Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000, страница 11

Далее, функция от двух переменных г н х, определяемая бес- конечным рядом хе ее е4 Ь(г, х) =х+ — + — + — +..., которая находится в тесной связи с функцией ~ (г), ве- роятно, не удовлетворяет никакому алгебраическому диф- ференциальному уравнению в частных производных. При исследовании этого вопроса придется использовать функ- циональное уравнение х — д-' — — — ь (г — 1, х).

а~(., ) Если мы, с другой стороны, исходя из арифметически" или геометрических соображений, ограничимся классом всех тех функций, которые непрерывны и неограниченное число раз дифференц и р у е и ы, то при их исследовании нам придется пренебречь таким удобным оружием, как теория рядов, а также и тем обстоятельством, что функция полностью определяется значениями, которые она принимает в каждой сколь угодно малой области. Таким образом, если указанное выше ограничение области функций было слишком узкии, то рассматриваемое теперь — слишком широко. В противоположность этому понятие а н а л и т и ч ее к о й функгпеи включает все богатство функций, важных для науки, независимо от того, возникают лн они из теории чисел, из теории дифференциальных уравнений или алгебраических функциональных уравнений илн же из геометрии или математической физики. Поэтому аналитические функции по праву обладают неограниченным господством в царстве функций.

') МаеЬ. Аш1. 28 (1886), 1 — 18. 19. ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ РЕШЕНИЯ РЕГУЛЯРНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ НЕОБХОДИМО АНАЛИТИЧЕСКИМИ? Одним из наиболее замечательных обстоятельств в основах теории аналитических функций я считаю то, что существуют дифференциальные уравнения с частными производными, все интегралы которых необходимо являются а н а л и т и ч ос кими функциями своих независимых переменных; короче говоря, эти уравнения допускают только аналитические решения. Наиболее известные дифференциальные уравнения в частных производных этого рода — зто уравнение потенциала — + — =О ае( дг( дхе две и известные линейные дифференциальные уравнения, исследованные Пикаром' ), кроме того, дифференциальное уравнение — + — = е1 ае) ахе дуг дифференциальное уравнение в частных производныхминимальных поверхностей и другие. Подобные дифференциальные уравнения в частных производных имеют между собой то общее, что они являются дифференциальными уравнениями Лагранжа для известной вариационной задачи, а именно для следующей задачи: аг а1 ~ д'(р, 9, г, х„Ц) ((х (1р = шаги|шиш ~р = —, 9 = — ), где г' — аналитическая функция, удовлетворяющая неравенству для всех значений входящих в нее аргументов.

Такую вариационную задачу мы будем называть р е г у л я р н о й вариационной задачей. Вариационпые задачи, которые играют некоторую роль в геометрии, механике и математической физике, являются преимущественно регулярными вариационныин ') )ееш. Йе 1'Еса!е Ро1у1ес)ш1оие 60 (1890), 89 — 105. 53 задачами, и возникает вопрос, должны ли быть все решения регулярной вариационной задачи необходимо а н а л нг и ч е с к н м и функциями, т. е. об,гадает ли каждое дифференциальное уравнение Лагранжа в частных про:вводных для регулярной вариационной вадачи тем свойством, что оно допускает только аналитические интегралыэ), даже если, как в случае задачи дирихле, граничные значения непрерывные, но не аналитические. Замечу еще, что существуют, например, поверхности постоянной о т р и ц а т е л ь н о й гауссовой кривизны, которые могут быть представлены непрерывными и неограничено днфференцируемыми, но не аналитическими функциями, в то время как каждая поверхность постоянной п о л о ж н т е л ь н о й гауссовой кривизны, вероятно, необходимо должна быть аналитической поверхностью.

Известно, что поверхности постоянной положительной кривизны также тесно связаны с регулярной вариационной задачей о проведении через замкнутую пространственную кривую поверхности наименьшей площади, которая вместе с данной поверхностью, проходящей через ту же пространственную кривую, ограничивала бы пространство заданного объема. 20. ОБЩАЯ ЗАДАЧА О ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ Одной из важных задач, тесно связанных с приведенными выше задачами, является задача о существовании решений дифференциальных уравнений в частных производных с заданными граничными условиями. Остроумные методы Шварца, Нейманна и Пуанкаре привели в основном к решению этой задачи для случая дифференциального уравнения потенциала; тем не менее эти методы не могут быть непосредственно обобщены на случай, когдэ на границах заданы значения производных илнсоотношения между этими значениями и значениями искомой функции, э) С.

Н. Б в р я ш т ей к в сзовйстатьвгОбяагябаявн"поаврхяоствйэ (1905) (см. Собр. соч., т. 3, стр. 16) пишет: вХогда я сяровял Гяльбврта, каковы общие соображения, которые яркввлк вго я врвдложвявю, доказанному иною впоследствии, о том, что всв рвшвяяя регулярных задач варяацкояяого исчисления аяалктячвы, вяамвявтый геометр отввтвл, что оя счвтавт, что решения всех вствстзвняо поставленных задач должяы быть аяаляткчвскямяэ.— Лрил. рсд. или на случай, если речь идет не о поверхности потенциала, а, например, о поверхности наименьшей площади или о поверхности постоянной гауссовой кривизны, которая ~роходитчерез заданную пространственную кривую или должна натягиваться на данную кольцевую поверхность. И убежден, что эти доказательства существования можно будет провести с помощью некоторого общего основного положения, на которое указывает принцип Дирихле и который, вероятно, приблизит нас к вопросу о том, не допускает ли решение каждая регулярная вариационнвя вадача, «ели тавько иа данные ераничные условия наложены определенные допуи(ения, например, непрерывность или кусочная днфференцируемость до определенного порядка функций, определяющих условия на границах,— и если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование э).

21. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАДАННОЕ ГРУППОЙ МОНОДРОМИИ Из теории линейных дифференциальных уравнений с одной независимой переменной х я хотел бы указать на одну важную проблему, над которой, по-видимому, размышлял еще Риман и. содержание которой состоит в том, чтобы показать, что всегда суи(ествует линейное дифференциальное уравнение фуксова типа с гаданными особыми точками и заданной группой монодромии. В задаче, таким образом, требуется найти и функций переменной г, регулярных на всей комплексной плоскости х, за исключением, быть может, данных особых точек: в этих точках ояи имеют полюсы только конечного порядка и при об- э) Ср.

мою лекцию оярвяцвяв Дяввхлв: За)эгввЬег. 1)(во)э. Маг)э.— Увг. (1900), стр. 184 (ялк Свваюш. АЪЪ. П1, гй 3). (Пврвйй врвмвр такого обогащввкя накатка рвшввяя мэг находки в работе Р в и а я а гОвяовы общей творвя фуввцвй одной комвлвксяой пврвмвянойэ (1851 г.) (см. Р в и а я, Сочинения, Гоствхвгдат, 1948, стр. 49 — 87), з которой вводится вояятяв обобщения рвшвввя уравнения Лапласа. Идеи Римана и Гяльбврга отяосатвльяо расширенного толкоэаквя яонятвя решения двффврвяцвальяого уравнения оказалась влодотаоряымя я привели в ХХ столетии к посгровяюо теории обобщвяньгх фувкцяй (С.Л.

Соболев, Л. Шварц).— 1грам. ред.) ходе в плоскости г вокруг этих точек эти функции подвергаются линейной подстановке. О существовании таких дифференциальных уравнений, вероятно, возможно заключить путем подсчета констант, однако строгое доказательство этого предложения удалось до сих пор провести только для частного случая, когда корни характеристических уравнений заданных преобразований по модулю равны единице. Это доказательство провел Л. Шлезингер ') на основании принадлежащей Пуанкаре теории ~~[~ункций Фукса.

Теория линейных дифференциальных уравнений приобрела бы более законченный вид если б уд лось общее исследование указанной проблемы. а ы 22. УНИФОРМИЗАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ Как доказал первым Пуанкаре, любое алгебраическое соотношение между двумя переменными можно униформизировать с помощью автоморфных функций от одной переменной: если задано любое алгебраическое уравнение, связывающее две переменные, то всегда можно найти такие однозначные автоморфные функции от одной переменной, подстановка которых в данное уравнение обращает его в тождество относительно этой переменной. Впоследствии Пуанкаре э) занялся обобщением этого фундаментального предложения на случай не алгебраического, а произвольного аналитического соотношения между двумя переменными; прн этом он пошел по совершенно новому пути, отличному от того, который привел его к решению первой задачи.

Из доказательства Пуанкаре возможности униформизировать произвольное аналитическое соотношение с двумя переменными не следует, однако, делать заключение о том, что эти однозначные ф нкции новой переменной можно выбрать таким образом, чтобы при изменении этой переменной в области регулярности обеих функций можно было получить полную совокупность в с е х регулярных точек заданной аначитяческой области.

Более того, из исследований Пуанкаре вид- ') НапбЬксЬ бег ТЬеог)в бег)шээгеп 1)111эгепйк191в!сЬ Вб. 2, Тгч1 2, )й 366, Ьэ)ээ)б, 1898. э М б в! ппбеп, ') Вк11. Зос. МаэЬ. Ргапсе 11 (1883), 112 — 125. 56 яо, что, кроме точек разветвления, из данной аналитической области нужно исключить другие точки, которые образуют, вообще говоря, бесконечное дискретное множество и возникают как предельные значения при приближении нового переменного к границе области. Мне казалось бм исключитаэьно желатеаьнььм разъяснение и разрешение втой трудности, принимая во внимание фундакентазьное значение, какое имеет постановка вопроса Пуанкаре. В связи с этой проблемой естественно возникает проблема о разрешимости алгебраического или произвольного аналитического соотношения между тремя или между большим числом комплексных переменных — проблема, которая, как известно, разрешима в многочисленных частных случаях и при решении которой следует учесть новейшие исследования Пикара 1) об алгебраических функциях от двух переменных, как весьма ценные и значительные.

23. РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧ ИСЛЕН ИЯ До снх пор я называл, вообще говоря, по возможности более определенные и специальные проблемы, принимая во внимание, что как раз такие проблемы нас больше всего привлекают и от них часто исходит продолжительнейшее влияние на всю науку. Однако я хочу закончить общей проблемой, а именно, указанием на дисциплину, которая уже много раз упоминалась в моем докладеикоторая, несмотря на значительный подъем, испытанный ею в последнее время благодаря Вейерштрассу, однако не пользуется в широких кругах тем уважением, какое ей, по-моему, подобает,— я имею з виду в а р и а ц и о ни о е и с ч и с л е н ие '). [Тем значительнее тот факт, что Кнезер э) в недавно появившемся сочинении предста- ч) См.

Е. Р 1 с а г б„б. 3 1 ю а г Ь ТЬбог$е бев 1епсмэвэ а)беЬпч Чаев бэ бвпх чагщЫвв шббрэпбап)эв, т. 1, Рэпа, 1897.— Прим. ред. ') Учебные пособия пв варпэцяойпому ясчпспвяяю: М э 1 9 п о, 1,. 1,1п бв1о1, 1эбопв бп са1сп1 бвв чкгэкпопв, Ркмэ, 1861 я М. К и э в е г; 7 еьгЬпсЬ бвг Уаг)а11опгвс1шппб, ВгаппвсЬме)б, 1900. э) [Вгаэпвс1п~э)б, 1900.