Григорьев В.А., Зорина В.М. - Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник (1982), страница 8

нии тока как целого. В случае несжима- емой жидкости и2 г+ + =га+ + Рг РЫ 2в РЫ 2 2 2 из ог — о + — + 2о 23 гл.з, ввлвннння количнствл движвния, моминтл количвствл движвния И ЭНЕРГИИ Уравнение количества движения. Для жидкого объема У, ограниченного поверхностью 5 (контрольной поверхностью)„ в общем случае неустановившегося движения уравнение имеет вяд: — + ~ Рив и»5 = ~ РР»У + ) Ра»5 дК дт (1.42) р иа 1 дф г + — + — + — — = Гй (т). (1.40) ро 2в и дс и1 ди — йга»(Ф+ гц+ — ~= — — иХЙ; (1.34) 2 1 дт Р»р где д"= ) — (см. 9' 1.4).

Р Уравнения Эйлера (1.31) нли (1,31а) для установившегося движения допускают общий интеграл (интеграл Бернулли) ий Е = Ф + Ф+ — = сон з1, (1. Зб) 2 который справедлив для следующих частных случаев движения; 1 Бгзвихрввог движение, В этом случае трехчлен Е сохраняет постоянное зна. ченне для всего пространства, занятого движущейся жидкостью. 2.

Вихревое движение, при котором Й1(и (винтовое движение) В этом случае также Е= сонэ( для всего пространства. 3. Произвольное вихревое движение. В этом случае Е - солж вдоль каждой из линий тока или вихревых линий, а также на поверхностях, образуемых линиямн тока, проходящими через одну и ту же вихревую линию, или вихревыми линиями, проходящими через точки одной линии тока. Для тяжелой несжимаемой жидкости интеграл имеет вщг: р ий г + + = сопз(, ря 2я Для невесомой несжимаемой лсидкости Ри' Р+ — = сонэ!. (1,36) 2 Для изотермического течения невесомого газа !п — + = О, (1.37) иа — ий Ре Ре где рь и Рь — давление и плотность в некоторой фиксированной точке.

Для адиабатного течения невесомого газа 2 2 и — 1Р 2 и — 1рй где и — показатель идеальной адиабаты (показатель нзоэнтропы). Для неусгановившегося безвихревого движения уравнения Эйлера (1.31) имеют общий интеграл (интеграл Лагранжа) иа д~р Ф+5'+ — + — = У (т), (!.39) 2 дт где <р — потенциал скорости; 1(т) — произ- вольная функция времени. В случае тяже- лой несжимаемой жидкости интеграл (1.39) принимает вид: Зй + — — »й 1 Рди (1.41) 3" дс зз Обнглр уравнения динамики жидкостей и гитон 23 где К=) риНУ вЂ” количества движения маса сы в объеме У; и — нормальная к поверх- насти 5 составляющая скорости; р„— напряжение поверхностных снл. Для установившегося движения дК/дт=О.

Уравнение момента количества движения имеет вид: д). — +[ [гх и)ри»Нд=~[гх Р)рНУ+~[гхрл[Н3, (1. 43) где Е= ~ [г)си) рНУ вЂ” момент количества движения. Уравнение энергии. Для жидкой н газовой среды уравнение может быть представлено в интегральной ~р~//+ ) НУ вЂ” ~р„.иН5+ ч + [ Р ирНУ+ [руНУ нлн в дифференциальной форме: Н ( и 1 Р— ((/+ — ) =РР +РУ+ Нх '( ' 2) / дрл, дрр др»Л +[ — + — + — )и+Рн — + дх ду ' дг ~ "дк ди Ни +Рр +Р* "ду *Н где (/ — удельная (отнесенная к единице массы) внутренняя энергия; у — количество теплоты, подводнмое к единице массы за единицу времени.

Использование формул (1.10) 'н (1.20) позволяет это уравнение привести к виду РН((/Нт = — р йч и+ РФд+ рд, (1.44) где через Ф» обозначена днссипатианая функция, выражающая часть механической энергии, расходуемой на преодоление снл вязкости, н необратимо преабразующаяся в теплоту прн движении жидкости илн газа.

Эта функция определяется зависимостью Фд — — 2 ~( — ") + ~ — ") + ( — ) ~ + (дин дн,)з 2 + ~ — '+ — ) — — (Н1чи)'. ' дг дх ~ 3 Для несэкнмаемой жидкости Н!ч и=О н (/=сТ, где с — удельная теплоемкость. Тогда, выражая приток теплоты по заюну Фурье, (1.44) можно привести к виду НТ рс — = Лог Т+ РФ,, Нт где коэффициент теплопроводностн Л принят постоянным. Для совершенных газов (( с,Т и (1,44) можно записать в виде г!Т рсэ — = — рйчи+ НРР(ЛйгаНТ) +рФ . Нт л Используя термодинамическую формулу ср — с»=Й, а также уравнение неразрывности Нр — — + йч и = О, Р Нт эта уравнение можно преобразовать к виду !Т !р рср — — — — + Н(ч(Л йгаб Т) + РФд. В развернутой форме два последних уравнения имеют внд: (НТ дТ дТ дТ~ РС»~ + ил + иэ +иг [, дт дх " ду дг ~ ( дих дир ди» 1 = — р[ — + — + — ') + дх ду дг ( дТ дТ дТ, дТ1 [, дт " дх " ду ' дг / др , др др др = — + и„— +ир — + и,— + дт дх " ду Нг Если движение установившееся н можно пренебречь днссипацней, та рс, и йгаб Т = — р йч и + йч (Л йгаб Т) нлн рсрвйгаНТ = ийгабр+ йч(ЛйгаНТ).

