Григорьев В.А., Зорина В.М. - Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник (1982) (1062114), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1 14 д д д где 7 = — 1+ — ) + — 1с — символичедх ду дг ский вектор иабла илн оператор Гамильтона; ди„ ди„ ди„ вЂ” = — + и„— + с!т дт * дх ди„ ди +из — + и* — *; ду * дг ди диз див — у- = — + и„— + дч дт " дх ди„ ди„ +из +и,—; ду ' дг диз дззз дз~ — = — +и — + дт дт * дх диз диз + ив — + и, — . "ду *дг а,= дп/ди„ дий дпз! Частная производная — ( —, — "-, — ) дт(, дс ' дт ' дт,) где и„— нормальная к площади д5 составляющая вектора скорости и; д5 — площадь произвольного сечеяия трубки тока. Поток вектора скорости через поверхность 5 определяется формулой У=) и„д5, а модуль этой величины является объемным расходом через поверхность 5. Абсолютные значения величин ИО =ри д5 и О= ) рилд5 называют соответственко массовым расходом элементарной выражает местное или локальное ускорение Совокупность остальных членов в формулах (1.3) называют конэектиэным ускорением.
Линией тока называется кривая, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости направлен по касательной, Система дифференциальных уравие. ний линий тока имеет взщ: дх/ин = ду(из — †/из. (1.2) При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями жидких частиц. При иеустановившемся — такого совпадения может не быть. Совокупность линий тока, проведенных через малый замкнутый контур, образует элементарную трубку тока, Конечный поток может быть представлен совокупностью трубок тока при выполнении условия и го(п=О.
(1. 3) В этом случае в потоке можно провести сечение, нормальное линиям тока в каждой его точке и называемое живая сечением. Объемнызз расходом трубки тока называется величина д)' = ! ил д5 !, струйки и массовым расходом через поверхность. Уравнение оплошности (неразрывности). При отсутствии источников и стоков массы уравнение может быть записано в следующих формах: интегральной Рп„д5+~ — а =О, (1.4) Р др ,) дт 5 й где 5 — поверхность, ограничивающая объем з'; дифференциальной др — +б!при=О, дв или в ярое.циях па примоугольиые оси координат др дри дрив дри, — + — + — + — = О; (1.8) дт дх ду дг в гидравлической (для элементарной трубки тока при установившемся движении) Рзитд5з=рзилзд5з (1 8) или для полного живого сечения трубки тока конечных размеров при равномерном распределении параметров среды по сечению Рз "з 5з = Рз пз 5з (1.7) где 5~ и 5з — плошади поперечного сечении трубки тока. В криволинейных ортогопальных системах координат дифференциальное уравнение неразрывности имеет вид: др 1 (д Нз Нз Нзв (дуз + — (Риз Нз Нз) + — (РизНзНз 11 = О, (1.
8) где уь уз, уз — криволинейные координаты; Но Нь Нз — коэффициенты Ляме. Для цилиндрической системы коордийат (у~=с; уз=О; дз=г; Нз=Нз=1; Нз=г) др 1 ~д д дс г (дг дй — + — ! — (Рги ) + — (риэ ) + д + — (ргиз)~ = О. дг (1. 8а) Теорема Коши — Гельмгольца. Движение жидкой частицы в общем случае можно разложить на переносное движение вместе с некоторым полюсом, вращательное движение с угловой скоростью ю(ыы ыз, юз) вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс, и деформацнонное движение, которое заключается в линейных деформациях со скаростнми е„„ез„, в„и угловых деформациях со скоростями езз=ззз, ез, =е,з! е, =е„,.
