Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 2
Описание файла
DJVU-файл из архива "Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" в общих файлах.
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 2 - страница
За зги советы автор выражает им свою искреннюю признательность. А'. Э. Зльсголь~) ЧАСТЬ Г ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, характеризующие физическое явление, но в то же время легко устанавливается зависимость между теми же величинами и их производными или дифференциалами. При этом мы получаем уравнения, содержащие неизвестные функции или вектор-функции под знаком производной или дифференциала. Уравнения, в которых неизвестная функция или вектор-функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.
Г!риведем несколько примеров дифференциальных уравнений: ах 1) — „= — Ггх — уравнение радиоактивного распада Гй — постоян- дГ ная распада, х — количество неразложившегося вещества в момент дх времени Е скорость распада — пропорциональна количеству рас- дГ падаюшегося вещества). двг ( дет 2) лг — =Р~Е г, — ) — уравнение движения точки массы гн дс'= ~' ' дГ) под влиянием силы г', зависящей от времени, положения точки. опредг деляемого радиусом-вектором г, и ее скорости —. Сила равна дт ' произведению массы на ускорение. д'и д'и дги' 3) —, +,—, + —, = 4пр(х, у, г) — уравнение Пуассона, которому, например, удовлетворяет потенциал и(х, у, г) электростатического поля. р(х, у, г) — плотность зарядов. Зависимость между искомыми величинами будет найдена, если будут указаны методы нахождения неизвестных функций.
определяемых дифференциальными уравнениями, Нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями, и является основной задачей теории дифференциальных уравнений. Есля в дифференциальном уравнении неизвестные функции или вектор-функции являются функциями одной переменной, то дифферен- вввлвнив циальное уравнение называется обыкновенным (например, уравнения 1) и 2)).
Если же неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией двух или большего числа независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных (например, уравнение 3)). Порядном дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в уравнение производной (нли дифференциала) неизвестной функции. Решением лифференциального уравнения называется функция, которая при полстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество, Например, уравнение радиоактивного распада (В.1) имеет решение х=се-ь', (В. 1,) тле с — произвольная постоянная. Очевидно, что дифференциальное уравнение (В.!) еще не полностью определяет закон распада х = х (Г).
для его полного определения надо знать количество распадающегося вещества хь в некоторый начальный момент ге. Если ха известно, то, принимая зо внимание условие х (8е) = ха из (В.1,). нахолим закон радиоактивного распада: х — х е-ьи-ш а Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрировинием дифференциального уравнения. В рассмотренном примере мы легко нашли точное решение, однако в более сложных случаях очень часто прихолится применять приближенные методы интегрирования лифференциальных уравнений.
Эти приближенные матовы еще недавно приводили к утомительным вычислениям, но теперь быстродействующие вычислительные машины способны выполнять эту работу со скоростью в несколько лесятков или даже сотен тысяч операций в секунду. Рассмотрим несколько подробнее упомянутую выше более сложную задачу о нахожленни аакона движения г=г(Г) материальной точки массы т пол действием ааланной силы Р(г, г, г). По закону Ньютона тг = Г (г, г, г). (В.2) Следовательно, задача сводится к интегрированию этого дифференциального уравнения. Очевидно, что закон лвижения еще не вполне введение определяется заланием массы т и силы Р, надо еще знать начальное положение точки г (гз) га (В.2 ) и начальную скорость г ((е) = г,.
(В.2з) Укажем весьма естественный приближенный метод решения уравнения (В.2) с начальнымн условиями (В.2,) и (В.2з), причем идея этого метода ггомсет служить н для доказательства существования решения рассматриваемой задачи. Разделим о~резок времени (е ( г ( Т, на котором требуется определить решение уравнения (В.2), удовлетворяющее начальным услот — г,. виям (В.2,) н (В.2,), на п равных частей длины л = —: л ["О' 11!' ['1' 12!' ' ' ' ' !г -1' Т!' Гл —— Гр+ Иг (гг = 1, 2, ..., а — 1). где Каждое векторное уравнение в трехмерном пространстве может быть заменено путем проектирования на оси координат тремя В пределах каждого из этих малых (при больших значениях а) отрезков врелгени сила Р(1, г, г) мало изменяется (вектор-функция Р предполагается непрерывной), поэтому приближенно се можно считать на каждом отрезке [Г» и 1„! постоянной, например, равной ее значению в леной граничной точке каждого отрезка. Точнее, на отрезке [(з, (г! сила Р(г, г, г) считается постоянной и равной Р((з, гр, гэ).
