесь необходимо обратить особое внимание на то, что с;;~сзз. М~~~~ запвсать, что сзз=~~.'з(г /г.,)'=диззи:з, г.

е. сзз = сззизз, где изз = г„з/г„з = гз/гз — передаточное отношевне зуб- чатого зацепления. Жесткость вала длиной 1 в диаметром з! (например, вала 3 — 4, рыс. 10.1, б) определяется по формуле, известной ю ктоса <Сопротивление материалов»: сзз= 6 ! /!, где зз= 8 ' 10 МПа, 3 =яг!~/32. Для угловой жесткости вала справедливо сзз — — сзз. Отметим также, что угловая жесткость вала обычно много меньше угловой жесткости зубчатого зацепления. Определим жесткость всего передаточного механизма П (рнс.

10.1, б). Прн этом не будем учитывать инертность зубчатых колес в валов, так как она мала по сравнению с инертностью других звеньев машинного агрегата. Сделаем сечение ! неподвижным, а к сечению 6 приложим момент М . Под действием этого момента участок 6 — 5 будет скручен н сеченые 6 повернегся относительно сечения 5. Равным образом, момент Мз вызовет деформацию зубьев в зацеплении 5 — 4, вследствие чего сечение 5 повернетзж относительно сечения 4. Этот поворот вызовет добавочное угловое перемещенне сечения 6. Рассуждая н дальше так же, прядем к заключению, что полное угловое перемещение ар< сечения б представляет собой сумму слагаемых, каждое ю которых вызвано деформацией соответствующего участка передачи. Прн определенны этих слагаемых необходимо прндержнватьсл следующих положений: 1) подсчитывая поворот сеченыя б, вызванный деформацией какого-либо участка (например, участка 4 — 3), все остальные последовательно включенные участки при этом следует считать абсолютно жесткими; 2) так как участок 4 — 3 свюан с сечением б ые прямо, а через зубчатое зацепление 5 — 4, то, определяя угол поворота сечения 6, вызванный углом скручивания грбз, нужно этот угол сз умножать на передаточное отношение из4 — -гб/гб; 3) по причине, изложенной в п.

2, момент, скручнваюший участок 4 — - 3, не равен Мб и поэтому его надо определять как Мбзззб. Учитывая все это, запишем ~б ~ б ' бз'54 Мбб54 з' бзззз 'ЗЗб "- + +' Збзб+ Вбб+ 4452 Сбз С54 С42 СЗ2 2! 54 54 52 =м ~ — + — + ---+--+--у б ~ С55 Сзб Сбз СЭЗ С21 Жесткосгью сб, передачи, приведенной к сечению 6 при неподвижном сечении 1, назовем отношение с, = М /~р„откуда 1 1 1 1 1 1 — — — + — + -+ + сб1 сб» сзб сбз/бззб сззз 5254 с2115552 Если нужн~ было бы определить жесткость с,б передачи 17, но приведенную к сечению з при неподвижном сечении 6„то с,б=сб,ибь где иээ=хзгДгзхб) — передаточное отношение зубчатого механизма.

Таким образом, передачу П можно заменить ее моделью — некоторым условным упругим валом с жесткостью с=с который якобы соединяет двигатель Д с рабочей машиной М (рис. 10Л, г). Угол скручивания этого вала определяется как разность угловых координат его концевых сечений Ь и а. Примем, что кинематические характеристики ез„, ф ф„сечения Ь вала в точности такие же, как н кинематические характеристики выходного сечения В передачи (рис. 10Л, 6), т.

е. <Р =бр з ф =фз» Р=Фю' (10.1) Но податливый вал моделирует только упругие свойства передачи 12; ее передаточных свойств он воспроизвести не может. Их учитывают с помощью уравнений ф,=ф иэб, фб=ф„изб,' фб=дззЗЗаз, (10.2) где ез,„ф„, ф,— кинематические характеристики сечения а условного вала; р ф, ф„— кинематическне характеристики входного сече- ниЯ А пеРедачи;.Эбэб — пеРедаточное отношение, котоРое дла механизма (рнс.

10.1, 6) зззз =хзэ~1(хзхз). Так как, согласно уравнениям (10.1)„именно выходные характеристики передачи при замене ее упругим валом не претерпели изменения„то операции, выполненные по уравнениям (10.2), усло- 235 вимся ыазывать «пересчетом к выходному се.сзию передачю>.

Однако при этом нельзя забывать, что между сечением и с координатой гр, и сечением Ь с координатой гр„находится условный улрусий вал (рис, 10.1, г), и поэтому пересчет к выходному сечению передачи отнюдь не означает равеиства координат гр«и гр„. Такое равенство имело бы место только в случае абсолютпо жесткой передачи. Поворот сечения Ь упругого вала по отношевию к сечению а составит д„— гр,. Поэтому упругий момент, приложенный к рабочей машине М от передачи, выразится так: М„«= — с(гр„- ~Д, (10З) где с — жесткость упругого вала, приведенная к выходному сечению Ь; знак минус указывает на то, что реакция упругого элемента направлена всегда навстречу его деформации. В соответствии с этим упругий момеит М, приложенный к двигателю Д от передачи, равен — М, поэтому (10.4) Колебательный процесс всегда сопровождается действием сил сопротивления (так пазываемых диссипативных сил).