Кинематика жидкой среды Выражении для компонентов угловой скорости (вихря) и скоростей деформации имеют вид: 1 ди див дих егг = дг ' 1 с'дия, диг! 2 (» дг дх! (1. 10) Совокупность девяти величин е м в „... образует тенаор скоростей деформации. Он скммегричеи, поскольку вы=в!». Линии, в каждой точке которой в данный момент времени вектор угловой скорости е направлен по касательной, называется вихревой линией. Ее конфигурация описывается системой двух дифференциальных уравнений йх йу»уг юя юу Совокупность вихревых линий, проведенных через все точки малого замннутого контура, образует вихревую трубку. Если Ип — произвольное поперечное сечение вихревой трубкк, то величина йс юнйп представляет собой ее интенсивность или напряженность.
Величина г = ( ю„йп о является суммарной рнтенсивностью вихревых трубок, пересекающих поверхность и, Для количественной оценки интенсивности вихревого движения служит также циркуляция Г вектора скорости ц по замкнутому контуру Е. По определению Г = ф в.й! = ~ ис йс, (1.1!) где й! — элементарный направленный отрезок контура Е. Согласно теореме Стокса для нонтура Е, лежащего на поверхности и и ограничивающего односвязную область, дих дисс е = —; е дх ' ик ду Если движение жидкости происходит без вращения жидких частиц, то оно называется безвихревым или потенциальным. Для такого движения существует потенциал скорости »р(х, у, г) !для неустановившегося движения ц»(х, у, г, т)), связанный с вектором скорости соотношением и = йгад»р нли и = —; и = —; и= —.
(1.!2) дф дф д»р х в 2 дх ' ду ' дг Поверхности»р(х. у, г) сопз! назыиаютсн эквипотеициальнымн; они пересекаются линиями тока по нормалям. Если в области течения отсутствуют вихри, то потенциал скорости является однозначной функцией координат. В случае, когда движение жидкости происходит так, что конфигурация лкний тока в параллельных плоскостях оказывается одинаковой, течение называется плоским. Для всякого плоского движенкя несжимаемой жидкости существует функция тока ф(х, у) (при неустановившемся движенин ф(х, у, т)), которая обладает тем свойством, что и„=; ив = — — .
(1.13) дф дф ду ' дх Вдоль одной и той же линии тока функция тока сохраняет постоянное значение. Разность значений фуннции тока на двух Рис. 1.2. Пример гидродинамической сетки течения. — — линни така; — — — — зкннно»енцнллн. Механика жидкости и еаза Равд. 1 !6 у 5 линиях тока равна расходу жидкости между ними.' Для плоского безвнхревого течения линии ф сопз1 н ф сапа! (зквипотеициалн и линии тока) образуют гидрадииамическую сетку, облада)ащую следующимя свойствами; а) через каждую неособую точку (где скорость отлична от нуля и бесконечности) проходит толька одна линия тока н одна вквипотевциальл б) в неособых точках разноименные линии сетки пересекаются под прямым углом; в) если сетка состоит из криволинейных квадратов, т.
е. Ьзяебл (риЬ 1.2), то Ьш Ьф (квадратичность илн изотермичность,сетки). Гидродкнамкческая сетка может служить для приближенного расчета поля скоростей (см. п. 1.7.3), 1.3. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЖИДКОЙ СРЕДЫ Все силы, действующие на жидкость нлн газ, делятся на массовые нлн объемные (например, гравитационная сила, сила инерции) и поверхностные (например, сила вязкости, сила давления).
Если ЬР— массовая сила, действующая на массу в объеме ЬУ, то величина ЬР Р= )цп— ар-о РЬУ представляет собой плотность массовой силы в данной точке. Поверхностные силы всегда распределены по некоторой поверхности в сплошной среде. Если ЬР— поверхностная сила, приходшцаяся на площадку ЬЗ, то ЬР р= 1пп— азз а ЬЗ Рис. 1.3. Напряжения поверхностных снл в движущейся вязкой жидкости.