При этом допущении из уравнения (В.2) и начальных условий (В.2,) и (В.2,) легко определяется закон движения г„(г) на отрезке [(з, Г,! (движение будет равномерно переменным) и, следовательно, в частности, известны значения г„(гг) и г„(гг). Тем же методом приближенно определяем закон движения г,(Г) на отрезке [(г, гз], считая силу Р на этом участке постоянной и равной Р(ги г,(гг), г„(гг)). Продолжая этот процесс, определим приблиягенное решение г„(Г) поставленной аадачи с начальными значениями для уравнения (В.2) на всем отрезке [гз, Т!. Интуитивно ясно, что при и — ь са приближенное решение г„(г) должно стремиться к точному решению.
Заметим, что векторное уравнение (В.2) второго порядка может быть заменено эквивалентной системой двух векторных уравнений первого порядка, если рассматривать скорость т как вторую неизвестную вектор-функцию: — =т, — =Р(1, г, т). гг'г и'т (В.З) введения !2 скалярными уравнениями, Следовательно, уравнение(В.2) эквивалентно системе трех скалярных уравнений второго порядка. а система (В.З) эквивалентна системе шести скалярных уравнений первого порядка. Наконец, можно одно векторное уравнение (В.2) второго порядка в трехмерном пространстве заменить одним вакторным уравнением первого порядка в шестимерном пространстве, координатами в котором служат координаты г, г, г, радиуса-вектора г(() и координаты о, и, и, вектора-скорости ю Такое пространство физики называют фазовым.
Радиус-вектор К(г) в этом пространстве имеет координаты (г„. г, г,, п„о, и,). В таких обозначениях система (В.З) имеет вид: — = Ф(г', К(~)) лй (В.4) (проекциями вектора Ф в шестимерном пространстве служат соответствующие проекции правых частей системы (В.З) в трехмерном пространстве). При такой интерпретации начальные условия (В.21) и (В.2я) заменяются условием (т ((о) = ню.
(В. 4,) Решением уравнения (В.4) К = К (г) будет фазовая траектория, каждой точке которой будет соответствовать некоторое мгновенное состояние движушейся точки — ее положение г(г) и ее скорость ч(г). Если к уравнению (В.4) с начальным условием (В.4,) применить изложенный выше приближенный метод, то на первом отрезке [гв, 1,) вектор-функцию Ф(г', К(г)) надо считать постоянной и равной Ф(~а )(((о)). Итак, при ~о< ~~< го+Ь г = Ф ((о )~ ((е) ) л'й л'г откуда, умножая на Ш и интегрируя в пределах от 1е до 1, получим линейную вектор-функцию К(г): Й(~)=В(ге)+Ф(гв ВЖ)(( — ~е).
В частности, при Г = г, будем иметь "(г1)=В((о)+ЗФ(~о Й(го)) Повторяя то же рассуждение на следующих участках, получим В((з) =В(~,)+ЗФ((н ((((,)). й (( ) = К (г„,)+ ЗФ ((л,г((((,,) ), Применяя эти формулы и раз, дойдем до значения К(Т). ввидзнии В этом 'методе искомое решение й (~) приближенно заменяется кусочно линейной вектор-функцией, графиком которой служит некоторая ломаная, называемая ломакой Эйлера. 'Для уравнения (В.2) нередко в приложениях встречается и иная постановка задачи — дополнительные условия задаются не в одной, а в двух точках. Такая задача, в отличие от задачи с условиями (В.2,) и (В.2г), называемой задачей с начальными условиями или задачей Коши, носит название краевой или граничной.
Пусть, например, требуется, чтобы материальная точка массы лг, движущаяся под действием силы Г(Г, г (1), г (Г) ), находившаяся в начальный момент Г=~з в положении г= ге, попала бы в момент Г=Г, в положение г= го т, е. надо решить уравнение (В.2) с граничными условиями г (Гз) = гз, г (1,) = гн К этой граничной задаче сводятся многие баллистические задачи, причем очевидно, что решение здесь часто может быть не единственным, так как из точки г (1з) = гз можно попасть з точку г (1,) =.г, по настильной н по навесной траекториям. Точное или приближенное решение задач с начальными условиями и граничных' задач является основной задачей теории лифференциальных уравнений, однако иногда требуется выяснить или приходится ограничиваться выяснением лишь некоторых свойств решений. Например, часто требуется установить, существуют ли периодические или колеблющиеся решения, оценить быстроту возрастания или убывания решений, выяснить, сильно ли меняется решение при малом изменении начальных значений.