Природа этих сил различна. Их причины — трение и кинематических парах, а также в неподвижных соедииениях деталей (конструкционное трение в резьбе, в стыках и т. п.); внутреннее трение, возникающее между частицами материала (в металлах — весьма небольшое); наконец, специальные демпферы, устанавливаемые в нужных случаях па валопроводах для ограничеиия возникающих колебаиий. Связь мехгду силой сопротивления и харвкгеристиками движепия — сложная.

Однако опыт показывает, что при небольших амплитудах — что как раз и свойственно рассматриваемой задаче— можно считать, что сила сопротивления примерно пропорциональна скорости относительного двюкеиия. Силы сопротивления проявляют себя в различиых местах механизма. Но все их можно привести к одному сечению и замеиить одиим моментом вязкого сопротивлеиия. Поскольку для передачи П, замененной условным валом, скорость сечения Ь относительно сечения и составляет гр„- гр, (рис. 10.1„г), момент вязкого сопротивления„приложенный к рабочей машине М от передачи, выразится следуюгцим образом: М = — к(гр„-ф„), где Й вЂ” 'коэффициент сопротивлении, приведенный к сечению Ь; знак минус показывает, что момент сопротивления направлен все- гда против относительной скорости.

Аналогично момент вязкого сопротивления, приложенный к двигателю Д от передачи, залншет- М.= -У (Ф,-Ф.). (10.6) Если бы нужно было определить коэффициент сопротивления йоы приведенный к сечению 1 (рнс. 10.1, 6), то кгв =ко«««м, где кв, — коэффициент сопротивления, приведенный к сечеыйю б. Отметим также, что значение коэффициента сопротивления находытся опытным путем. Составим уравнения движения машинной установки. Так как учитываются уцругие деформации звеньев передачи, то жеопкой кинематической связы между ее входными и выходными характеристыками нет, и ыа основное движение механюма накладывается колебательыый процесс.'Следовательно, механизм имеет уже не одну (как при абсолютно жесткой передаче), а две степени свободы, поэтому для его исследования надо назначить две обобщенные координаты и составить два уравнения движения.

Как уже было отмечено, инертность звеньев передачи (из-за ее малости) учитывать не будем. Сначала составим уравнение рабочей машины в днфференциаль ной форме (см. $ 5.5). ВыбеРем в качестве печаль~юга звена входной вал рабочей машины с коордиыатой в«„,= гр„. К нему приведем все массы н силы, приложенные к механизму рабочей машины (см. $ 5.4„5.3),после чего запишем 1аг~г .2 У„р„+- ф„=М, .

2 е«р В суммарный приведенный момент Мг войдут приведенный момент сопротывлеыия рабочей машиыы М„(д„, ф„) и момент М приложеыный к валу рабочей машины от передачи. Он состоит ю упругого момента М, и момента вязкого сопротнвления М [см.

уравнения (10.3) и (10.5)], т. е. М =М +М = — (.о„— р) — й(ф„— ф,). (10.7) Теперь уравнение рабочей машины примет такой вид: 1 в''«« ° х ,у„ф„+- " «р„=М„(«р, ф ) — («р — «д) — К(«р — ФЭ (10 й) Составим уравнение двигателя с механизмом любой структуры. Начальным звеном выберем выходной вал двигателя с координатой «у . Приведя к нему все массы и силы, приложенные к механизму двигателя, запишем 1 дуде 2 уф+- — ф =м з ее„ 1 В суммарвый приведенный момеит Мг войдут приведеипый движущий момент М, (у, ф„,) и момент М, приложеииый к валу двигателя от передачи.

Замена передачи условным валом (рис. 10.1, г) потребовала пересчета к ее выходному сечению кипематических характеристик двигателя по уравнениям (10.2). Эта же причина вынуждает сделать пересчет приведенного момента иверции г двигателя и его производной ЙУ ~бр, а также момеитов М и М, к выходному сечению передачи по уравнениям хг„, А —, — 3 (10.9) и~ ЙФ~ м~~ Щ Для передачи, изображенпой па рис. 10.1, б, вв„= и,з=хзхДгзгз).

Момент М„состоит из двух слагаемых; М,„и М,„(см. уравнения (10.4) и (10.б)1. Ъчитывая это, а также используя уравпеиия (10.2) и (10.9), получим после простых преобразований Я,Ф, +- — ф„= М,(<~,, ф3 — с(юр — юр„) -Е (ф — ф5. (10.10) 1 ~ы~ .г Системой уравнений (10.8) и (10.10) описывается динамический процесс, протекающий в машинной установке при учете упругости звеньев передачи. Неизвестными функциями в этой системе являются обобщенные координаты <р„= р,(г) и гр„= ~р„(г). Ранее при замене передачи упругим валом было предложено условие, что клпематические характеристики чь ф ф„сечения Ь этого вала в точности такие же, как и кинематическяа характеристики выходного сечения В передачи, что и было записано в виде уравнений (10.1). Но в равной мере можио было бы предложить и другое условие: кинематические характеристики р„ф ф„сечецдя а упругого вала в точности такие же, как и кииематические характеристики входного сечения А передачи, т.