' Имеется в виду обьемный удельный расход, т. е. расход на еднннце ширины патока в направлении нормали к плоскости течения, называется напряжением поверхностной силы в данной точке. Вектор р в общем случае направлен как угодно по отношению к площадке ЬД В идеальной (невязкой) жидкости, а также в покоящейся вязкой жидко. сти вектор р направлен по внутренней нормали к площадке действия н может быть выражен в виде Р = — Рп, где п — единичный вектор внешней нормали; р — давление. Давление не зависит от ориентации площадки. В общем случае давление не равно нормальному напряжению. Для произвольной п»ощадки Ьд» с нормалью п напряжение на ней р» может быть выражено через напряжения р, рм р1 иа площадках Ьд», Ьдм Ь5в нормальных соответствующим координатным асим (рис. 1.3), по формуле р„= р„соз(я, х) + русов(я, у) + + р»соз(л, г).
Введя обозначения соз(н, х)=л, и т. п» зту формулу можно записать в проекциях на оси координат в следующем виде: Р»» = Р»» и» + Рр» Яр + Рг» Я»1 Р»у = Ряу и*+ Рву яр+ Рг р П»1 Рщ = Р»е пв + Р р» нр + Ргг пз Величины Р, Рзз и Рез Явлюютса скалярными выражениями нормальных напряжений на координатных площадках, а величины Р„м Р„,...— касательных. МеждУ касательными напряжениями существует связь вида Р»у — Ру»! Рр» — Ргу Р»я =Ряг ° называемая законом парностн нлн взаимности касательных напряжений. В вязкой жидкости (газе) за давление, принимают взятое со знаком минус среднее арифметическое из нормальных напряжекий на трех взаимно-ортогональных площадках, проходящих через данную точку: 1 Р = — (Р»я+ Рву+ Ргг) (1-14) 3 Уравнение движения жидкости.
Это уравнение, выражающее закон количества движения, может быть представлено в формах: интегральной дп РРдо+~р» ~Б= ~Р— дУ, (1.16) дт где У вЂ” произвольный жидкий объем; 3— ограничивающая его поверхность; дифференциальной в напряжениях др» дрр др» дп РР + — + — + — = Р—, (1.16) дх ду дг дг $1.4 Статика жидкостей и газов или в проекциях на прямоугольные оси ко- ординат Рв+ — ~ — + — + 1 /др дрг р (, д„ду Р + — ' — й+ — + 1 /др„ друг ' р 1 дг ду Р,+ — ~ — + — + 1 /др„е дрее р ~ дг ду (1. 1бе) 1.4. СТАТИКА ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ или в проекциях на оси координат 1 др 1 др Р,— — — =О; Є— — — =О; р дг ' " Р ду 1 др Р— — — = О, (1.
17а) р дг При относительном покое вектор плотности массовых сил Р включает силы инерции. Поскольку массо)зые силы в большинстве случаев обладают потенциалом, то Р= — кгаб Ф, где Ф вЂ” потенциал насеоеыл сил нлн силовая функция. Уравнению (1.17) можно придать внд 1 й йФ+ — й йР=О. Р Общим интегралом этого уравнения в случаях, когда р=р(Р), является соотно- шение Ф+е)т= сопз1, (1.18) Гйр где й.
~ — — функция давления (для ие- Р 2 — 773 Уравнение Эйлера. Если жидкость или газ покоятся относительно системы координат, связанной с Землей, то в гидромехаиике условно покой называют абсолютным. Если жидкость неподвижна относительно системы координат, которая движется с постоянным ускорением относительно Земли, то покой казывают относительным. Примерами относительного покоя служат: жидкость, покоящаяся во вращающемся резервуаре или резервуаре, который движется прямолинейно ускоренно.
Как дли абсолютного покоя, так и для относительного справедливы уравнения Эйлера в векторной форме 1 Р— — йгад Р = О, (1.17) Р сжимаемой жидкости (р сопз!) й Р/р; для сжимаемой — вид функции Р зависит от связи между Р и Р). Если из числа массовых снл на жидкость действует только гравитационная (тяжелая жидкость), то Ф=уг+сопз1, где г— координата, отсчитываемая вертикально вверх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