Прн Л=сопз! носледнее уравнение нрнобретает вид: рср и йгаб Т = и йгаб р + Лоэ Т. ьз.а. ОснОВы теОРии пОдОБия ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Теория подобия гидромеханнческих процессов является теоретической основой гндрадннамнческога экспериментирования н моделирования; аиа также дает методы анализа н обобщения экспериментальных н теоретических результатов. Теория гидродинамнческога подобия является частью общей теории физического подобия, в юторой од- Равд. 1 Мехиишси жидкости и газа 24 тА=Шт КН.

Рг=аэ/(Р(.) Ее=а/./т Ец«р/(ра') Ят=ЕДоТ) Число Фруда Число Рейиальдса Число Эйлера . Число Струхаля иик я/.в "и Ем Ееа = Кем Э тм ив чв 1м или Ш =тя/ты ним из основных является понятие о сход- ственных величинах. Две величины фд и фн, имеющие одина. ковый физический смысл, называются сход- ственными, если они имеют общее начало отсчета н связаны соотношением фА=агэфп, где ш — положительная безразмерная зев личина, одна и та же для всей группы вели- чин ф, но, вообще говоря, иная для группы величии ф, имеющих иной математический или физический смысл. Например, точки А и Б являются сходственными, если нх ра- диусы-векторы гд н г и имеют общее начало координат и связаны соотношением гА=Ш Гп. Моменты времени тд н тв сходственны, если имеют общее начало отсчета и связаны соотношением Величины шз((=г, г...) называются константами или масштабами подобия, а связи типа фд =ш фп — пРеобразованием подобия.

ф Два гидромехаиических процесса А и Б называются подобными, если они удовлетворяют следующим трем требованиям: 1) математическое описание процессов А и Б в одной и той же системе координат отличается только значениями входшцих в него размерных величии, тогда как вид уравнений, связывающих эти величины, одинаков; 2) для любой величины фп процесса Б существует сходственная ей величина фд — — ш, фв в процессе А; 3) безразмерные уравнения процессов А и Б одинаковы. Как вытекает из анализа уравнений движения вязкой жидкости, необходимым условием подобия двух потоков является одинаковость условий однозначности (начальных в граничных условий), сформулированных в безразмерных иелнчннах, а также одинаковость безразмерных чисел подобия, составленных из параметров, заданных в условиях задачи.

Такими числами для иеустановившвгося движения вязкой жидкости служат: Здесь /., о, Р, р, Т вЂ” соответственно длина, скорость, массовая сила, давление н время, характерные для данной задачи. Указанные необходимые условия являются также и достаточиымн для всех случаев, для которых доказана теорема сушествования и единственности решеяия дифференциальных уравнений движеиня вязкой жидкости. Числа подобия, составленные нз пара-' метров, заданных в условиях однозначности, называют критериями подобия, Из равенства критериев подобия в двух сравниваемых потоках вытекают соотноше- ния между масштабами величин, пред- ставленные в табл. 1.5.

Последняя колонка этой таблицы относится к подобию так на- зываемых автомодельных по числу Ре или квадратичных течений (см. п. 1.6.2), для ко- торых характерна независимость коэффи- циента сопротивления от числа Ке. При практическом моделировании обычно масш- табы физических параметров (например, вязкостей, плотностей жидкостей), а так- же линеййый масштаб задаются, а осталь- ные масштабы вычисляются через них соот- ветственно данным табл. 1.5. Для обеспече- ния подобия необходимо, строго говоря, равенство всех чисел, однако это нередко оказывается практически невозможным, Так, например, одновременное равенство чисел Рг и Ее требует моделирования вязкости, что возможно лишь в исключительных слу- чаях.

Поэтому на практике моделирование выполняют по одному «главному» числу, обеспечивающему подобие «главной» (доми- нирующей в данном явлении) силы. Соот- ветственно опыту практического моделиро- вания для подобия потоков со свободной поверхностью (безнапорных) должно быть обеспечено равенство чисел Фруда, а для напорных потоков — равенство чисел Рей- иольдса (вие области квадратичного содро- тивления).

Число Эйлера при моделировании потоков несжимаемой жидкости обычно яв- ляется неопределяющим и зависит от чисел Ее и Рг. Для потоков сжямаемого газа чис- ло Эйлера связано с числом Маха М=о/и соотношением Еп=)/кМ'. Число Маха яв- ляется в большинстве случаев определяю- щим критерием. П р и и е р 1, Требуется рассчвтать гидродииамические параметры модели неко- торого теплотехнического устройства с на- порным режимом течения (без образования свободных поверхностей) при известных па- раметрах натурного объекта. Решение.

Возможны случаи: а) Режим течения в проточной части натурного объекта не достигает области квадратичного сопротивления, т. е. зависит от числа Рейнольдса. Считая геометрический масштаб моде- ли выбранным, а модель выполненной гео- метрически подобной натуре, из условия ра- зества чисел Ре для натуры и модели на- ходим: Одномерные течения вязкой жидкости 25 $1.6 Таблица 1,5 Масштабы величин прн различных законах подобия Автоиодел ьпые течения Подобие по Бг Подозие по Не Веппоппе т, 2 ша / Ш1/пги Площадь Объем Время Скорость Ускорение Расход Ш /в( 2 т /т;, т т /т/ 2 пг„т„т з ,ш,/, Сила Давление Рабате, энергия Мощность , Прнмер 2.

Требуется рассчитать гидродниамнческне параметры течения, в котором существенную роль играют гравитационные снлы н силы вязкости (например, стеканке слоя вязкой жидкости по наклонной поверхности). Решение. Из требования равенства чисел Фруда подобно предыдущему следует, что ин Зн 1~я(У51 т т ти им Рм нлн н нз равенства чнсел Рейнольдса ш = ш„/'т. Для совместности этих требований должно быть 3/2 те=та т.е.